 \documentstyle[dinA4,german]{article}
%Hier stehen einige Definitionen die mathematische Symbole erklaeren
%sie treten nur in mathematischen Umgebungen auf
%                  -----------------------------

\def\C{{\mathord{\cqchoice{C}{0.65}{0.95}{-0.1}}}}
\def\K{{\mathord{\rm I\mkern-3.6mu K}}}
\def\N{{\mathord{\rm I\mkern-3.6mu N}}}
\def\R{{\mathord{\rm I\mkern-3.6mu R}}}
\def\Z{{\mathord{\rm Z\mkern-5.6mu Z}}}
\def\L{{\mathord{\rm I\mkern-3.6mu L}}}

\scrollmode
\begin{document}

%Hier stehen Definitionen, die im Text auftreten

\newtheorem{rem}{Megjegyz\'es}
\newtheorem{hil}{Seg\'edt\'etel}
\newtheorem{lemma}{Lemma}
\newcommand{\ZK}{{\Z_{\K}}}
\newcommand{\KQ}{{\bf K_Q}}
\newcommand{\Q}{{\bf Q}}
\newcommand{\KF}{{\bf K}}
\newtheorem{cor}{K\"ovetkezm\'eny}
\newtheorem{theo}{T\'etel}
\newenvironment{proof}{{\bf Bizony\'{\i}t\'as} }{$\Box$}

\title{Az $a^n+b^n=z^3$ diofantoszi egyenletr\H{o}l}
\author{Maurice Mignotte (Strasbourg) \'es Peth\H{o} Attila \thanks{A szerz\H{o}
ez \'uton fejezi ki k\"osz\"onet\'et az Universit\'e Louis Pasteur 
vend\'egszeretet\'e\'ert \'es olyan alkot\'o l\'egk\"or biztos\'{\i}t\'as\'a\'ert,
amelyik t\"obbek k\"oz\"ott ennek a dolgozatnak az elk\'esz\'{\i}t\'es\'ehez is
hozz\'aj\'arult.} (Debrecen) }
\date{}
\maketitle
\centerline{\bf \large Abstract}
\vspace{3ex}
Let $a,b,n,z$ be natural numbers for which the equation
\[
a^n + b^n = z^3
\]
holds. We prove that under the conditions $n>1,a<b, a+b<16$ and $(a,b)=1$
the only solution is $(a,b,n,z)=(2,11,2,5)$.\\
In the proof we use a combination of elementary congruence considerations and
an A. Baker's type theory.\\[3ex]
\section{Bevezet\'es}
Legyenek $a$ \'es $b$ eg\'esz sz\'amok. Peth\H{o} \cite{P1}, valamint Shorey 
and Stewart \cite{ShS} egy \'altal\'anos t\'etel\'eb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy 
van olyan csak $a$ \'es $b$-t\H{o}l f\"ugg\H{o}, effek\'{\i}ven 
kisz\'am\'{\i}that\'o $c>0$ konstans, hogy az
\begin{equation}
a^n + b^n =z^3
\end{equation}
diofantoszi egyenlet minden $n,z \in \Z_+$ megold\'as\'ara $n,z<c$ 
teljes\"ul. Dolgozatunkban $\Z_+$-al a pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok halmaz\'at
fogjuk jel\"olni. \\
Az effekt\'{\i}v megoldhat\'os\'ag azonban nem jelenti azt, hogy egy konkr\'et
egyenlet \"osszes megold\'as\'at t\'enylegesen meg is tudjuk hat\'arozni. A
megold\'asokat korl\'atoz\'o konstansok ugyanis \'altal\'aban olyan nagyok,
hogy addig a hat\'arig a k\"ozvetlen behelyettes\'{\i}t\'es rem\'enytelen\"ul
hossz\'u ideig tartana. A 4.r\'eszben l\'atni fogjuk p\'eld\'aul, hogy ha
$a=2$ \'es $b=11$, akkor az (1) egyenletb\H{o}l $n$-re k\"ozvetlen\"ul 
levezethet\H{o} fels\H{o} korl\'at $4.5 \cdot 10^{10}$. \\
Bizonyos egyenlett\'{\i}pusokra siker\"ult az ut\'obbi id\H{o}ben olyan 
numerikus technik\'akat kifejleszteni, amellyel az elm\'eleti fels\H{o}
korl\'at annyira lecs\"okkenthet\H{o}, hogy az alatt m\'ar a behelyettes\'{\i}t\'es
is c\'elhoz vezet. Ilyen m\'odszereket dolgoztak ki t\"obbek k\"oz\"ott Thue
egyenletekre: Peth\H{o} und Schulenberg \cite{PSch}, de Weger \cite{W}; 
Thue--Mahler egyenletekre: de Weger and Tzanakis \cite{TW}; \'es indexforma 
egyenletekre: Ga\'al and Schulte \cite{GSch} valamint Ga\'al, Peth\H{o} and 
Pohst \cite{GPP1},\cite{GPP2}.\\
Az (1)--el anal\'og
\[
a^n + b^n = z^2
\]
egyenlet megold\'asainak megkeres\'es\'evel Mignotte \cite{M}
foglalkozott. Dolgozatunk\-ban az \H{o} m\'odszer\'et finom\'{\i}tva \'es az (1)
egyenletre alkalmazva bizony\'{\i}tjuk az al\'abbi t\'etelt:
\begin{theo}
Ha az $a,b,n,z$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amokra $n>1, a<b,a+b \leq 16,(a,b)=1$
\'es (1) teljes\"ul, akkor $(a,b,n,z)=(2,11,2,5)$.
\end{theo}

