
%%%%
%\documentstyle[11pt,dina4]{article}
\documentstyle[11pt]{article}
%Hier stehen einige Definitionen die mathematische Symbole erklaeren
%sie treten nur in mathematischen Umgebungen auf
%                  -----------------------------

%\def\C{{\mathord{\cqchoice{C}{0.65}{0.95}{-0.1}}}}
\def\K{{\mathord{\rm I\mkern-3.6mu K}}}
\def\N{{\mathord{\rm I\mkern-3.6mu N}}}
\def\R{{\mathord{\rm I\mkern-3.6mu R}}}
\def\Z{{\mathord{\rm Z\mkern-5.6mu Z}}}
\def\L{{\mathord{\rm I\mkern-3.6mu L}}}
\def\HH{{\mathord{\rm I\mkern-3.6mu H}}}
\def\F{{\mathord{\rm I\mkern-3.6mu F}}}

%Hier stehen Definitionen, die im Text auftreten

\newcommand{\ala}{\underline}
\newcommand{\fel}{\overline}
\newcommand{\begar}{\begin{array}{l@{\qquad}l}}
\newcommand{\enar}{\end{array}}
\newtheorem{lemma}{Lemma}
\newenvironment{proof}{{\bf Proof:}}{$\Box$}
\newtheorem{rem}{Remark}
\newtheorem{prop}{Proposition}
\newcommand{\ZK}{{\bf Z_K}}
\newcommand{\KQ}{{\bf K_Q}}
\newcommand{\Q}{{\bf Q}}
\newcommand{\C}{{\bf C}}
\newcommand{\KF}{{\bf K}}
\newtheorem{cor}{Corollary}
\newtheorem{theorem}{Theorem}

\begin{document}
\scrollmode 

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\normalbaselines \hsize = 37 pc \vsize = 53 pc
\def\gpt {\smallskip\noindent\hskip 8 mm $\scriptstyle\bullet$ \hskip 3
mm\ignorespaces} \def\D{\mathop{\rm Discr \kern 1 pt}\nolimits}
\def\log{\mathop{\rm Log \kern 1 pt}\nolimits} \def\mod{\mathop{\kern 2 pt
\rm mod \kern 2 pt}\nolimits} \def\M{\mathop{\rm M \kern 1 pt}\nolimits}
\def\N{\mathop{\rm N \kern 1 pt}\nolimits} \def\dem{{\it D\'emonstration}}
\def\fin{{\ \bf CQFD} \medskip}
%\def\sqr{\hbox{{\bf C}}}
\def\ssi{si, et seulement si,}
\def\mpt {\smallskip\noindent\hskip 11 mm
$\scriptscriptstyle\bullet$\hskip 3 mm\ignorespaces} 
\def\N{\mathop{\rm N\kern 1pt}\nolimits}
\def\sqr{\mathop{\kern .7pt\hbox{\vrule\vbox to 6.6pt{\hrule width 6.6pt
                    \vfill\hrule}\vrule}\kern .7pt}\nolimits}

%%%%%%%

\def\notdiv{\not \hskip - 0.2mm| \hskip 0.3mm}
%\vglue - 10 mm
%Th\'eorie des Nombres
\centerline{Sur les carr\'es dans certaines suites de Lucas} 
\bigskip
\centerline{par Maurice Mignotte et Attila Peth\"o} 
\bigskip
\medskip
{\bf R\'esum\'e} .--- Soit $a$ un entier $\ge 3$.   Si $\alpha =
(a+\sqrt{a^2-4})/2$ et $\beta =(a-\sqrt{a^2-4})/2$, nous
consid\'erons la suite de Lucas $u_n = (\alpha ^n-\beta ^n)/(\alpha
-\beta )$. Nous montrons que pour $a\ge 4$, alors $u_n$ n'est ni un
carr\'e, ni le double, ni le triple d'un carr\'e, ni six fois un
carr\'e pour $n > 3$, sauf si $a=338$ et $n=4$.

\vskip 6 mm

\centerline{On squares in some Lucas sequences} 

\bigskip 

{\bf Abstract} .---
Let $a$ be an integer $\ge 3$. If $\alpha = (a+\sqrt{a^2-4})/2$  and
$\beta = (a-\sqrt{a^2-4})/2$, we consider the Lucas sequence $u_n =
(\alpha ^n-\beta ^n)/(\alpha -\beta )$. We prove that for $a\ge 4$,
$u_n$ is neither a square, nor a double or a triple square, nor six
times a square for $n > 3$, except for $a=338$ et $n=4$. 


