IFS - Iterierte Funktionensysteme
Zur Veranschaulichung der Technik des Dekomprimierens eines fraktal
komprimierten Bildes führe ich zunächst eine (fiktive) Maschine ein,
die diese Aufgabe erfüllt.
Es handelt sich dabei um einen Kopierer, der mehrere Linsensysteme
besitzt. Diese können unabhängig voneinander eingestellt werden,
jeweils das Ursprungsbild um einen Faktor zu verkleinern und an eine
bestimmte Stelle zu kopieren. Der Kopierer bekommt ein beliebiges Bild
als Eingabe und gibt die Überlagerung aller verkleinerten Bilder in
der eingestellten Anordnung aus.
An der Kopiermaschine lassen sich einstellen:
- die Anzahl der Linsensysteme,
- der Verkleinerungsfaktor für jedes Linsensystem und
- die Anordnung der verkleinerten Bilder bei der Ausgabe.
Die entscheidende Idee ist nun, die Ausgabe der MRCM wieder als Eingabe
zu benutzen.
Als Beispiel betrachten wir eine MRCM, die so konfiguriert ist, daß
sie das Quellbild auf 25% verkleinert und es jeweils oben in die Mitte
und unten links sowie unten rechts hin kopiert.
Das Resultat bei verschiedenen Eingaben sieht so aus:
(Idee: [BH93])
Jede Eingabe führt offensichtlich nach unendlich vielen
Iterationsschritten zum gleichen Ergebnis, dem Sirpinski-Dreieck.
Diesen "Grenzwert" der MRCM nennt man ihren Attraktor. Nimmt man den
Attraktor als Eingabe, so ist die Ausgabe identisch mit der Eingabe.
Die Transformationen, die die MRCM ausführen kann, sind Drehungen,
Spiegelungen, Verschiebungen und Verkleinerungen, also affine lineare
Transformationen in der Ebene. Sie haben damit die Form
und lassen sich mit den 6 Werten a,...,f darstellen.
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Jochen Quante