\begin{rem} 
Az $a+b \leq 16$ felt\'etel csak technikai jelleg\H{u}, arra
szolg\'al, hogy dolgozatunk ne legyen t\'ul terjedelmes. Mint l\'atni fogjuk
m\'odszer\"unk, amelyik t\"obb elj\'ar\'as kombin\'aci\'oja, alkalmazhat\'o
tetsz\H{o}leges r\"ogz\'{\i}tett $a$ \'es $b$ mellett (1) megold\'asainak a 
meghat\'aroz\'as\'ara. 

Sz\'am\'{\i}t\'og\'eppel megvizsg\'altuk az (1) egyenlet megoldhat\'os\'ag\'at
modulo $9,7,13,19,31,37,43,61,67,$ $127,181,211,331,397,421,463,73,79,97,
241,313,337,547,673,859,937$. Azt tapasztaltuk, hogy az
$1<a<b<1001$ intervallumban, az $(a,b)=1$ felt\'etelnek eleget tev\H{o} 
sz\'amp\'arok k\"oz\"ul, ha $a+b$ vagy $a^2+b^2$ nem k\"obsz\'am,
akkor (1) nem megoldhat\'o. Amennyiben $a+b$ vagy $a^2+b^2$ k\"obsz\'am,
akkor pedig n\'eh\'any esett\H{o}l eltekintve 
$n \equiv 1 \ \mbox{illetve} \ 2 \ ( \mbox{mod} \ 1441440)$. Ezek a tapasztalati
t\'enyek azt sejtetik, hogy ha valamely $a,b$ p\'arra (1) teljes\"ul, akkor
$n<3$. 
\end{rem}
%\newpage
\section{Seg\'edt\'etelek}

\begin{hil}
Ha $3|n$, akkor (1)-nek nincs trivi\'alist\'ol k\"ul\"onb\"oz\H{o} 
megold\'asa.  
\end{hil}
Ez Euler t\'etele. Bizony\'{\i}t\'as\'at l\'asd p\'eld\'aul a Tur\'an--
Gyarmati \cite[T.10.9]{TGy} jegy\-zetben.

\begin{hil}
Ha $a=1$ \'es $n>1$, akkor (1) nem oldhat\'o meg.
\end{hil}
Ezt a t\'etelt Nagell \cite{N} bizony\'{\i}totta.

Legyen a $d$-ed fok\'u $\alpha$ algebrai sz\'am defini\'al\'o polinomja
$a_0x^d+ \ldots + a_d$. Jel\"olj\"uk $\alpha$ konjug\'altjait $\alpha_1, 
\ldots ,\alpha_d$-vel. Ekkor az $\alpha$ abszol\'ut logaritmikus magas\-s\'ag\'an
a
\[
h(\alpha) = \frac{1}{d} \log \left( \left| a_0 \right| \prod_{i=1}^d
\max \left\{ 1,\left| \alpha_i \right| \right\} \right)
\]
sz\'amot \'ertj\"uk. Ezzel a jel\"ol\'essel meg tudjuk fogalmazni a 
k\"ovetkez\H{o}, Mignotte \'es Waldschmidt\H{o}l \cite{MW} sz\'armaz\'o 
t\'etelt.
\begin{hil}
Legyenek $\alpha$ \'es $ \beta$ egy $D$--ed fok\'u $\K$ algebrai sz\'amtest
elemei $a,b \in \Z, |a|,|b|<B$ \'es
\[
\Lambda = a \log \alpha + b \log \beta .
\]
Ha $\Lambda \not= 0$, akkor
\[
|\Lambda| \geq \exp(-270 D^4 h(\alpha) h(\beta) (7.5 + \log B)^2).
\]
\end{hil}