\vskip 7 mm





{\bf 1 . \'Enonc\'e des r\'esultats}
\medskip

Soient $a$ et $b$ deux entiers non nuls premiers entre eux.  On suppose
$\Delta = a^2-4b>0$ et on pose
$$
\alpha = {a+\sqrt{\Delta }\over 2}, \quad \beta = {a-\sqrt{\Delta }\over
2}, \quad
u_n= {\alpha ^n-\beta ^n \over \alpha -\beta },  \quad v_n =\alpha
^n+\beta ^n \ \ \hbox{($n$ entier $\ge 0$).} $$  
R\'ecemment, McDaniel
et Ribenboim [1] ont \'etudi\'e les carr\'es et les doubles de carr\'es
parmi les valeurs des suites $u$ et $v$. Ils ont d\'emontr\'e des
r\'esultats tr\`es pr\'ecis qui impliquent en particulier l'\'enonc\'e
suivant. 


\medskip

{\bf
Th\'eor\`eme A}.---
{\it
Si $a$ et $b$ sont impairs et premiers entre eux et si $u_n$ est  un
carr\'e ou le double d'un carr\'e alors $n\le 12$. }

\medskip

Dans ce travail, nous ne consid\'erons que le cas o\`u $b=1$,  mais
nous supposons $a$ quelconque et nous d\'emontrons le r\'esultat
suivant.

\medskip

{\bf
Th\'eor\`eme }.---
{\it
Soit $a$ un entier $\ge 3$, tel que $\,\Delta = a^2-4\,$ ne soit  pas
le carr\'e d'un entier. Nous posons $\alpha =(a+\sqrt{a^2-4})/2$ et
$\beta = (a-\sqrt{a^2-4})/2$, et nous consid\'erons la suite de Lucas
$u_n = u_n(a)=(\alpha ^n-\beta ^n)/(\alpha -\beta )$. Alors, pour
$a\ge 4$, $u_n$ n'est ni un carr\'e, ni le double, ni le triple d'un 
carr\'e, ni six fois un carr\'e pour $n > 3$, sauf si $a=338$ et
$n=4$.} 


\medskip
{\bf 2 . Etude de certaines unit\'es}
\medskip

Soit $\gamma $ un entier alg\'ebrique dont les conjugu\'es sont 
$\gamma =\gamma _1$, $\gamma _2$, \dots, $\gamma _d$, on pose $\M
(\gamma ) = \prod_{k=1}^d \max \{1, \vert \gamma _k\vert \}.$ 

\medskip

{\bf
Lemme 1 }.---
{\it
Soit $\gamma $ un entier alg\'ebrique de degr\'e $d$, alors le 
discriminant $D$ de l'ordre ${\Z}[\gamma ]$ v\'erifie  
$$ \vert  D \vert  \le
d^d\,\M(\gamma )^{2(d-1)}. 
$$ }

\dem :
En effet,
$$
\vert  D\vert  \le \D (1, \gamma , \gamma ^2, \ldots) = \det {}^2 \pmatrix
{1,
\gamma _1, \gamma _1^2, \ldots, \gamma _1^{d-1}\cr 1, \gamma _2, \gamma
_2^2, \ldots, \gamma _2^{d-1}\cr \ldots \cr 1, \gamma _d, \gamma _d^2,
\ldots, \gamma _d^{d-1}\cr }, 
$$ 
et la conclusion r\'esulte de
l'in\'egalit\'e de Hadamard. \fin \goodbreak

Les racines du polyn\^ome $X^2-aX+1$ sont $\alpha $ et $\beta $.  On
d\'efinit le nombre alg\'ebrique complexe $\theta = \sqrt{-\alpha
\sqrt{\Delta }}$. Les conjugu\'es de $\theta $ sont $\theta $, $-\theta
$, $\theta _1 = \sqrt{\beta \sqrt{\Delta }}$  et $-\theta _1$. Le corps
$K={\Q}(\theta )$ est un corps quartique qui admet exactement deux
plongements r\'eels. Le rang du groupe de ses unit\'es est donc \'egal
\`a $2$. On remarque que $\alpha $ et~$\varepsilon =1+\theta$ sont des
unit\'es de $K$. 

Montrons d'abord que pour $a\ge 4$, $\alpha $ est une unit\'e 
fondamentale de l'ordre ${\Z}[\alpha ]$. On a $\D {\Z}[\alpha ] =
a^2-4$, et si $\alpha =\omega ^k$, $\omega \in {\Z}[\alpha ]$,
$k>0$, alors $\D {\Z}[\omega ] = \omega^2 + \omega ^{-2} \pm 2
<a^{2/k}+a^{-2/k}+2$ ; ce qui impose $k=1$ pour $a\ge 4$.

