\documentclass[draft,12pt]{amsbook}

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% draft markiert overfull hboxes
% reqno macht rechte Numerierungen von Formeln
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% Packages
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\begin{document}
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%
% Enviroments
%
\newtheorem{lemma}{Lemma}
\newtheorem{satz}{Satz}
\newtheorem{defi}{Definition}
\newtheorem{kor}{Korollar}[satz]
\renewcommand{\proofname}{beweis}
\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{Bezeichnung}{Bezeichnung}
\newtheorem*{bem}{Bemerkung}
\newtheorem{step}{Schritt}
\newtheorem{fall}{Fall}
\newtheorem*{example}{Beispiel}

%
% Definitions
%

\newcommand{\deq} {\stackrel{\hbox{\raisebox{-0.17ex}
{$\scriptstyle.$}}}{\hbox{\raisebox{0.25ex}{$ \scriptstyle.$}}}=}
\newcommand{\eqd} {=\stackrel{\hbox{\raisebox{-0.17ex}{$
\scriptstyle.$}}}{\hbox{\raisebox{0.25ex}{$ \scriptstyle.$}}}}      
\def \Bd{ {\rm{Bild}}}
\def \LLL{{\rm{LLL}}}
\def \Rt{{\text{Re}}} 	% Realteil
\def \It{{\text{Im}}} 	% Imagin"arteil
\def \E{{\mathcal E}} 
\def \P{{\mathcal P}} 
\def \S{{\mathcal S}}
\def \O{{\mathcal O}}
\def \Ex{\mbox{\eu{e}}}
\def \C{{\mathbb{C}}}
\def \F{{\mathbb{F}}}
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\def \sp{ \hspace{0.3cm} }
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\def \dinf{\delta_{d_{\inf}}}
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\def \dbnn{ \displaybreak[0]\nonumber\\}
\def \db{ \displaybreak[0]\\}
\def \nn{\nonumber}
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           {#1{\raisebox{-0.6ex}{\large/}}{\raisebox{-1.2ex}{$\!\!#2$}}}   
\newcommand{\mf}[1]
           { {\mathfrak #1} }
%
%
%
Lieber Attila.\\
Ich sende dir hiemit das Kapitel 2 meiner Arbeit. Es ist mir bis jetzt leider
nur gelungen die Konstante $c_{12}$ in eine brauchbare Form zu bringen. Da
diese Konstante aber sehr wichtig ist, ist es glaube ich schon mal ein 
erster Schritt. Ich habe mich noch nicht getraut die anderen Konstanten 
zu betrachten, da, falls $c_{12}$ falsch sein sollte, alle Umformungen 
umsonst w"aren. Ich denke aber, dass der Rest nicht mehr so problematisch 
sein wird. \\
\noindent.
Ich komme diesen Freitag in Debrecen an. Wenn du willst, k"onnten wir uns 
dann schon am Samstag oder Sonntag treffen, oder aber du schickst mir einen
Termin an dem ich dich im Mathematik Institut antreffen kann.
\par
\noindent
Viele Gr\"u"se,

Emanuel

\chapter{Schranken f"ur die H"ohe $\S$-ganzer L"osungen}
%
% EINLEITUNG
%
 Dieses Kapitel dient der Angabe expliziter Schranken 
f"ur die Gr"o"se der $\S$-ganzen L"osungen einer elliptischen Kurven in 
Weierstra"s-Form. Wie erw"ahnt liefern die Beweise von Siegel und Mahler
keine effektiven Schranken.  Das erste effektive Ergebnis geht auf die
Arbeit von A. Baker und J. Coates zur"uck, in der sie einen neuen Beweis
f"ur den Siegelschen Satz vorstellen. In ihrem Artikel \cite{BC} wird gezeigt, 
dass f"ur eine lange Weierstra"s-Form\footnote{Die Aussage wurde in dem Artikel f"ur den allgemeinen Fall einer Geschlecht Eins Kurve formuliert. 
Es reicht aber f"ur diese Arbeit aus sich auf eine Weierstra"s-Form zu 
beschr"anken.}
$\E(x,y)=0$ deren Koeffizienten $a_i$ ganze Zahlen aus $\Z$ sind und die
H"ohe $H_\E$ von $\E$ durch 
$$
H_{\E}\deq\max\{|a_1|,|a_2|,|a_3|,|a_4|,|a_6|\}
$$ 
definiert ist, die Absolutbetr"age der Koordinaten einer ganzen L"osungen 
$P=(x,y)\in\Z^2$ durch 
$$
\max\{ |x|,|y| \}< \exp\exp\exp((2H_{\E})^{10^{59049}})
$$
beschr"ankt sind. Dieses Ergebnis wurde 1992 von W. L. Schmidt 
versch"arft. In seinem Artikel \cite{WS2} beweist er eine obere Schranke
f"ur die ganzen L"osungen $(x,y)\in\Z_\K$ einer elliptischen Kurve
$ y^2 = x^3+a_2x^2+a_4x+a_6$ die "uber einem Zahlk"orker $\K$ vom Grad
$d$ "uber $\Q$ definiert ist, und erh"alt
$$
\max\left(h_\K(x), h_\K(y)\right)< \exp\left(c_7(d)V(\log^*V)^{48d}\right),\sp
V\deq D_\K^{48}H_\K(f)^{128}.
$$
Hierin ist $\log^*z=\log\max\{1,z\}$, $D_\K$ bezeichnet die Diskriminante
des K"orpers $\K$ und die Konstante $c_7(d)$ ist effektiv bestimmbar. Im
Fall $\K=\Q$ erh"alt man hiermit
$$
\max\{|x|,|y|\}< \exp\left( c_8H(f)^{128}(\log^*H(f))^{48}\right).
$$
Es ist noch erw"ahnenswert, dass in diesem Artikel auch eine obere 
Absch"atzung f"ur die Anzahl der ganzen L"osungen einer elliptischen Kurve
zu finden ist. 