Az els\H{o} lemm\'aban nagyon egyszer\H{u} kongruenciameggondol\'asokat
haszn\'alva sz\H{u}rj\"uk ki a megold\-hatatlan egyenletek jelent\H{o}s
h\'anyad\'at.

\begin{lemma}
Legyenek  $a,b,n$ \'es $z$ olyan pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok, melyekre
$b,n >1,$ $3 \not| n,  a<b,  a+b \leq 16$ \'es $(a,b)=1.$
Ha $(a,b) \not= (2,11),(3,8)$ \'es $(3,10)$, akkor $(1)$ nem teljes\"ulhet.
\end{lemma}

\begin{proof}
Az $(1)$ egyenletet el\H{o}sz\"or modulo 9 vizsg\'aljuk. Felhaszn\'aljuk, 
hogy $\varphi (9)=6$ \'es modulo 9 a harmadik hatv\'anymarad\'ekok $0$, 
valamint $\pm 1$.
   
Mivel $n>1$, ez\'ert ha $3\mid a$ akkor 
$$b^n \equiv \pm 1 \ (\mbox{mod} \ 9)$$ 
k\"ovetkezik. Felhaszn\'alva, hogy $3 \not | n$ kapjuk a 
$b \equiv \pm1 \ (\mbox{mod} \ 9)$ felt\'etelt. Ezeknek \'es az $a+b \leq 16$, 
$(a,b)=1$ k\"ovetelm\'enyeknek csak az
$(a,b)=(3,8)$ \'es $(3,10)$ sz\'amp\'arok felelnek meg.

Amikor $a$ nem oszthat\'o $3$--mal, akkor n\'egy esetet kell megk\"ul\"onb\"oztetn\"unk 
att\'ol f\"ugg\H{o}en, hogy $n \equiv 1,2,4$ vagy $5 \ (\mbox{mod} \ 6)$.
   
Ha $n \equiv 1 \ (\mbox{mod} \ 6)$, akkor (1)-b\H{o}l $a^n+b^n \equiv 
a+b \equiv 0,\pm1 \ ( \mbox{mod} \ 9)$. Felhaszn\'alva az $0<a+b \leq 16$ 
\'es $1<a<b$ egyenl\H{o}tlens\'egeket ebb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy 
$a+b=8,9$ vagy $10$, azaz csak 
a $(2,7)$ \'es $(4,5)$ p\'arok teljes\'{\i}thetik a felt\'eteleket.

Hasonl\'oan vizsg\'alhat\'o a m\'asik h\'arom alternat\'{\i}va is, amely 
ut\'an azt tal\'aljuk, hogy a fenti n\'egy eseten k\'{\i}v\"ul m\'eg a 
$(2,11)$ \'es $(5,8)$ p\'arok is, de t\"obb nem, kiel\'eg\'{\i}tik a 
kongruenciafelt\'eteleket.

Tegy\"uk fel most, hogy van olyan $(n,x) \in \N^2$, hogy  
\begin{equation}
2^n+7^n=x^3.
\end{equation}
Ezt az egyenletet modulo 7 vizsg\'aljuk. Ha $3 \not| n$, akkor 
$2^n \equiv 2$ vagy $4 \ (\mbox{mod} \ 7)$. M\'asr\'eszt $x^3 \equiv 0,1,6 \ 
(\mbox{mod} \ 7)$ teljes\"ul minden $x \in \Z$-re, \'{\i}gy a (2) egyenletnek 
nincs megold\'asa.

A $4^n+5^n = x^3$  egyenletet  modulo $31$  vizsg\'alva  azt  tal\'aljuk, 
hogy  a  bal  oldal $2,9$   illetve $10$-el  kongruens   modulo $31$, 
amikor $n \equiv 0,1 \ \mbox{illetve} \ 2 \ (\mbox{mod} \  3)$. Azonban  9 \'es  
10 nem harmadik  hatv\'anymarad\'ek, \'{\i}gy $3|n$,  ami  az 1. Seg\'edt\'etel
szerint  nem  lehets\'eges.