Notons par $x \mapsto x'=\bar{x}$, $x \mapsto x_1$  et $x\mapsto
x_1'$ les plongements de $K$ dans ${\C}$ qui envoient respectivement
$\theta $ sur $-\theta $, $\theta _1$ et $-\theta _1$. Si $\alpha
=\omega ^k$, $\omega \in R={\Z}[\theta ]$, $k\ge 2$, alors $\omega
\omega '$ est une
unit\'e de ${\Z}[\alpha ]$ et donc $k=2$ ; mais, comme les quatre
conjugu\'es de $\sqrt{\alpha }$ sont r\'eels, ceci est impossible. Donc,
en appliquant le  th\'eor\`eme~7.1, Chapitre~5 de [2], on conclut
que $\alpha $ appartient \`a un syst\`eme fondamental des unit\'es  de
$R$.

Nous allons montrer que $\{\alpha ,\varepsilon \}$ est un syst\`eme 
fondamental d'unit\'es de $R$. D'apr\`es [2], Th~7.1, Ch.~5, il suffit de
montrer que l'\'equation $\varepsilon ^{-1} = \alpha ^h \omega ^k $ n'a
pas de solution $\omega \in R$, avec $0< h<k$. Une telle relation
implique $(\varepsilon \varepsilon ')^{-1}= \beta ^2 = \alpha^{2h}
(\omega \omega ')^k$, avec $\omega \omega '=\alpha ^{-u}$. Donc
$uk=2(h+1)$, et $u=1$ ou~$2$. Dans les deux cas, ceci conduit \`a
$\alpha \varepsilon ^{-1}=\xi ^{\ell}$, $\ell \ge 2$, o\`u $\xi \in R$.

On v\'erifie que  $\M (\alpha /\varepsilon ) = \beta /(1-\theta _1) =
\alpha (1+\theta _1)<2a $. Et, 
$$
\vert  \D (R)\vert  
= a^4(16 a^6 - 192 a^4 +768 a^2 - 1024) \ge 107 a^6, \quad
\ \hbox{pour \quad $a\ge 4$.} $$ 
Le Lemme 1 permet de montrer que $\ell <2$.
D'o\`u le r\'esultat. 

\medskip
{\bf 3. R\'eduction au cas d'un indice impair} \medskip
Remarquons d'abord que si~$a$ est impair alors $u_n$ pair \'equivaut
\`a~$n$ divisible par~$3$, tandis que si~$a$ est pair on a $u_n
\equiv n$ mod~$2$.
\medskip
{\bf Lemme 2 }.---
{\it
Soit $p \ge 5$ un nombre premier. Alors, tout diviseur premier  de $u_p$
est $\ge p$. De plus, si $p \vert u_p$ alors p divise $\Delta $. }

\smallskip
\dem : 
Supposons que~$q$ soit un nombre premier, $q \notdiv \Delta $. Comme
$u_n=(\alpha ^n-\beta ^n)/(\alpha -\beta )$ et que $\alpha \beta =1$,
le fait que $q$ divise $u_n$ \'equivaut \`a la condition $\alpha
^{2n}\equiv 1$ mod $q$. Il en r\'esulte que, pour~$p$ premier $ 5$,
si~$q$ divise~$u_p$ alors~$q$ ne divise pas~$u_n$ pour $0<n<p$.

Par ailleurs, le corps fini~$\F_q(\alpha )$ est \'egal \`a~$\F_q$ 
lorsque $\Bigl(\Delta \over q\Bigr)=+1$ et \`a~$\F_{q^2}$ 
lorsque $\Bigl(\Delta \over q\Bigr)=-1$. Dans le premier cas,
si~$q \vert u_p$ alors, comme $\alpha ^{q-1}\equiv 1$ mod~$q$, on
a~$p \vert (q-1)$. Dans le second cas, on a $\alpha ^{p+1}= \alpha ^p
\alpha = \beta \alpha =1$ mod~$q$ et donc~$p \vert (q+1)$. Donc, dans
les deux cas~$q>p$.

Si $p \vert u_p$ alors $p$  divise~$\Delta $ (d'ailleurs, si~$p \vert
\Delta $, on a $u_n \equiv � n$ mod~$p$ et donc~$p \vert u_p $).
\fin 

On notera par $\sqr$  le carr\'e d'un entier non nul et par $w_p(x)$ la
valuation $p$-adique de l'entier $x$.