\par
Im Fall der $\S$-ganzen L"osungen ist besonders die Arbeit von 
S. V. Kotov und L. A. Trelina \cite{KT} zu nennen, die mit den Ideen aus 
\cite{BC} die  Schranke
$$
\max\{h(x), h(y) \}<\exp\left( c_{60}(s+1)^{8^{733}(s+2)}
H_\E^{8^{9483}(s+2)}Q^{8^{731}}\right)
$$
bewiesen haben, wobei $c_{60}$ eine effektiv bestimmbare Konstante darstellt,
$s$ als die Kardinalit"at von $\S$ definiert ist und $Q$ die gr"o"ste endliche
Primzahl aus $\S$ darstellt. Falls $\S$ nur aus der unendlichen Stelle
besteht, so w"ahlt man $Q=1$.
In ihrem Artikel erw"ahnen die Autoren auch, dass dies die
mit dem damaligen Stand des Wissens und bekannten Techniken  die bestm"ogliche 
Schranke darstellt. Es
wird au"serdem darauf hingewiesen, dass man bessere Schranken nur erhalten 
kann, wenn man die Struktur des auftretenden Zahlk"orpers genauer untersucht, 
dass hei"st die Verbindung zwischen den Gr"o"sen des Regulators, der 
Klassenzahl und der Diskriminante. Im Falle $\K=\Q$ wurden diese Untersuchungen  von L. Hajdu und 
T. Herendi durchgef"uhrt \cite{HH} und die besten zur Zeit bekannten Schranken 
f"ur elliptische Kurven\footnote{Der Artikel von Bugeau liefert allgemeinere 
Ergebnisse "uber die G"o"se $\S$-ganzer L"osugen auf super-elliptischen 
Gleichungen.} 
"uber Zahlk"orpern geht auf die Arbeit von Y. Bugeau 
zur"uck \cite{Bug}.
\par
Wir zerlegen dieses Kapitel nun in zwei Teile. Im ersten Teil stellen wir 
die Ergebnisse f"ur die Schranken $\S$-ganzer L"osungen elliptischer Kurven 
"uber den rationalen Zahlen zusammen, was auf eine Arbeit von A. Peth\H{o},
H. G. Zimmer, J. Gebel und E. Herrmann zur"uckgeht \cite{PZGH}, in der
die Ergebnisse aus \cite{HH} mit der H"ohe $h_n$ in Verbindung gebracht 
wird. Ausserdem wird noch eine Verbesserung f"ur Kurven in kurzer 
Weierstra"s-Form vom Rang kleiner oder gleich zwei angegeben \cite{PH}, wobei 
die Versch"arfung durch die Verwendung der Ergebnisse von G. R\'emond und 
F. Urfels \cite{RU} erreicht wird. Dieses Ergebnis ist aber nicht mehr 
effektiv, da es die Kenntnis der Erzeuger der Mordell-Weil-Gruppe voraussetzt.
\par
Abschlie"send wenden wir uns dem allgemeinen Zahlk"orperfall zu, indem wir 
die in \cite{Bug} angegeben Schranken explizit auff"uhren werden.
%
% RATIONALE ZAHLEN
%
\section{Elliptische Kurven "uber $\Q$}
Wenn wir elliptische Kurven "uber den rationalen Zahlen studieren, stehen
uns eine Vielzahl von Ergebnissen zu Verf"ugung. Nach den Arbeiten von Siegel
und Mahler existieren nur endlich viele L"osungen auf elliptischen Kurven.
Die Endlichkeit der L"osungen l"asst sich beweisen, indem man eine explizite
Schranke f"ur die H"ohe aller $S$-ganzen L"osungen angibt, was eine Absch"atzung
f"ur die Absolutbetr"age der Koordinaten impliziert.
\par
Sei nun $\E$ eine elliptische Kurve vom Rang $r$ "uber den rationalen Zahlen mit einer
Basisdarstellung 
$$
\E(\Q)=<P_1>\times\cdots\times<P_r>\times\Etors(\Q).
$$
Die Kurve $\E(\Q)$ kann nun je nach Anzahl der reellen Nullstellen 2 Komponenten
haben. Die Komponente, welche mit dem Fernpunkt $\O$ verbunden ist, nennen wir
die {\em unendliche Komponente}\index{Komponente, unendliche} $\E^0$. Der 
andere Teil,
falls vorhanden, wird als {\em kompakte Komponente}\index{Komponente, kompakte} 
bezeichnet. F"ur einen Punkt $P\in\E(\Q)$ ist nun $2P$ immer ein Element von 
$\E^0$. 
F"ur Elemente aus $P\in\E^0$ folgt, dass der elliptische Logarithmus $\psi(P)$ eine
reelle Zahl ist, da man "uber eine reellwertige Funktion integriert, die keine 
Pole entlang des Integrationsweges besitzt. Wegen der Normierung auf den 
Fundamentalbereich wird der Quotient $u_{\infty}=\psi(P)/\omega_1$ die
Eigenschaft
$0\le u_\infty < 1$ haben.
%
%
%
\begin{satz}\label{GPZH}
Sei $\E$ eine elliptische Kurve, die durch eine Gleichung der
Form (\ref{lwnf}) gegeben ist. Sei 
$\S=\{\p_1,\dots,\p_{s-1},\infty\}$ eine endliche Menge von
Stellen aus $\Q$, welche die unendliche Stelle enth"alt und bezeichne mit 
$Q$ die gr\"o"ste endliche Stelle, wobei wir $Q=1$ setzen, falls $\S$ nur
die unendliche Stelle enth\"alt. Ist $\E$ minimal f"ur jede endliche Stelle 
$\p\in\S$, so gilt f"ur einen $\S$-ganzen Punkt $P=(x,y)\in\E(\Q)$ in der Darstellung 
(\ref{linc})
$$
h_n(P) \le N_0 \deq \sqrt{\tfrac{1}{\lambda}(\tfrac{k_1}{2}+k_2)},
$$
wobei
\[
 k_2 = \log\max\left\{|b_2|, |b_4|^{\tfrac{1}{2}}, |b_6|^{\tfrac{1}{3}},
                 |b_8|^{\tfrac{1}{4}} \right\},
\]
\begin{align}
k'_1 &= 7\cdot 10^{38s + 49}s^{20s +15}Q^{24}(\log^*Q)^{4s-2}k_3
        (\log k_3)^2((20s-19)k_3 +\log(ek_4)) \nonumber \\
k_1  &= k'_1 +  2\log(2a+6).\nonumber
\end{align}
Hierin ist  $a=\max\{|a_1|,|a_2|\}$, $\log^*Q\deq \max\{\log Q,1\}$ und 
\[
k_3 = \tfrac{32}{3}\sqrt{|\Delta_1|}\left( 8 + \tfrac{1}{2}\log |\Delta_1|
\right)^4,
\]
\[
k_4 = 20^4  \max \{ 3^6 c_4^2, 16\sqrt{|\Delta_1|}^3\},\hspace{0.3cm}
\Delta_1 = 2^{8}3^{12}\Delta.