V\'egezet\"ul, az $5^n+8^n=x^3$  egyenl\H{o}s\'eg  teljes\"ul\'es\'eb\H{o}l,  
azt  modulo 7 vizsg\'alva, k\"ovetkezik $n \equiv 1 \ (\mbox{mod} \ 6)$,
ami miatt $5^n+8^n \equiv 4 \ (\mbox{mod} \ 9).$  Mivel  az 
$x^3 \equiv4 \ (\mbox{mod} \ 9)$ kongruencia nem teljes\"ulhet ez az egyenlet
sem oldhat\'o meg. A bizony\'{\i}t\'ast  befejezt\"uk.
\end{proof}

\bigskip

A k\"ovetkez\H{o} l\'ep\'esben m\'eg mindig elemi kongruenciamegfontol\'asokkal
sz\H{u}r\"unk ki megoldhatat\-lan egyenleteket.

\begin{lemma}
Az $(a,b)=(3,8)$ \'es $(3,10)$ p\'arokra az (1) egyenlet nem oldhat\'o meg.
\end{lemma}

\begin{proof}
El\H{o}sz\"or az
\begin{equation}
f_1(n)=3^n+8^n=x^3
\end{equation}
egyenletet vizsg\'aljuk. Az 1. Seg\'edt\'etel szerint elegend\H{o} azzal az
esettel foglalkozni, amikor $n$ nem oszthat\'o $3$--mal. Ha (3) megoldhat\'o, 
akkor megoldhat\'o 
modulo 7 is. Ebb\H{o}l egyszer\H{u} sz\'amol\'assal k\"ovetkezik, hogy 
$n \equiv 5 \ (\mbox{mod} \ 6)$. K\"ovetkez\'esk\'eppen $n$ p\'aratlan \'es 
\'{\i}gy $11 | 3^n+8^n$, ami miatt $11^2=121 | 3^n+8^n$.

Legyen  $n=6m+5$ \'es
\[   
  3^5(3^6)^m+8^5(8^6)^m \equiv 11 \cdot x_m \ (\mbox{mod} \ 121),
\]  
ahol $0 \leq x_m <11$. Az $\{ x_m \}^{\infty}_{m=0}$ sorozat peri\'odikus \'es 
peri\'odushossza 11. A sorozat els\H{o} 13 tagj\'at az 1. t\'abl\'azatban 
tal\'alja az olvas\'o.

\bigskip

\begin{tabular}{c|c||ccccccccccc||cc}
m&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\
$x_m$&9&0&7&9&2&8&6&9&4&9&7&5&0&7\\[1ex]
\multicolumn{15}{c}{1. t\'abl\'azat}
\end{tabular}
\vspace{2ex}

A t\'abl\'azatb\'ol l\'athat\'o, hogy $11 | x_m$ akkor  \'es csakis
akkor, ha  $m \equiv 1 \ (\mbox{mod} \ 11)$. Ebb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$121 | f_1(n)$ pontosan akkor, ha $n \equiv 11 \ (\mbox{mod} \ 66)$.
K\"onnyen ellen\H{o}rizhet\H{o}, hogy ha $n \equiv 11 \ (\mbox{mod} \ 66)$, 
akkor 
\[
f_1(n) \equiv 3^{11}+8^{11} \equiv -2 \ (\mbox{mod} \ 67).
\]
M\'asr\'eszt szint\'en egyszer\H{u} sz\'amol\'assal ellen\H{o}rizhet\H{o},
hogy $-2$ nem lehet harmadik hatv\'anymarad\'ek modulo 67. Az ut\'obbi k\'et 
t\'enyb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy a (3) egyenletnek nincs megold\'asa.

Vizsg\'aljuk most az
\begin{equation}
f_2(n)=3^n+10^n=x^3            
\end{equation}
egyenletet. Gondolatmenet\"unk hasonl\'o az el\H{o}z\H{o} esetben alkalmazotthoz. 
A (4) egyenletet modulo $7$ vizsg\'alva azt tal\'aljuk, hogy 
$n \equiv 1 \ (\mbox{mod} \ 6)$, teh\'at ha (4) megoldhat\'o, \'ugy $13 | x$.

Legyen $n=6m+1$ \'es
         $$3(3^6)^m+10(10^6)^m \equiv 13x_m \ (\mbox{mod} \ 169),$$
ahol $0\leq x_m<13$. Az $\{ x_m \}^{\infty}_{m=0}$ sorozat els\H{o} 14 tagj\'at 
a 2. t\'abl\'azatban adtuk meg.