\smallskip

{\bf Lemme 3 }.---
{\it
Soit $m$ un entier dont le plus grand diviseur premier est $q>3$.  Si
$u_m = \sqr$ ou $2 \sqr$ ou $3\sqr $ ou $6\sqr$, alors $u_q =\sqr$
ou $u_{q^2}=\sqr$. } \smallskip
\dem
: 
Soit $m$ un entier dont le plus grand diviseur premier est $q>3$ et tel
que $u_m = \sqr$ ou $2 \sqr$ ou $3\sqr $ ou $6\sqr$.

D'apr\`es la remarque qui pr\'ec\`ede le Lemme~$2$, $u_q$ est impair.
De plus $u_q \vert u_m$.  Soit $r$ un diviseur premier de~$u_q$,
d'apr\`es le Lemme 2, $r\ge q$.  La preuve du Lemme~$2$ montre que
si~$r \vert u_n$ alors~$q \vert n$. Soit $s= w_r (u_q)$.
Supposons que $r^{s+1} \vert u_n$ et posons~$n=qn'$. Alors, si~$r
\notdiv \Delta $, alors~$r>q$ et la congruence
$$
\alpha ^{2n} = (\alpha ^{2q})^{n'} =(1+r^s \alpha ')^{n'} \equiv
1 + n' r^s \alpha ' \pmod {r^{s+1}},
$$
o\`u $r \notdiv \alpha '$, montre que~$r^{s+1} \vert u_n$ \ssi \ $rq
\vert n$. On a donc $w_r (u_m) = s$, $s$ pair. Il s'ensuit  que
$u_q$ est un carr\'e si $q \notdiv \Delta $. 

Reste le cas o\`u $q \vert \Delta $ et o\`u $u_q$ n'est pas un carr\'e.
Alors $w_q (u_q)$ est impair, $\alpha ^q\equiv \beta ^q$ mod $q \sqrt
{\Delta }$ et $$
u_{q^2}= u_q \,\bigl( \alpha ^{q(q-1)}+ \alpha ^{q(q-2)}\beta
^q+\cdots +\beta ^{q(q-1)} \bigr)
\equiv u_q q \alpha ^{q(q-1)} \pmod {qu_q \sqrt {\Delta }},
$$
donc
$w_q (u_{q^2}) = 1+w_q (u_q)$ est
pair. Les autres diviseurs de $u_{q^2}$ sont $>q$ et l'argument
pr\'ec\'edent montre que $u_{q^2}$ est un carr\'e. \fin 


%%%


{\bf Lemme 4}.  {\it Soient $a \geq 3$ et $m=2^s3^t$ avec $s$, $t \geq 0
$ et $s+t \geq 2$. Il existe alors un nombre premier $p \geq 5 $
tel que $w_p(u_m)$ soit impair, except\'e pour $a=338, m=4$
et $u_m=6214^2$ et pour $a=3$ et $m=6$, auquel cas $u_m=12^2$.}
\medskip

{\it D\'emonstration }: Plus tard, nous d\'emontrerons que l'assertion
est vraie pour $m=4$, $6$  et $9$. Supposons qu'elle soit vraie pour
toutes les paires $(s,t)$ avec $2 \leq s+t < S$. Soient $s$ et $t$ 
tels que  $s+t=S$ et soit $m=2^s 3^t$. Si $s>0$ soit $m'=m/2$, sinon
soit $m'=m/3$. Dans le premier cas, $u_m=u_{m'}v_{m'}$, tandis que
$u_m=u_{m'}(v_{m'}^2-1)$ dans le second cas.  Par
hypoth\`ese, il existe $p$ premier $>3$ avec $w_p(u_{m'})$ impair.
Comme $(u_{m'},v_{m'}) = 1$ ou $2$ et $(u_{m'},v_{m'}^2-1)=1$ ou $3$,
on a~$w_p(u_m)=w_p(u_{m'})$ et l'assertion est d\'emontr\'ee.
\medskip 
Consid\'erons d'abord le cas $m=4$. Notons que $u_4=a(a^2-2)$
et~$v_4=a^4-4a^2+2$.