\]
\end{satz}
\begin{proof}
\cite{PZGH}
\end{proof}
Wir geben nun noch eine leichte Versch"arfung f"ur den Fall an, da"s die 
elliptische Kurve $\E$ Rang $2$ hat und in 
{\em kurzer Weierstra"s-Form}\index{Weierstra{\ss}-Form, kurze}
$$
\E: y^2 = x^3 + a_4x + a_6,\hspace{0.3cm} a_4,a_6\in\Z
$$
gegeben ist. Sei die Stellenmenge $\S$ wie im Satz \ref{GPZH} definiert und
sei $\E$ minimal f"ur jede endliche Stelle $\p\in\S$. Sei
$j=\tfrac{j_1}{j_2}$ die $j$-Invariante von $\E$ mit $\ggT(j_1,j_2)=1$.
Definiert man
\begin{eqnarray*}
h &=& \log \max \{ 4|a_4j_2|, 4|a_6j_2|, |j_1| \}, \\
\log V_i &=& \max \left \{ \hat{h}(P_i), h, \frac{3\pi |u'_{i,\infty}|^2_
{\infty}}{\It \tau}
\right \},  \quad i=1,2, \\
\log V_0 &=& \max \left \{h, \frac{3\pi}{\It \tau} \right \}, \\
k_{6, \infty} &=& \frac{k_2 + s\log k_5}{\lambda}, \\
k_{7, \infty} &=& \frac{2\cdot 10^{68} \cdot s \cdot h^5}{\lambda} 
\prod_{i=0}^2 \log V_i.
\end{eqnarray*}
F"ur eine endliche Stelle $\p\in\S$ sei
\begin{eqnarray*}
\alpha_\p &=& \left \{ \begin{array}{r@{\quad}l}
3, & \mbox{falls } \p=2 \\
\frac{1}{\p-1}, & \mbox{sonst} \end{array} \right. \\
\sigma_\p &=& (\p^{\alpha_\p} \max \{ |u'_{1,\p}|_\p, 
|u'_{2,\p}|_\p\})^{-1}, \\
d_\p &=&  \max \{1, 1/\log \sigma_\p \}, \\
\rho_i &=&  \max \{1, \hat{h}(P_i) \}, \quad i=1,2, \\
\beta &=&  \max \{\log N(P), \log |a_4|_{\infty}, \log |a_6|_{\infty}, 
\rho_1, \rho_2, d_\p \}, \\
\gamma &=&  \max \{\log |a_4|_{\infty}, \log |a_6|_{\infty}, \log \beta \}, \\
k_{6,\p} &=& \frac{k_2}{\lambda}, \\
k_{7,\p} &\ge& (3.6\cdot 10^{25} s \cdot \rho_1 \rho_2 d_\p^6 
\log \sigma_\p ) / \lambda.
\end{eqnarray*}
Dann gilt der folgende Satz.
\begin{satz}
Nimmt man an, dass $\E$ einen Rang  $r \le 2$ hat, so gilt f"ur einen 
$\S$-ganzen Punkt $P\in\E(\Q)$
$$
h_n(P) \le N_1 \deq \max \{ N_\p \; : \; \p \in S \},
$$
mit
\[
N_\p = \left \{ \begin{array}{r@{\quad}l}
2^5 \sqrt{k_{6,\infty}k_{7,\infty}} ( \log 5^5 k_{7,\infty})^{5/2},&
\text{falls }
\p=\infty,\\[1.5ex]
2^4 \sqrt{k_{6,\p}k_{7,\p}} ( \log 4^4 k_{7,\p})^2, & \mbox{falls } \p \in S
\setminus
\{ \infty \}.
\end{array} \right.
\]                                              
\end{satz}
\begin{proof}
\cite{PH}
\end{proof}
%
%
%
\section{Der Zahlk"orperfall}
%
%
%
Sei $\K=\Q(\theta)$ ein algebraischer Zahlk"orper vom Grad $d$ "uber $\Q$
mit Diskriminante $D_\K$ und Klassenzahl $h_\K$. Der Ganzheitsring von $\K$ 
wird mit $\Z_\K$ und die Menge aller Stellen aus $\K$ mit $M_\K$ bezeichnet. 
Wir betrachten die Kurve
\begin{align}\label{ssing}
\E: a y^2 = f(x)\deq x^n+\sum\limits_{i=0}^{n-1} a_ix^i, \sp
a,a_i\in\Z_\K,
\end{align}
wobei zus"atzlich verlangt wird, dass weder die Diskriminante $\triangle_f$ von $f$ 
noch $a$ Null ist. Sei $\S$ wie vorher eine endliche Menge von Stellen aus $\K$ welche 
alle unendlichen Stellen von $\K$ unfasst. Wir definieren nun 
\begin{align}
P\deq & \max\{p~:~\p_i|p,~~p\in{\mathbb{P}},~\p_i\in\S\},\nonumber\\
A\deq & \max\{N_{\K/\Q}(a), e\}, \nonumber\\
H\deq & \max\{h(f), e^e\}. \nonumber
\end{align}
Die H"ohe des Polynoms $f$ wird durch 
$$
h(f) = \left( \prod\limits_{\nu\in M_\K} \max\{1,|a_0|_\nu,\dots, |a_{n-1}|_\nu\}\right)^{1/d}
$$
festgelegt. Bezeichnet man mit $\alpha_i$ die $n$ Nullstellen von $f$, so gilt nach 
\cite{Sil1}, Kapitel VIII, Theorem 5.9, dass
\begin{align}\label{bug32}
2^{-n}\prod\limits_{i=1}^n h(\alpha_i)\leq h(f) \leq 2^{n-1} \prod\limits_{i=1}^n h(\alpha_i)
\end{align}
\par
Sei nun $0\neq\alpha\in\K$ eine Element des Zahlk"orpers, dann l"asst sich das Ideal $(\alpha)$
als
$$
(\alpha) = {\mathfrak a}_1\cdot {\mathfrak a}_2 
$$
schreiben, wobei 
$$
\p|{\mathfrak a}_1,\sp\mbox{falls $\p\in\S$ und}\sp
\p|{\mathfrak a}_2,\sp\mbox{falls $\p\not\in\S$}
$$
gilt. Hieraus folgt, dass f"ur die  $\S$-Norm $N_\S(\alpha)=N({\mathfrak a}_1)$ gilt, 
wobei $N({\mathfrak a}_1)>0$ ist, falls $\alpha$ eine $\S$-ganze Zahl ist. Es gilt weiter, dass die
Relation
$$
N_{\S}(\alpha) = \prod\limits_{\nu\in\S} |\alpha|_\nu \leq h(\alpha)^d
$$
besteht. 
