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Quantisierung

Bis zu diesem Zeitpunkt ist im Wesentlichen noch nichts anderes passiert, als daß das ursprüngliche Bild in mehrere Teile zerlegt worden ist. Insbesondere ist in keinster Weise eine Kompression des Original-Bildes durchgeführt worden. In dieser Phase soll nun der Speicherbedarf für die abzuspeichernden Daten verringert werden, indem der Wertebereich der aus dem ersten Schritt erhaltenen Koeffizienten verringert wird.
Ein erster naheliegender Ansatz beruht letztlich auf der Energieerhaltung der Wavelettransformation, welche besagt, daß die Energie in einem Signal und seiner Wavelettransformierten übereinstimmt. Nimmt man also nur geringe Veränderungen an den Waveletkoeffizienten vor, so sollte dies im Originalbild ebenfalls nur leichte Veränderungen bewirken. Es drängt sich nun der Gedanke auf, solche Koeffizienten, die betragsmäßig klein sind, zu Null zu machen. Dies realisiert man mittels einer einfachen Schwellenfunktion , die jeden Koeffizienten, dessen Betrag unter einem Schwellenwert liegt, auf die Null abbildet:

Sinnvoll einsetzbar ist natürlich nur, wenn ein hoher Anteil der Koeffizienten eliminiert werden kann, ohne so groß wählen zu müssen, daß die Qualität des Ausgangsbildes merklich in Mitleidenschaft gezogen wird.
Dies ist in der Praxis zumeist möglich, da die Waveletkoeffizienten auf der reellen Achse in der Regel sehr eng beeinanderliegen und ein wesentlicher Teil davon hinreichend klein ist, so daß ein geringer Prozentsatz an nichtverschwindenden Koeffizienten ausreicht, um das Originalbild in vernünftiger Qualität rekonstruieren zu können.
So elegant dieser Vorgang auch erscheint-es darf nicht vergessen werden, daß das Originalbild und das rekonstruierte Bild als Folge dieser Vorgehensweise nicht mehr identisch sind. Eine solche verlustbehaftete (,,lossy``) Kompression ist für den Gebrauch bei Texten oder Programmdateien völlig ungeeignet.
Bessere Kompressionsraten als mit der Schwellenwertmethode können durch den Gebrauch eines (endlichen) Systems von Quantisierungsfunktionen erreicht werden.
Charakteristisch für eine Quantisierungsfunktion ist ihre Nichtinjektivität; ist ein beliebiges Intervall auf der reellen Achse und eine nichtleere Menge von inneren Punkten von mit dann ist , wobei die Symbolzeichen sind. Die ,,Quantisierungsgüte`` hängt offenbar von drei wesentlichen Faktoren ab:

• die Anzahl k der 's - ein zu kleiner Wert führt zu einer zu groben Quantisierung, ein zu großer Wert vermindert die Kompressionsrate unnötig
• die Wahl der 's - z.B. kann eine nicht-äquidistante Zerlegung von A bei der gleichen Anzahl von 's zu einem besseren Ergebnis führen als eine äquidistante Zerlegung
• die Anzahl der Quantisierungsfunktionen - üblicherweise kann durch den Gebrauch von mehreren unterschiedlichen Quantisierungsfunktionen die Kompressionsrate verbessert werden