Si $u_4= \sqr$ alors $a(a^2-2)= \sqr$. Si $a$ est impair, 
$(a,a^2-2)=1$ et $a^2-2= \sqr$, ce qui est impossible.  Si $a$ est
pair alors $a=2x^2$, $a^2-2=2y^2$, donc $2x^4-1=y^2$, et
Ljungreen [3] a montr\'e que ceci implique $(x,y)=(1,1)$ ou
$(13,239)$. Donc $a=338$. On a toujours $v_4 \ne \sqr$, de plus $v_4
(338)\ne 2 \sqr$, donc~$u_m (338) \ne \sqr$ et $\ne 2\sqr$ pour
$s>2$. On constate que 
$w_{113}\{u_{12}(338)\}=w_{9601}\{u_8(338)\}=1$. 

Si $u_4=2 \sqr$, $a$ doit \^etre pair. Et on a $a=\sqr$, 
$a^2-2=2\sqr$, soit $a=4x^2$ et $16x^4-2=2y^2$ : impossible
modulo~$8$.

Si $u_4=3\sqr$ ou $6\sqr$ alors $3 \vert a$ et $a^2-2=\sqr$ ou
$2\sqr$. Il est clair que la premi\`ere relation est impossible, et la
seconde est impossible modulo 9.  D'o\`u le r\'esultat pour $m=4$.

\medskip
 Supposons maintenant que $u_9=\sqr$, $2\sqr$, $3\sqr$ ou $6\sqr$. Il
est facile de voir que 
$$
u_9=u_3 �(v_3^2-1)=(a^2-1)�(a^3-3a+1)(a^3-3a-1), 
$$
o\`u le nombre $v_3^2-1$ est toujours impair. 
\smallskip
Si $3 \vert a$ alors $(u_3,v_3^2-1)=1$ et $3 \notdiv u_9$, donc, si
$u_9=\sqr$ alors $u_3=\sqr$ et si $u_9=2\sqr$ alors
${v_3}^2-1=\sqr$, ces deux cas sont donc impossibles.
\smallskip
Si $a \equiv 1$ mod $3$ alors $(u_3,v_3^2-1)=3$ et  ni $2$, ni $3$ ne
divisent $a^3-3a+1$ et $a^3-3a+1=\sqr$ est impossible modulo $3$, il
existe donc  $p$ premier $>3$ avec $w_p(a^3-3a+1)=w_p(u_9)$ impair.
\smallskip

Si $a \equiv -1 $ mod $3$ alors $(u_3,v_3^2-1)=3$ et  ni $2$ ni $3$ ne
divisent $a^3-3a-1$. On a $a^3-a+1=3 \sqr$, $a^3-a-1=\sqr$ et $a^2-1
= 2\sqr$ ou $3\sqr$ ou $6\sqr$.

Si $a^2-1=2\sqr$ alors $a=a_k$ o\`u $a_0=1$, $a_1=3$
et~$a_{k+2}=6a_{k+1}-a_k$ pour~$k 0$, ce qui impose $a\equiv 1$
mod~$4$ lorsque~$a\equiv -1$ mod~$3$. Mais,
puisque $a \equiv 1$ mod $4$, on a $\left( {3 \over a}
\right) = \left( {a \over 3} \right) = \left( {-1 \over 3} \right) = -1
$ : contradiction. 

Si $a^2-1=6\sqr$ alors $a=a_k$ o\`u $a_0=1$, $a_1=5$
et~$a_{k+2}=10a_{k+1}-a_k$ pour~$k 0$, donc $a\equiv 1$
mod~$4$ : contradiction d\'ej\`a vue.

Si $a^2-1=3\sqr$ alors $a=a_k$ o\`u $a_0=1$, $a_1=2$
et~$a_{k+2}=4a_{k+1}-a_k$ pour~$k 0$, ainsi $a\equiv 2$
mod~$4$ lorsque~$a\equiv -1$ mod~$3$. Donc $(a-1,a+1)=1$ et
$a-1=t^2$. Comme $a^3-a-1=\sqr$, on a
$$
(t^2+1)^3-3(t^2+1)-1=t^6+3t^3-3 =z^2,
$$
ce qui impose $t^3 z<t^3+1$ et la seule solution est $t=1$, ce qui
correspond \`a~$a=2$ et~$u_9=9$ (cas exclu, puisque $a 3$).