\bigskip

\begin{tabular}{c|c||cccccccccccc||cc}
m&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14\\
$x_m$&1&7&0&6&12&5&11&4&10&3&9&2&8&1&7\\[1ex]
\multicolumn{16}{c}{2. t\'abl\'azat}
\end{tabular}
\vspace{2ex}

Ebb\H{o}l l\'athat\'o, hogy $13 | x_m$ pontosan akkor, ha 
$m \equiv 2 \ (\mbox{mod} \ 13)$.
Ez\'ert $13^2 | f_2(n)$ pontosan akkor, ha $n \equiv 13 \ (\mbox{mod} \ 78)$.
Ha $n \equiv 13 \ (\mbox{mod} \ 78)$, akkor 
$$f_2(n) \equiv 25  \ (\mbox{mod} \ 79),$$
azonban 25 nem harmadik hatv\'anymarad\'ek modulo 79, \'{\i}gy (4) sem
oldhat\'o meg.
\end{proof}

\section{A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa}

   Az 1. \'es 2. Lemma valamint az 1. \'es 2. seg\'edt\'etel k\"ovetkezt\'eben 
az a feladatunk maradt csak, hogy bel\'assuk: a
\begin{equation}
2^n+11^n=x^3                
\end{equation}
egyenletnek egyetlen megold\'asa van, m\'egpedig $(n,x)=(2,5)$.
   Miel\H{o}tt a bizony\'{\i}t\'asra r\'at\'ern\'enk megjegyezz\"uk, hogy
az 1. \'es 2. lemm\'aban alkalmazott m\'odszerek (5)-re val\'osz\'{\i}n\"uleg 
nem vagy legal\'abbis
csak hosszas k\'{\i}s\'erletez\'es, \"ugyesked\'es ut\'an alkalmazhat\'oak.
Haszn\'alhat\'os\'aguk korl\'atair\'ol szinte kiz\'ar\'olag csak numerikus
tapasztalataink vannak. Az al\'abbiakban ismertetend\H{o} elj\'ar\'assal 
ugyanakkor mindig meg lehet hat\'arozni (1) megold\'asait. A 
m\'odszer h\'atr\'anya az, hogy komoly elm\'eleti \'es 
sz\'am\'{\i}t\'astechnikai appar\'atus sz\"uks\'eges az alkalmaz\'as\'ahoz.
Ez\'ert konkr\'et esetben, k\"ul\"on\"osen ha azt sejtj\"uk, hogy a 
feladatnak nincs megol\-d\'asa, el\H{o}sz\"or \'erdemes modul\'aris teszteket
v\'egrehajtani \'es csak azok sikertelens\'ege ut\'an bevetni a Baker 
m\'odszert.  

\bigskip

Az 1. Seg\'edt\'etelb\H{o}l tudjuk, hogy $n$ nem oszthat\'o $3$--mal,
azaz $n=3m+r$, ahol $r=1$ vagy $2$.
Legyen $\vartheta=\sqrt[3]{2}$ \'es $\K=\Q(\sqrt[3]{2})$.
Akkor $\K$ eg\'eszeinek gy\H{u}r\H{u}je $\R$ f\H{o}ide\'algy\H{u}r\H{u}, amelyben
$1,\vartheta,\vartheta^2$ eg\'eszb\'azist alkot. A $\theta$ elem konjug\'altjai
$\vartheta'=\zeta \vartheta$ \'es $\vartheta''=\zeta^2\vartheta$, ahol  
$\zeta=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ egy primit\'{\i}v
harmadik egys\'eggy\"ok. Hasonl\'ok\'eppen, $\alpha'$ \'es $\alpha''$ fogja
jel\"olni az $\alpha \in \K$ elem $\alpha$--t\'ol k\"ul\"onb\"oz\H{o}
konjug\'altjait.
$\R$--ben csak $1$ \'es $-1$ az  egys\'eggy\"ok\"ok 
\'es $\R$ egy alapegys\'ege $\eta=1+\vartheta +\vartheta^2 $. Ezek az adatok 
megtal\'alhat\'ok p\'eld\'aul Delone 
\'es Faddeev \cite{DF} k\"onyv\'eben. Egyszer\H{u}en kisz\'am\'{\i}that\'o a
$(11)$ (a 11 \'altal gener\'alt ide\'al) felbont\'asa is $\R$--ben. 
Ha ${\cal P}=3+2\vartheta +\vartheta^2$ \'es ${\cal Q}=5-4\vartheta +\vartheta^2$,
akkor $N({\cal P})=11, N({\cal Q})=11^2$ \'es $({\cal P}{\cal Q})=(11).$ 