\par
Wir bezeichnen nun mit $s$ die M"achtigkeit von $\S$ und betrachten ein Grundeinheitensystem
$$
\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{s-1}
$$
von $\Z_{\K_\S}^*$ mit dem zugeh"origem $\S$-Regulator
$$
R_\S = |{\rm det}(\log|\varepsilon_i|_{\nu_j})|_{1\leq i,j\leq s-1},\sp \nu_1,\dots,\nu_{s-1}\in\S.
$$
Besteht $\S$ nur aus den unendlichen Stellen, so stimmt der $\S$-Regulator mit dem 
Regulator des Zahlk"orpers "uberein. Wir halten noch fest, dass eine Konstante 
$\delta_d>0$ existiert, derart, dass $\log h(\alpha)\geq \delta_d/d$ gilt, 
f"ur jede algebraische Zahl $\alpha\neq 0$ vom Grad kleiner oder gleich $d$, die keine 
Eineitswurzel ist. Eine solche Konstante ist zum Beispiel
nach Voutier \cite{Vo} durch
$$
\delta_d =\begin{cases}\log 2, & d\leq 2, \\
                       \frac{1}{53d\log(6d)}, & d=3, \\
                       \frac{1}{4} 
                       \left(\frac{\log\log d}{\log d}\right)^3, & d\geq 4\\
\end{cases}
$$
gegeben. 
%$\delta_d$ nimmt bei $e^e$ einen maximalen Wert von $0.01245$ an und strebt
%f\"ur wachsendes $d$ gegen Null. Mit dieser Bemerkung ist klar, dass die Funktion 
%$1/\delta_d$ ihr Minimum bei $e^e$ annimmt und dort den Funktionswert $80.65$ hat.
%Wir definieren noch
%$$
%\delta_{d_{\inf}}(d)\deq \inf_{d_0|d}\delta_{d_0}
%$$
Wir definieren nun noch die Werte
$$
c_5(d,s)\deq \frac{((s-1)!)^2}{2^{s-2}d^{s-1}},\sp
c_6(d,s)\deq c_5(d,s)\cdot\left(\frac{\delta_d}{d}\right)^{2-s}\!\!\!\!\!\!\!,\sp\sp 
c_7(d,s)\deq c_5(d,s)\cdot d^{s-1}\delta_d^{-1} 
$$
und formulieren das folgende Lemma.
\begin{lemma}\label{buglemma1}
Es existiert ein $\S$-Grundeinheitensystem $\{\vep_1,\dots,\vep_{s-1}\}$, so dass 
\begin{itemize}
\item[i)]  $\prod\limits_{i=1}^{s-1} \log h(\varepsilon_i)\leq c_5R_\S$,
\item[ii)] $\log h(\varepsilon_i)\leq c_6R_\S,\sp i=1,\dots,s-1$,
\item[iii)] die Absolutbetr"age der Eintr"age der inversen Matrix 
$(\log|\varepsilon_i|_{\nu_j})_{i,j=1,\dots,s-1}$ sind kleiner als $c_7$.
\end{itemize}
\end{lemma}
\begin{proof}
\cite{BG}.
\end{proof}
Sei nun $R_\K$, $h_\K$ und $r=r_\K$ der Regulator, die Klassenzahl und der
Einheitenrang von $\K$ und setze 
$$
c_8 \deq c_8(d,r)= (r^{r+1}\delta_d^{-(r-1)})/2,
$$
dann gilt
\begin{lemma}\label{buglemma2}
F"ur alle $\alpha\in\Z_{\K_\S}\setminus\{0\}$ und f"ur alle $n\geq 1$ existiert eine 
$\S$-Einheit $\varepsilon$, so dass
$$
h(\varepsilon^n\alpha)\leq N_\S(\alpha)^{(1/d)}\exp\{n(c_8R_\K+th_\K\log^*P\}
$$
mit $\log^*P =\max\{1,\log P\}$.
\end{lemma}
\begin{proof}
\cite{BG}.
\end{proof}
\begin{lemma}\label{buglemma3}
Wenn $t>0$, dann gilt
\begin{align}
R_\S\leq &R_\K h_\K\prod\limits_{i=1}^t \log N(\p_i) \leq R_\K h_\K(d\log^*P)^t \nonumber\\
R_\S\geq &R_\K\prod\limits_{i=1}^t \log N(\p_i) \geq c_9 \log 2 \log^*P \nonumber
\end{align}
mit $c_9=0.2052$.
\end{lemma}
\begin{proof}
\cite{BG}.
\end{proof}
%
%
%
\subsection{Absch"atzungen f"ur $c_5$ und $\delta_d$}
Im weiteren Verlauf der Arbeit m\"ussen wir die Konstanten $c_5, c_6$ und $c_7$ noch 
etwas vereinfachen um Absch\"atzungen zu erhalten die zwar etwas schlechter, aber 
einfacher zu verarbeiten sind. Die in den Konstanten
auftretende Fakult\"at kann mit Hilfe der Stirlingschen Formel vereinfacht werden. 