 \medskip
Enfin, supposons que $u_6=\sqr$, $2\sqr$, $3\sqr$ ou
$6\sqr$. Notons que $u_6=u_3v_3$ et $u_3=a^2-1$, $v_3=a(a^2-3)$
avec $(u_3,v_3) =1$ ou $2$. 
\smallskip
Si $u_6=\sqr$ alors $u_3 = 2 \sqr$ et $v_3=2\sqr$.  Donc $a$ impair,
$a^2-1= 2 x^2$, $a(a^2-3)=2y^2$. Ce qui donne $a=3z^2$ et
$a^2-3=6t^2$. D'o\`u les conditions $9z^4-1=2x^2$ et $9z^4-3=6t^2$.
On a la solution \'evidente $z=1$, le lemme~5 ci-dessous montre que
c'est la seule. Ainsi, $a=3$. On constate que 
$w_{7}\{u_{12}(3)\}=w_{17}\{u_{18}(3)\}=1$.
\smallskip
Si $u_6=2\sqr$ alors $u_3 v_3= 2 \sqr$, avec $u_3 \ne \sqr$,  donc
$v_3=\sqr$, $u_3=2\sqr$ et $a$ impair. Comme $v_3=a(a^2-3)$
avec~$a$ impair, on a $v_3\equiv �2$ mod~$4$, en contradiction
avec~$v_3=\sqr$. 
\smallskip

Restent les cas $u_6=3\sqr$ ou $6\sqr$.

 $v_3=\sqr$ est impossible. En effet, dans ce cas $3 \vert u_3$, ainsi $3
\notdiv a$ et donc $3 \notdiv v_3$. Donc $a=\sqr$ et $a^2-3=\sqr$
(soit $a=2$) : contradiction.

$u_3=\sqr$ est impossible.

$v_3=2\sqr$, $u_3=3\sqr$
ou $u_3=6\sqr$ ne peuvent avoir lieu que pour $a=2$. En effet $3
\notdiv a$, et donc $a^2-3=\sqr$ ou $2\sqr$. La premi\`ere \'equation
donne $a=2$, la seconde est impossible
modulo~$3$.

$u_3=2x^2,
v_3=3\sqr$ ou $6\sqr$. Alors $a$ est impair et divisible par
$3$. Donc $w_3(a^2-3)=1$ et  $a=y^2$. On aboutit \`a l'\'equation
$y^4-2x^2=1$ qui, d'apr\`es Ljungreen [3], ne poss\`ede que la
 solution triviale $y=1$. 
On constate que $w_7\{u_{12} (3)\}=1 $ et que 
$u_{18}=u_6(v_6^2-1)=u_6 \times 103683$, o\`u $103683=3\times
17\times 19 \times 107$. Ce qui ach\`eve la d\'emonstration du lemme.
\fin \medskip

%%



{\bf Lemme 5 }.---
{\it
Le syst\`eme d'\'equations en nombres entiers positifs 
$$
3Z^2-1 = 2 Y^2\quad {\rm et}\quad 9Z^2-1=2X^2
$$
n'a que la solution banale $Z= 1$.
}
\smallskip

\dem :
Supposons $X$, $Y$ et~$Z$ positifs.
La premi\`ere \'equation implique $(2Y)^2-6Z^2=2$ et comme 
$2=(2+\sqrt{6})^2 (5-2\sqrt{6})$, on en d\'eduit l'existence d'un
entier $s 0$ tel que $\sqrt{6}Z+2Y = (2+\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})^s$. La
seconde relation implique l'existence d'un entier positif $t$ tel que
$3Z+\sqrt{2}X=(3+2\sqrt{2})^t$. Donc $$ Z = {(2+\sqrt{6})
(5+2\sqrt{6})^s-(2-\sqrt{6}) (5-2\sqrt{6})^s\over 2\sqrt{6}} =
{(3+2\sqrt{2})^t+(3-2\sqrt{2})^t\over 6} . $$ Il en r\'esulte que la
quantit\'e 
$$ 
\Lambda = s \log (5+2\sqrt{6})-t\log (3+2\sqrt{2})+\log
(3+\sqrt{6}) 
$$ 
v\'erifie 
$$
\vert \Lambda \vert \le 
(\sqrt {6}-2)^{-2} (5+2\sqrt {6})^{-2s} 
+(3+2\sqrt {2})^{-2t}.
$$ 
On en d\'eduit 
$$
s \log (5+2\sqrt {6})
< t \log (3+2\sqrt {2})
<(s+1) \log (5+2\sqrt {6})
$$
donc $t>s$ et 
$$
\vert \Lambda \vert <  (3+2\sqrt {2})^{-2t}
\left(1+ (5+2\sqrt {6})^{2} (\sqrt {6}-2)^2 \right)
<  21 (3+2\sqrt {2})^{-2t}.
$$
Une
application de l'estimation de M.~Waldschmidt [5] fournit la borne
$t\le 10^{21}$. Ensuite, on proc\`ede comme Baker et Davenport en [4]
: une premi\`ere application du lemme ci-dessous avec $q=337 472 905
923 410 699 064 273 181$ conduit \`a la nouvelle borne $t\le 30$. En
choisissant cette fois $q=264$ on trouve $t\le 4$. Puis on v\'erifie
que la seule solution est $t=1$, d'o\`u $Z=1$. \fin