   Az (5) egyenletb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
\begin{equation}
(x-\vartheta^r 2^m)(x-\zeta\vartheta^r2^m)(x-\zeta^2\vartheta^r2^m) 
= ({\cal P}{\cal Q})^n.
\end{equation}
Tekintettel arra, hogy $x$ p\'aratlan \'es (6) teljes\"ul, ez\'ert $\R$--ben
igazak  az al\'abbiak 
\[
(x-\vartheta^r2^m,x^2+x \vartheta^r2^m + \vartheta^{2r}2^{2m}) = (x-\vartheta^r2^m,3x \vartheta^r2^m) =
(x-\vartheta^r2^m,3) = (1).
\]
Mivel $({\cal P},{\cal Q})=1$, ez\'ert (6)--b\'ol k\"ovetkezik, hogy vannak olyan 
$u,v \in \Z$, amelyekkel 
\begin{equation}
x-\vartheta^r 2^m = \eta^u {\cal P}^v
\end{equation}
vagy
\begin{equation}
x-\vartheta^r 2^m = \eta^u {\cal Q}^v.
\end{equation}
Tekintve (7), illetve (8)  konjug\'aljait 
\'es felhaszn\'alva a ${\cal P}'{\cal P}'' = {\cal Q}$ valamint a
${\cal Q}'{\cal Q}'' = 11{\cal P}$ azonos\-s\'a\-go\-kat
arra a k\"ovetkeztet\'esre jutunk, hogy
\[
v = \left \{ \begin{array}{c{\quad,}c}
n & \mbox{(7)--ben}\\
n/2 & \mbox{(8)--ban}.
\end{array} \right.
\]
Elosztva (7)--et illetve (8)--at ugyanezen egyenletek megfelel\H{o} 
konjug\'altj\'aval kapjuk az 
\begin{equation}
\left( \frac{\eta}{\eta'} \right)^u \left( \frac{{\cal P}}{{\cal P}'} \right)^v =
\frac{x-\vartheta^r2^m}{x-\vartheta^r\zeta^r2^m} =
1+\frac{\vartheta^r -1}{x-\vartheta^r\zeta^r2^m}\vartheta^r2^m 
\end{equation}
illetve
\begin{equation}
\left( \frac{\eta}{\eta'} \right)^u \left( \frac{{\cal Q}}{{\cal Q}'} \right)^v =
\frac{x-\vartheta^r2^m}{x-\vartheta^r\zeta^r2^m} =
1+\frac{\vartheta^r -1}{x-\vartheta^r\zeta^r2^m}\vartheta^r2^m 
\end{equation}
egyenleteket.

Mivel (5) miatt $x \ge \sqrt[3]{11} \cdot 11^m$, hacsak $m\ge 1$ \'es \'{\i}gy
$\left| x-\vartheta^r\zeta^r2^m \right| \ge \sqrt[3]{3} \cdot 11^m $, ez\'ert
\begin{equation}
\left| \frac{\vartheta^r -1}{x-\vartheta^r\zeta^r2^m}\vartheta^r2^m \right| \leq 
\sqrt[3]{4} \left( \frac{2}{11} \right)^m < \frac{1}{9},
\end{equation}
ha $m \ge 2$.
A logaritmusf\"uggv\'eny tulajdons\'agaib\'ol k\"ovetkezik, hogy ha az
$x$ val\'os sz\'am olyan, hogy $\mid x \mid <1/3$, akkor 
$|\log (1+x)|<1.16|x|$.
Ez\'ert (11)--et felhaszn\'alva (9) illetve  (10)--b\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
\begin{equation}
|\Lambda_1|=\left| u\log \left| \frac{\eta}{\eta'} \right| +
v\log \left| \frac{{\cal P}}{{\cal P}'} \right| \right| < 
5.5 \left( \frac{2}{11} \right)^m 
\end{equation}
illetve
\begin{equation}
|\Lambda_2|=\left| u\log \left| \frac{\eta}{\eta'} \right| +
v\log \left| \frac{{\cal Q}}{{\cal Q}'} \right| \right| < 
5.5 \left( \frac{2}{11} \right)^m .
\end{equation}
Tekintettel arra, hogy sem $ \frac{{\cal P}}{{\cal P}'}$, sem 
$ \frac{{\cal Q}}{{\cal Q}'} $ nem egys\'eg, ez\'ert 
$\Lambda_1, \Lambda_2\not= 0.$ Alkal\-mazhat\'o teh\'at re\'ajuk a 
3. Seg\'edt\'etel. Az als\'o becsl\'es kisz\'am\'{\i}t\'as\'ahoz sz\"uks\'eges
param\'eterek a k\"ovetkez\H{o}k: $D=6, B=\mid v \mid$,
\[                  
h \left( \left| \frac{\eta}{\eta'} \right| \right) < 3.32, \qquad
h \left( \left| \frac{\cal P}{{\cal P}'} \right| \right) < 2.51, \qquad
h \left( \left| \frac{\cal Q}{{\cal Q}'} \right| \right) < 0.44.
\]
                      