Zu jeder positiven Zahl $n\in\N$ existiert eine reelle Zahl  $0<\vartheta(n)<1$ mit 
$$
n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \exp\{\vartheta(n)/(12n)\}
  \leq 2 \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
$$
Somit ist 
$$
c_5(d,s)\leq \frac{(s-1)^{2s-1}}{2^{3s-9}d^{s-1}}, \sp
c_6(d,s)\leq \frac{(s-1)^{2s-1}\delta_d^{2-s}}{2^{3s-9}d},\sp
c_7(d,s)\leq \frac{(s-1)^{2s-1}\delta_d^{-1}}{2^{3s-9}}.
$$
Aus der Definition von $\delta_d$ folgt sofort, dass
\begin{align}\label{dd}
\delta_d\leq \log 2 \leq d
\end{align}
gilt. F\"ur den Kehrwert von $\delta_d$ gilt dann
$$
1/\log 2\leq \delta_d^{-1} \leq \begin{cases} 
318 d^2, & d=3 \\
306 d^3,    & d>3,
\end{cases}
$$   
woraus wir
\begin{align}\label{dkehrwert}
1/\log 2 \leq \delta_d^{-1} \leq 306 d^3
\end{align}
schlie"sen k\"onnen. Da $\delta_d$ nicht streng monoton ist definieren wir noch
$$
\dinf\deq \inf_{d_0|d}\delta_{d_0}.
$$
%
%
%
\subsection{Die S\"atze von Waldschmidt und Yu}
Seien $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ ($n\geq 2$) algebraische Zahlen die alle von Null
verschieden sind und seien $A_1,\dots, A_n$ positive reelle Zahlen mit
\begin{align}\label{bug33}
\log A_i \geq \max\{ \log h(\alpha_i), |\log\alpha_i|/(3.3d), 1/d\}, \sp i=1,\dots,n,
\end{align}
wobei mit $\log$ immer der Hauptzweig des Logarithmus bezeichnet wird. Weiter seien
$b_1,\dots, b_n\in\Z$ ganze Zahlen und setze $B\deq\max\{|b_1|,\dots, |b_n|,3\}$.
Wir betrachten
$$
\Lambda = \alpha_1^{b_1}\cdots\alpha_n^{b_n}-1
$$
und verlangen noch f"ur die Aussage des n"achsten Satzes, da"s
\begin{align}\label{bug34}
B\geq \log A_n \exp\{4(n+1)(7+3\log(n+1))\}
\end{align}
und
\begin{align}\label{bug35}
7+3\log(n+1)\geq \log d
\end{align}
ist.
\begin{satz}[Waldschmidt]\label{waldschmidt}
Ist $\Lambda\neq 0$, $b_n=1$ und gelten zus"atzlich noch die Relationen (\ref{bug34}) und (\ref{bug35}), dann 
ist 
$$
|\Lambda| \geq \exp\left\{-c_{10}(n)d^{n+2}\log A_1\dots \log A_n\log\left(\frac{2nB}{\log A_n}\right)\right\}
$$
mit $c_{10}(n)=1500\cdot 38^{n+1}(n+1)^{3n+9}$.
\end{satz}
Der letzte Satz ist f"ur die unendlichen Stellen anwendbar. Sei nun $\nu=\nu_\p$ eine endliche Stelle in $\K$
mit zugeh"origen Primideal $\p$ in $\Z_\K$. Sei $p\in\Z$ die Primzahl, welche unter $\p$ liegt und es bezeichne
$|\cdot|_\nu$ die nicht-archimedische Fortsetzung. Anstelle von (\ref{bug33}) verlagen wir nun, dass 
$A_1,\dots A_n$ reelle Zahlen sind mit
$$
\log A_i \geq \max\{\log h(\alpha_i),|\log\alpha_i|/(10d),\log p\},\sp i=1,\dots,n.
$$
\begin{satz}[Yu]\label{yu}
Sei
$$
\Phi = c_{11}(n)(d/\sqrt{\log p}))^{2(n+1)}p^d\log A_1\cdots \log A_n \log(10nd\log A)
$$
mit $c_{11}(n)=22000(9.5(n+1))^{2(n+1)}$ und $A=\max\{A_1,\dots,A_n,e\}$ und. 
Ist $\Lambda\neq 0$, dann ist
$$
|\Lambda|_\nu \geq \exp\{-d(\log p)\Phi\log(dB)\}.
$$
Ist zus"atzlich noch $b_n=1$ und $A_n\geq A_i$ f"ur $i=1,\dots,n-1$, dann kann $A$ durch
$\max\{A_1,\dots,A_{n-1},e\}$ ersetzt werden und f"ur jedes $0<\delta\leq 1$ gilt
$$
|\Lambda|_\nu\geq \exp\{-d(\log p)\max\{\Phi\log(\delta^{-1}\Phi/\log A_n),\delta B\}\}.
$$
\end{satz}
\begin{proof}
\cite{Yu}.
\end{proof}
%\begin{lemma}\label{PdW}
%Seien $a,b\geq 0$, $h\geq 1$ und sei $x\in\R$ die gr"o"ste L\"osung von $x=a+b(\log x)^h$.
%Ist $b>(e^2/h)^h$, dann ist 
%$$
%x < 2^h(a^{1/h}+b^{1/h}\log(h^hb))^h
%$$  
%und falls $b\leq (e^2/h)^h$ gilt, dann ist
%$$
%x \leq 2^h(a^{1/h}+2e^2)^h
%$$
%\end{lemma}
%
%
%
\subsection{Schranken f\"ur die L\"osungen von Einheitengleichungen}
%
%
%
\begin{lemma}\label{buglemma4}
Sei $\K$ wie vorher definiert und $\K_1,\K_2$ Teilk"orper von $\K$ der Grade 
$d_1$, $d_2$ \"uber $\Q$. Mit $\S,\S_1,\S_2$ werden 
endliche Stellenmengen von $\K$, $\K_1$, $\K_2$ mit den M"achtigkeiten $s$, 
$s_1$, $s_2$ bezeichnet, 
die alle unendlichen Stellen enthalten. Wir nehmen an, dass 
$$
\Z_{\K_1,\S_1}^*\subset \Z_{\K,S}^*,\sp\mbox{und}\sp
\Z_{\K_2,\S_2}^*\subset \Z_{\K,S}^*
$$
gilt und f"ur $i=1,2$ bezeichnet $R_i$ den $\S_i$-Regulator von $\K_i$.
