Basis-Wavelets und Multi-Resolutions-Analysis
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Das Auffinden von für bestimmte Anwendungen geeigneten Basis-Wavelets ist
eine nicht ganz triviale Aufgabe. Ein zentraler Begriff bei der Suche nach
Basis-Wavelets ist die sogenannte Multi-Resolutions-Analysis
(MRA). Eine erschöpfende Erklärung dieses Begriffs wird hier nicht
angestrebt; vielmehr soll er genutzt werden, um die Vorstellung davon zu
erleichtern, was bei einer Wavelettransformation praktisch vor sich geht.
Eine genauere Herleitung der hier vorgstellten Zusammenhänge findet sich
in [Fou94].
Der MRA-Begriff kann mit einem verbreiteten Modell des menschlichen
Sehapparates motiviert werden; dieses Modell geht davon aus, daß das
menschliche Gehirn Bilder gleichzeitig in mehreren Auflösungen verarbeitet
(Multi-Resolution). Eine MRA zerlegt nun im Wesentlichen den gesamten
Signalraum 
in eine Kette von
Unterräumen 
, die jeweils der
Darstellung in einer bestimmten Auflösung entsprechen. Für 
erhält man etwas formaler die folgende Definition:
Eine orthonormale MRA des 
mit der erzeugenden
Skalierungsfunktion 
ist eine Kette von Unterräumen
, so daß
-
-
-
-
(f.a.
ganzzahligen 
)
- die Menge der
bildet eine Basis
von
läßt sich nun (ohne Beweis) ausdrücken durch
,
wobei 
die
Orthonormalprojektion von 
auf ist; mit anderen Worten: 
approximiert mit wachsendem 
immer besser. Der
,,Approximationsfehler`` zwischen aufeinanderfolgenden Näherungen läßt
sich als Element des Raumes 
darstellen. Motiviert durch den
Wunsch nach einer orthonormalen Waveletbasis, fordert man nun von einem
Wavelet-Raum 
nicht
nur 
, sondern verlangt noch
zusätzlich 
.
Es läßt sich zeigen, daß sogar
gilt.
Analog zu der Skalierungsfunktion existiert nun ein
Basis-Wavelet 
, so daß die 
eine Basis von bilden. Der Zusammenhang zwischen und soll
nun erklärt werden:
Man kann sich die ,,Auflösungsreduktion`` zwischen den Unterräumen
durch einen geeigneten Tiefpaßfilter verursacht denken. Beschreibt
man diesen durch eine geeignete Folge von Koeffizienten 
, so kann man
als von diesem mittels
erzeugt betrachten. Es gibt dann einen geeigneten Hochpaßfilter, so daß
gilt, wobei 
die zugehörige Folge von Filterkoeffizienten ist. Die 
's sind hierbei
nach Festlegung der 
's eindeutig bestimmt.
Um die Rekonstruierbarkeit des Signals zu gewährleisten, werden an die
Filterkoeffizienten noch gewisse Bedingungen gestellt, auf die hier nicht
weiter eingegangen werden soll.
Der Tiefpaßfilter wird auch als ,,Wavelet-Filter`` bezeichnet,
der Hochpaßfilter wird gelegentlich ,,Skalierungs-Filter`` genannt. Setzt
man z.B. 
so erhält man das Haar-Wavelet,
führt zum
Daubechies-Filter 
.
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Rainer Steinwandt