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Von der Fourier- zur Wavelet-Transformation

Sei nun ein konkretes Bild vorgegeben. Liegt ein Grauwertbild vor, so kann es durch ein reellwertiges Signal beschriebenn werden; ist die Bildinformation auf mehrere Kanäle verteilt (z.B. RGB-Bild), so können die einzelnen Kanäle jeweils durch eine entsprechende Funktion repräsentiert werden. Dem Gesamtbild entspricht dann eine vektorwertige Funktion . Die folgenden Überlegungen können in diesem Fall auf die einzelnen Komponenten von übertragen werden.
Gesucht ist nun eine Darstellung von , die es erlaubt, die im Bild enthaltene Redundanz zu erkennen und für Kompressionszwecke auszunutzen. Zu diesem Zweck kann das Signal einer linearen Transformation unterworfen werden, welche sinnvollerweise invertierbar sein sollte. Eine solche Transformation hat die Gestalt ,
wobei die Basisfunktionen und das Signal natürlich so beschaffen sein müssen, daß das angegebene Integral konvergiert - diese zugegebenermaßen etwas unpräzise Aussage soll für die Motivation der Wavelet-Transformation an dieser Stelle ausreichen.

Ein erster naheliegender Versuch, die Bildfunktion zu dekorrelieren, besteht in der Bestimmung der Fourier-Transformierten von :

Diese Transformation ist für das hier angestrebte Ziel der Datenkompression leider nicht geeignet, da es sich bei den zugrundeliegenden Basisfunktionen um (komplexe) Sinusoide handelt ().
Treten nämlich in einem Bild höhere Frequenzanteile auf - z.B. durch ausgeprägte Kanten - so wirken sich diese auf alle Koeffizienten aus. Um diese hohen Frequenzen zu lokalisieren, geht man von der Fourier-Transformation zur gefensterten Fourier-Transformation (Short-Time Fourier-Transformation (STFT)) über, die auf Gabor zurückgeht und eine Fensterfunktion verwendet:
Das Integral über eine Fensterfunktion soll endlich sein. Außerdem soll auf einem ganzen Intervall nicht verschwinden (häufig wird für die Gaußfunktion benutzt). Die bei der STFT zusätzlich auftretende Variable legt die Stelle fest, an welcher der ,,Filter`` verwendet wird. Der wesentliche Nachteil bei der Anwendung der STFT ist die fehlende Flexibilität bei der Anpassung der Fenstergröße an unterschiedliche Frequenzen: während i.a. bei niederen Frequenzen ein eher breiter Ausschnitt vorteilhaft ist, sollte bei hohen Frequenzen eine entsprechende Verkleinerung möglich sein.
Für den Wunsch nach einer solchen Anpassung gibt es eine recht pragmatische Begründung: Das menschliche Auge lölst nicht alle Frequenzbereiche gleich gut auf, d.h. manche Frequenzbereiche sind von geringerem Interesse als andere. Um dieser Forderung nachzukommen, skaliert man die Fensterfunktion und gelangt so zur Wavelet-Transformation:

mit

Dabei wird die Funktion als Basis-Wavelet bezeichnet. Die Basis-Funktionen werden durch Translation und Skalierung aus gewonnen. Im Zusammenhang mit Wavelets nennt man auch Dilations-Faktor. Selbstverständlich muß so gewählt werden, daß die Existenz des obigen Integrals gesichert ist; im Wesentlichen kann hierfür jede Funktion, die einen Bandpaß-Filter beschreibt, eingesetzt werden. Die Bezeichnung Wavelet für rührt daher, daß in der Regel

gefordert wird und damit mit etwas Phantasie eine gewisse Ähnlichkeit mit einer Welle (engl. wave) aufweist.

Anmerkungen:

1. Die obige Definition beschränkt sich auf reellwertige Funktionen. Läßt man auch komplexwertige Funktionen zu, wird unter dem Integral - wie bei Innenprodukten gewohnt - der Faktor konjugiert.
2. Die Definition der Wavelet-Transformation wird üblicherweise für quadratisch Lebesgue-integrierbare ausgesprochen, wobei und auf der reellen Achse definiert sind

Es ist im Rahmen dieser Arbeit nicht möglich und auch nicht sinnvoll alle diese Klassen und ihre Charakteristika ausführlich darzustellen. Vielmehr werden exemplarisch einige spezielle Wavelets, die für die Kompression von Bilddaten von praktischem Interesse sind, vorgestellt. Zuvor soll aber geklärt werden auf welche Art und Weise Wavelets bei der Bilddaten-Kompression eingesetzt werden, um sinnvoll entscheiden zu können, welchen Anforderungen eine geeignete Basis-Funktion hierbei genügen muß.