A 3. Seg\'edt\'etel szerint teh\'at
\[
\mid \Lambda_1 \mid, \mid \Lambda_2 \mid \ge \exp \left( 
-3 \cdot 10^6(7.5 + \log |v| )^2 \right).
\]

\"Osszehasonl\'{\i}tva ezt  a becsl\'est (12) illetve (13)--mal kapjuk, 
hogy $|v| < 5 \cdot 10^9$, azaz  \'{\i}gy a 
legrosszabb esetben is $m<1.5 \cdot 10^{10}$, azaz $n \le 4.5 \cdot 10^{10}$.

\smallskip

Az (5) egyenlet helyess\'eg\'enek k\"ozvetlen ellen\H{o}rz\'ese a 
$0 < n \le 4.5 \cdot 10^{10}$ intervallumban igen nagy teljes\'{\i}tm\'eny\H{u}
sz\'am\'{\i}t\'astechnikai kapacit\'ast ig\'enyel. K\"ozvetett utat kell teh\'at
keresn\"unk, amit a (12) illetve a (13) egyenl\H{o}tlens\'eg biztos\'{\i}t. 
Ehhez a l\'anct\"ortek egy fontos tulajdons\'ag\'ara kell eml\'ekeztetn\"unk.
Legyen a val\'os, irracion\'alis $\alpha$ sz\'am l\'anct\"ortel\H{o}\'all\'{\i}t\'asa
$$
\alpha= [a_0,a_1,a_2,\dots, ]
$$
\'es jel\"olje $p_n,q_n$ az $\alpha$ $n$--dik ($n \ge 0$) k\"ozel\'{\i}t\H{o} t\"ortj\'enek
sz\'aml\'al\'oj\'at illetve nevez\H{o}j\'et. Ekkor teljes\"ul az al\'abbi,
l\'asd pl. Hua \cite{Hua}, Theorem 10.3.1
\begin{lemma}
Ha $0 < q_{n-1} \le q < q_n$ \'es $p \in \Z$, akkor
$$| \alpha q - p| > | \alpha q_n -p_n |.$$
\end{lemma}

A (12) egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy 
$$
\left| v \log \left| \frac{{\cal P}}{{\cal P}'} \right| / 
\log \left| \frac{\eta}{\eta'} \right| +
u \right| < 
2.75 \left( \frac{2}{11} \right)^m .
$$
Legyen $\alpha = \log \left| \frac{{\cal P}}{{\cal P}'} \right| / 
\log \left| \frac{\eta}{\eta'} \right|$ \'es hat\'arozzuk meg az $\alpha$ 
l\'anct\"ortel\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at olyan pontoss\'aggal, hogy az $n$--dik
k\"ozel\'{\i}t\H{o} t\"ort nevez\H{o}je nagyobb legyen, mint $|v|$, ami
legfeljebb $5\cdot 10^9.$ Ehhez $23$ l\'anct\"ortjegyet kell 
kisz\'am\'{\i}tanunk, amit az al\'abbiakban k\"ozl\"unk:
\begin{eqnarray*}
\alpha = [0; 1,6,3,1,4,1,7,1,3,1,3,2,2,1,1,
110,2,3,\dots] \\
\end{eqnarray*}
A sz\'am\'{\i}t\'ast a MAPLE V komputer algebrai rendszerrel v\'agezt\"uk, de
tehett\"uk volna m\'as, hasonl\'o programcsomagokkal is, mint p\'eld\'aul a
PAPI-GP. 
K\"onnyen ellen\H{o}rizhet\H{o} a MAPLE V-el, hogy $q_{23} > 5 \cdot 10^9$,
\'{\i}gy a 3. Lemma \'all\'{\i}t\'asa szerint 
$$
2.32\cdot 10^{-9} < |\alpha q_{23} - p_{23} | < |v \alpha +u | < 2.75 
\left( \frac{2}{11} \right)^m.
$$
Ebb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $ m \le 12$, azaz $v \le 38$. 