Seien nun $\nu_1,\nu_2,\nu_3\in\K\setminus\{0\}$ Elemente mit $h(\nu_i)\leq H$ und 
betrachte die 
Gleichung 
$$
\nu_1\varepsilon_1 + \nu_2\varepsilon_2 + \nu_3\varepsilon_3 = 0,
$$
mit den Unbestimmten
$$
\varepsilon_1\in \Z_{\K_1,\S_1}^*,\sp 
\varepsilon_2\in \Z_{\K_2,\S_2}^*,\sp 
\varepsilon_3\in \Z_{\K,\S}^*.
$$
Unter diesen Voraussetzungen gilt
\begin{align}
h\left(\frac{\nu_i\varepsilon_i}{\nu_3\varepsilon_3}\right) < &
\exp\left\{ c_{12}(d,s)\frac{P^d}{(\log^*P)^2}R_1R_2\log^*\max\{R_1,R_2\}
\times \right.
\nonumber \\  
& \log H\log^*\log^*\max\{h(\varepsilon_1),h(\varepsilon_2)\}
\Bigg\},\sp i=1,2. \nonumber
\end{align}
\end{lemma}
\begin{proof}
Wir k"onnen $s\geq 2$ annehmen, da sonst $\S=\S_\infty$ gilt und somit $\K$ ein
imagin"ar quadratischer Zahlk"orper sein muss. Dort ist aber der Einheitenrang
Null. Da $\K_1$ und $\K_2$ Zwischenk\"orper sind, muss dort ebenfalls der 
Einheitenrang Null sein.
\par
Seien nun $E_{\K_1}=\{\mu_1,\dots,\mu_{s_1-2}\}$ und 
$E_{\K_2}=\{\rho_1,\dots,\rho_{s_2-1}\}$
f"ur $i=1,2$ $\S_i$-Grundeinheitensysteme in $\K_i$. Dann existiert eine Darstellung
$$
\varepsilon_1 = \zeta_1\mu_1^{b_1}\cdots \mu_{s_1-1}^{b_{s_1-1}},\sp
\varepsilon_2 = \zeta_2\rho_1^{d_1}\cdots \rho_{s_2-1}^{d_{s_2-1}},
$$
wobei $b_i, d_i\in\Z$ und $\zeta_1,\zeta_2$ Einheitswurzeln sind. Ist 
$B=\max\{|b_i|,|d_i|,3\}$, so gilt f"ur alle $\nu\in\S$
$$
\log |\varepsilon_1|_\nu = \sum\limits_{i=1}^{s_1-1} b_i \log|\mu_i|_{\nu},
$$
also
$$
\left(
\matrix \log|\vep_1|_{\nu_{\p_1}} \\
        \vdots \\
        \log|\vep_1|_{\nu_{\p_{s_1-1}}}
\endmatrix
\right) =
\left(
\matrix
\log |\mu_1|_{\nu_{\p_1}} & \dots & \log |\mu_{s_1-1}|_{\nu_{\p_1}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\log |\mu_1|_{\nu_{\p_{s_1-1}}} & \dots & \log |\mu_{s_1-1}|_{\nu_{\p_{s_1-1}}}
\endmatrix
\right)
\left(
\matrix
b_1 \\
\vdots\\
b_{s_1-1}
\endmatrix
\right)
,\sp \nu_{\p_j}\in\S_1
$$
und somit
$$
(b_i)_{1\leq i\leq s_1-1} = (\log |\mu_i|_{\nu_{\p_j}})_{1\leq i,j\leq s_1-1}^{-1} 
(\log|\varepsilon_1|_{\nu_{\p_j}})_{1\leq j\leq s_1-1}.
$$
Nach Lemma \ref{buglemma1}, iii) gilt dann
$$
|b_i| \leq (s_1-1) c_7(s_1,d_1) \log h(\varepsilon_1).
$$
Analog f"uhrt die Berechnung mit den $d_i$'s zu
$$
|d_i| \leq (s_2-1) c_7(s_2,d_2) \log h(\varepsilon_2).
$$
Diese beiden Ungleichungen erlauben uns $s_1,s_2\geq 2$ anzunehmen. Weiter ist f"ur  
$s_i\leq s$, $i=1,2$
\begin{align}
c_7(s_i,d_i) = \frac{ ((s_i-1)!)^2}{2^{s_i-2}d_i^{s_i-1}}d_i^{s_i-1}\delta_{d_i}^{-1} 
\leq \frac{ ((s_i-1)!)^2}{2^{s_i-2}}\dinf^{-1}
\leq  c_{13}(s) \dinf^{-1} \nonumber 
\end{align}
mit 
$$
c_{13}= \tfrac{((s-1)!)^2}{2^{s-2}}.
$$
Insgesamt haben wir also, dass
$$
B\leq c_{14} \log^*\max\{h(\varepsilon_1),h(\varepsilon_2)\}\sp
\text{mit}\sp
c_{14}\deq 2.1 (s-1)c_{13}\dinf^{-1}
$$
gilt. Der in $c_{14}$ benutzte Faktor $2.1$ garantiert, dass $c_{14}\geq 3$ ist und 
somit $B$ korrekt nach oben abgesch\"atzt wird.  
\par
Sei nun $\nu\in\S$ so gew"ahlt, dass $|\tfrac{\vep_3}{\vep_1}|_\nu$ minimal ist. Es ist
\begin{align}\label{bug44}
\left|\frac{\nu_3\varepsilon_3}{\nu_1\varepsilon_1}\right|_\nu = &
\left| - \frac{\nu_2}{\nu_1}\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}-1\right|_\nu =
|\alpha_0 \mu_1^{-b_1}\cdots \mu_{s_1-1}^{-b_{s_1-1}} \rho_1^{d_1}\cdots 
\rho_{s_2-1}^{d_{s_2}-1}-1|_\nu=|\Lambda|_\nu 
\end{align}
mit 
$$
\alpha_0=\frac{\nu_2\varepsilon_2}{\nu_1\varepsilon_1}.
$$
Wir unterscheiden zwei F"alle.
\begin{fall} $\nu | \infty$. Wir setzen
\begin{align}
\log A_i = &\delta_d^{-1} \log h(\mu_i),\sp i=1,\dots,s_1-1, \nonumber\\
\log A_j = &\delta_d^{-1} \log h(\rho_i),\sp j=s_1,\dots,s_1+s_2-2,\nonumber\\
\log A_0 = & 2\delta_d^{-1}\log H. \nonumber
\end{align}
Hiermit wird garantiert, dass 
\begin{align}
\log A_i \geq & \max\{ \log h(\mu_i), \log|\mu_i|/(3.3d), 1/d \} \nonumber\\
\log A_j \geq & \max\{ \log h(\rho_j), \log|\rho_j|/(3.3d), 1/d \} \nonumber\\  
\log A_0 \geq & \max\{ \log h(\alpha_0), \log|\alpha_0|/(3.3d), 1/d \} \nonumber
\end{align}
gilt, da
$$
\log h(\alpha)\delta_d^{-1} \geq \frac{|\log \alpha|}{3.3d}.