{\bf Lemme 6 } (Baker-Davenport, [5]).--- {\it
Soit $\varphi = a_1 \xi _1 + \xi _2 + a_2$, o\`u les $a_i$ sont 
entiers, $0<a_1<B$, et les $\xi _i$ r\'eels, tel que $\vert \varphi
\vert <e^{-\lambda a_1}$, $\lambda >0$. Soit $q$ un entier positif tel que
$\vert q\varphi \vert <1/q$ et $\varepsilon =\vert \vert q \xi _2\vert
\vert -B/q>0$, alors $a_1
\le \log (q/\varepsilon )/\lambda $. (O\`u $\vert \vert x\vert \vert $ est
la distance \`a
l'entier la plus proche.)} 

\vfill \eject

\medskip
{\bf 4 . D\'emonstration du th\'eor\`eme} \medskip



%\vskip 12 mm

Supposons que le nombre  $u_n = {\alpha ^n-\beta ^n \over \alpha
-\beta }$ soit le carr\'e d'un entier $x$, alors $\alpha ^{n+1} =
\alpha \sqrt{\Delta} x^2 + \alpha \beta ^n$. Lorque $n$ est impair
$ 5$, $n=2m+1$ avec $m 2$, et cette relation implique 
$$ 
\alpha
^{2(m+1)} = (\theta x+\beta ^m)\, (-\theta x +\beta ^m), 
$$
donc
$\theta x+\beta ^m$ est une unit\'e. D'o\`u l'existence d'entiers $u$ et
$v$, $v>0$, tels que  
$$ 
\theta
x+\beta ^m = \beta ^u \varepsilon ^v, \quad \quad -\theta x+\beta ^m
= \beta ^u \bar \varepsilon ^v, \quad \quad \theta _1 x + \alpha ^m =
\alpha ^u {\varepsilon _1}^v \quad \quad \hbox{et}\quad \quad -\theta
_1 x + \alpha ^m = \alpha ^u {\varepsilon ' _1}^v. 
$$ 
De ces relations, il vient 
$$ 
2\theta \theta _1x=\theta _1 \beta ^u (\varepsilon ^v
- \bar \varepsilon ^v) = \theta \alpha ^u ({\varepsilon _1}^v -
{\varepsilon '_1}^v), \qquad 
2\alpha ^m (\theta x+\beta ^m)= \varepsilon ^v(\varepsilon
_1^v+\varepsilon _1'^v),  $$
donc, compte tenu de la formule $x^2=(\alpha ^n-\beta ^n)/(\alpha
-\beta )$, 
$$
\bigl|\log 2 +(2m+1) \log \alpha -v\log |\varepsilon \varepsilon
_1|\bigr|<1/a. \leqno {(*)}
$$ 
Par ailleurs, il existe un entier $k$ tel que
$$
\Lambda = v \log (\varepsilon /\bar \varepsilon ) - ik\pi 
$$
v\'erifie $\vert \Lambda \vert \le 4 \beta ^{2m}$, donc
$$
|\Lambda | < 9 a |\varepsilon \varepsilon _1|^{-v}.
$$
Mais, en utilisant 
les r\'esultats de [6], on obtient la minoration 
$$ 
\vert \Lambda \vert 
\ge \exp \bigl(- 270 \times 2^4 \times \log (a^2) \times (7.5+\log
v)^2\bigr). 
$$ 
Il en r\'esulte que $v \le V=4,6 \times 10^6$. En
d\'eveloppant $\log (\varepsilon /\bar \varepsilon )$, on obtient 
$$
\Lambda = i\pi \left( v - {2v\over \pi } \Bigl({1\over |\theta |}
-{1\over 3|\theta |^3}+{1\over 5|\theta |^5} -\cdots \Bigr)-k \right). 
$$
On voit que pour $v=k$ on a $\vert \Lambda \vert \ge 1/(2a)$, ce qui
contredit 
la majoration pr\'ec\'edente de $|\Lambda |$ ; on a donc $v > k$, ce qui
implique $ v \ge \pi (a-4)/2$. Donc $a<4+2v/\pi <2,9�10^6$.

Pour $a>800 000$, on a $1 v-k 3$ et on v\'erifie rapidement (sur
ordinateur) que la majoration 
$|\Lambda | < 9 a|\varepsilon \varepsilon _1|^{-v}.$
n'a pas lieu.