A legutols\'o gondolatmenetet m\'eg egyszer  megism\'etelhetj\"uk csak most 
m\'ar a $v\leq 38$ nevez\H{o}j\H{u} t\"ortekre \'es az $n$--re vonatkoz\'o 
korl\'atot lereduk\'alhatjuk $3$--ra, ami ebben az esetben a t\'etel 
bizony\'{\i}t\'a\-s\'at is jelenti.

\smallskip


A (13) egyenl\H{o}tlens\'eg lehetetlens\'ege a fentiekb\H{o}l \'es a
\[
\log \left| \frac{\eta}{\eta'} \right| /
\log  \left| \frac{\cal Q}{{\cal Q}'} \right| = -
\log \left| \frac{\eta}{\eta'} \right| /
\log \left| \frac{\cal P}{{\cal P}'} \right| 
\]
egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l r\"ogt\"on k\"ovetkezik.

 
\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{DF} B.N. Delone and D.K. Faddeev {\em The Theory of Irrationalities
of the Third Degree}, Translations of Mathematical Monographs Vol. 10, AMS,
1964.
\bibitem{GPP1} I. Ga\'al, A. Peth\H{o} and M. Pohst {\em On the resolution of
index form equations corresponding to biquadratic number fields II.,} J. 
Number Theory, {\bf 38} (1991) 35--51.
\bibitem{GPP2} I. Ga\'al, A. Peth\H{o} and M. Pohst {\em On the resolution of
index form equations corresponding to biquadratic number fields III.,} J. 
Number Theory, megjelen\'es alatt.
\bibitem{GSch} I. Ga\'al and N. Schulte {\em Computing all power integral 
bases of cubic number fields,} Math. Comp., {\bf 53} (1989) 689--696.
\bibitem{Hua} Hua Loo Keng, {\em Introduction to Number Theory}, 
Springer--Verlag, 1982.
\bibitem{M} M. Mignotte {\em Su una classe di equazioni del tipo
$a^n + b^n = z^2$}, Rend. del Sem. Univ. Cagliari, {\bf 62} (1992) fasc. 1.
\bibitem{MW} M. Mignotte and M. Waldschmidt, {\em Linear forms in two 
logarithms and Schneider's method, III} Annales Fac. Sci. Toulouse (1990) 
43--75.
\bibitem{N} T. Nagell, Des \'equations ind\'etermin\'ees $x^2+x+1=y^n$ et
$x^2+x+1=3y^n$, Norsk. Mat. Forenings Skr. (1) {\bf 2} (1921), 14 pp.
\bibitem{P1} A. Peth\H{o}, {\em Perfect powers in second order linear
recurrences,} J. Number Theory, {\bf 15} (1983) 117--127. 
\bibitem{PSch} A. Peth\H{o} und R. Schulenberg, {\em Effektives L\"osen von
Thue Gleichungen,} Publ. Math. Debrecen, {\bf 34} (1987) 189--196.
\bibitem{P3} A. Peth\H{o}, {\em \"Uber kubische Ausnahmeeinheiten,}
Arch. Math., {\bf 60} (1993) 146--153.
\bibitem{ShS} T.N. Shorey and C.L. Stewart, {\em On the Diophantine 
equation $ax^{2t} + bx^ty + cy^2 = d$ and pure powers in recurrences,}
Math. Scand., {\bf 52} (1983) 24--36.  
\bibitem{TGy} Tur\'an P\'al, Gyarmati Edit, {\em Sz\'amelm\'elet} 8.
ut\'annyom\'as, Tank\"onyvkiad\'o, Budapest, 1970.
\bibitem{TW} N. Tzanakis and B.M.M. de Weger, On the practical solution of
the Thue--Mahler equation, in: {\em Computational Number Theory} Eds.:
A. Peth\H{o}, M.E. Pohst, H.C. Williams and H.G. Zimmer, Walter de Gruyter
1991. pp. 289--294.
\bibitem{W} B.M.M. de Weger, {\em Algorithms for Diophantine Equations}
CWI Tract 65, Centre for Math. and Comp. Sci. Amsterdam, 1989.
\end{thebibliography}

%\newpage

Maurice Mignotte\\
Universit\'e de Strasbourg\\
D\'epartement de Math\'ematique\\
7, Rue Ren\'e Descartes\\
67--Strasbourg, France\\[2ex]
Peth\H{o} Attila\\
Debreceni Orvostudom\'anyi Egyetem\\
Informatikai Laborat\'orium\\
4028--Debrecen, Nagyerdei krt. 98.


\end{document}