$$
Wir verwenden nun Satz \ref{waldschmidt} an. Es folgt, dass
$$
|\Lambda|_\nu \geq \exp \left\{ 
-c_{10}(s_1+s_2-1)d^{s_1+s_2+1}\prod\limits_{i=0}^{s_1+s_2-2}\log A_i
\log\frac{2(s_1+s_2-1)B}{\log A_0}\right\}
$$
gilt, falls
$$
B\geq \log A_0\exp\{4(s_1+s_2)(7+3\log(s_1+s_2))\}
$$
und
$$
\log d \leq 7+3\log(s_1+s_2)
$$
gilt.
%% REMOVE ME
\par
\fbox{\parbox{13cm}{{\bf Falls $B<\log A_0\exp\{4(s_1+s_2)(7+3\log(s_1+s_2))\}$, 
dann direkte Schranke f\"ur die H\"ohe, vgl. \cite{BG}, p. 76.
Zweite Ungleichung gilt nur, falls $d<8773$.}}}
\par\noindent
%%
Mit Hilfe der Ungleichung i) aus Lemma \ref{buglemma1} ergibt sich dann
\begin{align}
\prod\limits_{i=0}^{s_1+s_2-2} \log A_i = &2\delta_d^{-(s_1+s_2-1)}
\prod\limits_{i=1}^{s_1-1} \log h(\mu_i) \prod\limits_{i=1}^{s_2-1}
\log h(\rho_i) \log H \nonumber\\
\leq & 2 \delta_d^{-2s+1}c_5(s_1,d_1)c_5(s_2,d_2)R_1R_2\log H, \nonumber\\
\leq & 2 \delta_d^{-2s+1}c_{13}^2R_1R_2\log H, \nonumber 
\end{align}
da f\"ur $i=1,2$ 
$$
c_5(s_i,d_i) = \frac{((s_i-1)!)^2}{2^{s_i-2}d_i^{s_i-1}}\leq c_{13}(s),
$$
gilt.
%% REMOVE ME
\par
\fbox{\parbox{13cm}{{\bf Hier muss $2c_{13}(s)$ stehen.}}}
\par\noindent
%%
Insgesamt ist somit
$$
|\Lambda|_\nu = \left|\frac{\nu_3\varepsilon_3}{\nu_1\varepsilon_1}\right|_\nu 
          \geq \exp\left\{-c_{15}'R_1R_2\log H\log \frac{2(2s-1)B}{\log A_0}\right\}
$$
mit 
$$
c_{15}' \deq 2c_{10}(2s-1)d^{2s+1}c_{13}^2\delta_d^{-2s+1}.
$$
Also ergibt sich unter der Ber"ucksichtigung der Minimalit"at von 
$|\tfrac{\varepsilon_3}{\varepsilon_1}|_\nu$ f"ur die H"ohe
$$
h\left(\frac{\varepsilon_3}{\varepsilon_1}\right) \leq 
\left| \frac{\varepsilon_3}{\varepsilon_1}\right|_\nu^{-(s-1)/d} 
$$
und
$$
H^{2d} \left|\frac{\vep_3}{\vep_1}\right|_\nu
\geq 
\left| \frac{\nu_3\varepsilon_3}{\nu_1\varepsilon_1}\right|_\nu =
\left|\frac{\varepsilon_3}{\varepsilon_1}\right|_\nu
\left|\frac{\nu_3}{\nu_1}\right|_\nu \leq 
\exp\left\{ -c'_{15}R_1R_2\log H\log c_{14}'B\right\},
$$
mit 
$$
c_{14}'=\frac{(2s-1)\delta_d}{\log H} 
$$
Insgesamt ist also
\begin{align}
h\left(\frac{\vep_3}{\vep_1}\right) \leq &
H^{2(s-1)}\exp\left\{ \tfrac{s-1}{d} c_{15}'R_1R_2\log H(\log 
c_{14}'+ \log B) \right\}
\nonumber
\end{align}
mit
$$
c_{14}' = \frac{(2s-1)\delta_d}{\log H}\leq \frac{2\log 2}{e}s\leq 0.51s.
$$
Somit ist
$$ 
h\left(\frac{\nu_3\vep_2}{\nu_1\vep_1}\right)\leq
H^{2s}\exp\{1.1\tfrac{s(s-1)}{d}c_{15}'R_1R_2\log H \log B \}.
$$ 
Beachtet man noch, dass 
$$
\frac{2ds\log H}{1.1s(s-1)c_{15}'R_1R_2\log H\log B}\leq 0.1 
$$
ist, dann gilt
$$
h\left(\frac{\nu_3\vep_3}{\nu_1\vep_1}\right)\leq
\exp\{c_{15}R_1R_2\log H\log B\}
$$
mit
$$
c_{15}\deq 1.22sc_{15}'.
$$
Hier haben wir benutzt, dass die Regulatoren $R_i$ durch $c_9$ nach unten 
beschr\"ankt sind.
\end{fall}
%
%
%
\begin{fall}
$\nu\not| \infty$. Um Satz \ref{yu} anwenden zu k"onnen, w"ahlen wir nun
\begin{align}
\log A_i = & \delta_d^{-1} \log h(\mu_i) + \log^*P,\sp i=1,\dots,s_1-1, \nonumber\\
\log A_{s_1-1+j} = & \delta_d^{-1} \log h(\mu_i) + \log^*P,\sp j=1,\dots,s_2-1, \nonumber\\
\log A_0 = & 2\delta_d^{-1}\log H + \log^*P\nonumber. 