Un second calcul sur ordinateur montre que $\vert \Lambda \vert \ge 
a^{-3} v^{-2}$  pour $16 < a\le 800000$ et $0<v\le V$. Pour ces
valeurs de $a$, il s'ensuit que l'on a 
$$
a^{-3} v^{-2} < 9 a |\varepsilon \varepsilon _1|^{-v},
$$
ce qui implique $v 6$, donc $a<4+2v/\pi <8$ : contradiction.

Pour $4\le a\le 16$, on a $\vert \Lambda \vert \ge 1/(2700 v^2)$ 
si $0<v\le V$. D'o\`u 
$$
\bigl(2700 v^{2}\bigr)^{-1} < 9 a |\varepsilon \varepsilon _1|^{-v},
$$
soit $v\le 11$, donc $a<4+2v/\pi <12$ et l'in\'egalit\'e $(*)$
donne $m\le 10$ ; une v\'erification directe montre qu'il n'y a pas de
solution. 

Le th\'eor\`eme est alors une cons\'equence directe des lemmes 3 et~4. 



\medskip
{\bf Remarque} .--- L'article [7] de Cusik contient le r\'esultat
suivant. Soit $v_n$ la suite d\'efinie par les conditions $v_1=1$,
$v-2=k$ et $v_n=kv_{n-1}-v_{n-2}$. (C'est exactement notre suite
$u_n$.) Alors, pour $k>2$, la suite $v_n$ ne contient jamais deux
carr\'es cons\'ecutifs, except\'e lorsque $k$ est un carr\'e, auquel
cas les seuls carr\'es cons\'ecutifs sont $v_1$ et $v_2$. Ce
r\'esultat est une cons\'equence imm\'ediate de notre th\'eor\`eme.
\medskip
{\bf Remerciements} .--- Nous sommes tr\`es reconnaissants au
rapporteur gr\^ace auquel de nombreux points ont \'et\'e pr\'esent\'es
plus clairement et qui nous a signal\'e une lacune dans la preuve du
Lemme~3 concernant l'\'etude du terme~$u_9$.

 \bigskip

{\bf R\'ef\'erences}

\smallskip

[1] W.L. McDANIEL et P.~RIBENBOIM .--- Squares and double-squares in
Lucas sequences ; {\it C.R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada}, Vol.~14, n
${}^{\rm o}$ 2,~3, {\oldstyle 1992}, p.~104--108. 

\smallskip

[2] M.~POHST \& H.~ZASSENHAUS .--- {\it Algorithmic algebraic number
theory}, Cambridge University Press, {\oldstyle 1989}.

\smallskip
[3] W.~LJUNGREEN .--- Zur Theorie der Gleichung $x^2+1=Dy^4$ 
; {\it Avh. Norske Vid. Akad. Oslo}, No. 5, {\bf 1}, {\oldstyle 1942}.
\goodbreak

\smallskip
[4] A.~BAKER et H.~DAVENPORT .---
The equations $3x^2-2=y^2$ et $8x^2-7=z^2$ ;  {\it Quart. J. Math.
Oxford}, {\bf 2}, {\oldstyle 1969}, p.~129--137. 
\goodbreak \smallskip
[5] M.~WALDSCHMIDT .---
Minorations de combinaisons  lin\'eaires de logarithmes de nombres
alg\'ebriques ; {\it Canadian J. Math.}, \`a para\^itre. \goodbreak

[6] M.~MIGNOTTE et M.~WALDSCHMIDT .---
Linear forms in two logarithms and Schneider's method, III ; {\it Annales
Fac. Sci. Toulouse}, {\oldstyle 1990}, p.~43--75. \goodbreak \smallskip

[7] T.W.~CUSIK .--- The diophantine equation
$x^4-kx^2y^2+y^4=1$, {\it Arch. Math.}, {\bf 59}, {\oldstyle 1992},
p.~345--347.

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%\hskip 30 mm \vbox to 22 mm{\moi}


\obeylines
Maurice Mignotte
Universit\'e Louis Pasteur
D\'epartement de Math\'ematique
7, Rue Ren\'e Descartes
67084 --Strasbourg, France
e-mail : mignotte@math.u-strasbg.fr
\medskip
Peth\H{o} Attila
Debreceni Orvostudom\'anyi Egyetem
Informatikai Laborat\'orium
4028--Debrecen Nagyerdei krt. 98.
HONGRIE 
e-mail : h2988pet@ella.hu
\end{document}
\bye