\end{align}
Nun gilt nach \cite{BG}
\begin{align}
\log A_1\cdots & A_{s_1+s_2-2} = \prod_{i=1}^{s_1-1}(\delta_d^{-1}\log h(\mu_i)+\log^*P)\!\cdot
\!\prod_{j=1}^{s_2-1}(\delta_d^{-1}\log h(\rho_{s_1-1+j})+\log^*P) \nonumber\displaybreak[0]\\
\leq & \prod_{i=1}^{s_1-1}(\delta_d^{-1}\log h(\mu_i))
\left(\sum\limits_{k=0}^{s_1-1}
     \!\left( \matrix
           s_1-1 \\
            k 
           \endmatrix\right)
(d\log^*P)^k - (d\log^*P)^{s_1-1}
\right)\!\! \times
\nonumber \displaybreak[0]\\
& \prod_{j=1}^{s_1-1}(\delta_d^{-1}\log h(\rho_{s_1-1+j})) 
\left(\sum_{l=1}^{s_2-1}
     \!\left( \matrix
           s_2-1 \\
            l
           \endmatrix\right)
(d\log^*P)^l - (d\log^*P)^{s_2-1}
\right)
\nonumber \displaybreak[0]\\ 
\leq & (\log^* P)^{s_1-2}(c'_{16}(s_1,d)R_1+\log^*P)\cdot
(\log^* P)^{s_2-2}(c'_{16}(s_2,d)R_2+\log^*P)\nonumber\displaybreak[0]\\
\leq &
(\log^*P)^{s_1+s_2-4}R_1R_2(c'_{16}(s_1)+\tfrac{\log^*P}{R_1})
(c'_{16}(s_2)+\tfrac{\log^*P}{R_2}) \nonumber\displaybreak[0]\\
\leq &
{c_{16}''}R_1R_2(\log^*P)^{s_1+s_2-4} \leq c_{16}^2R_1R_2(\log^*P)^{s_1+s_2-4}\nonumber
\end{align}
mit
$$
c_{16}'(s)= (s/d)((s-1)!)^2\dinf^{-(s-1)}\sp\text{und}\sp
c_{16}''= (c'_{16}(s) + c_9^{-1}(\log 2)^{-1})^2.
$$
Da $d=r_1+2r_2$ und $s=r_1+r_2+t$ gilt ist $s/d\geq 2$ und damit ist
$c_{16}'(s)\geq 1$ f\"ur $s\geq 3$. Ist nun $s=2$, so kann $d$ nur 
$2$ oder $4$ sein, und falls $d=4$, dann ist $\tfrac{1}{2}\delta_{4_{\inf}}^{-1}\geq 1$.
Somit k\"onnen wir $c_{16}$ als
$$
c_{16} \deq 15 c_{16}'(s)
$$
definieren.\par
Wir setzen nun
$$
c_{17}\deq c_6(d_1,s_1),\sp
c_{18}\deq c_6(d_2,s_2).
$$
und betrachten zwei F"alle. Zun"achst nehmen wir an, dass 
$\log H<c_{17}R_1+c_{18}R_2$ ist.
Unter dieser Annahme sch"atzen wir den Term
$$
\log A = \max\limits_{0\leq i \leq s_1+s_2-2}\{ \log A_i\} 
$$
ab. Hierzu betrachten wir 
\begin{align}
\max\limits_{0\leq i \leq s_1-1} \{\log A_i\} 
\leq & \delta_{d}^{-1}\log h(\mu_i) + \log^*P 
\leq   \delta_{d}^{-1}c_{17}R_1 + (c_9\log 2)^{-1}R_1 \dbnn 
\leq & (c_{17}\dinf^{-1} + (c_9\log 2)^{-1})R_1 \dbnn
\max\limits_{s_1\leq i \leq s_2-2} \{\log A_i\} 
\leq & \delta_{d}^{-1}\log h(\rho_i) + \log^*P
\leq   \delta_{d}^{-1}c_{18}R_2 + (c_9\log 2)^{-1}R_2 \dbnn  
\leq & (c_{18}\dinf^{-1}+ (c_9\log 2)^{-1})R_2 \dbnn
\log A_0 \leq & 2\delta_d^{-1}(c_{17}R_1+c_{18}R_2)+(c_9\log 2)^{-1}
\max\{R_1,R_2\} \nonumber\\ \leq
&  (2\delta_d^{-1}(c_{17}+c_{18})+(c_9\log 2)^{-1})\max\{R_1,R_2\} \nonumber\\ \leq
& (8c_{13}(s)\dinf^{-1}+(c_9\log 2)^{-1})\max\{R_1,R_2\}.\nonumber
\end{align}
Insgesamt ist also
$$
\log A \leq c_{19}\max\{R_1,R_2\}
$$
mit 
$$
c_{19}\deq 112.5c_{13}(s)\dinf^{-1}.
$$
Wir wollen nun auf (\ref{bug44}) den Satz von Yu anwenden. Indem wir
\begin{align}
\Phi = \frac{P^d}{(\log^*P)^{s_1+s_2}}\log A_0\log A_1\cdots \log A_{s_1+s_2-2}\times
        \log(10(s_1+s_2-1)d\log A) \nonumber
\end{align}
setzen, erhalten wir
$$
\left|
\frac{\nu_3\varepsilon_3}{\nu_1\varepsilon_1}
\right|_\nu \geq\exp\{-T\} \deq
\exp\left\{ -c_{11}(s_1+s_2-1)d^{2(s_1+s_2-1)}d\Phi\log^*P\log(dB)\right\}.
$$
Analog zu der Rechnug mit den unendlichen Stellen erh\"alt man
$$
h\left(
\frac{\nu_3\vep_3}{\nu_1\vep_1}
\right)
\leq H^{2s}\exp\{\tfrac{s-1}{d} T\}
$$
Wir suchen eine Absch"atzung der Form
$$
h\left(\frac{\varepsilon_3\nu_3}{\varepsilon_1\nu_1}\right) 
\leq \exp\left\{ c_{20}\Phi\log^*P\log B\right\},
$$
was wir folgernderma"sen realisieren k"onnen.
\begin{align}
T = & \frac{s-1}{d} c_{11}(s_1+s_2-1)d^{2(s_1+s_2-1)}d\Phi\log^*P\log(dB)
\nonumber\\
\leq &
(s-1)c_{11}(2s-1)d^{4s-2}\Phi \log^*P(\log B+\log d) \nonumber \\
\leq &
 (s-1)c_{11}(2s-1)d^{4s-2}\Phi \log^*P\log B( 1 + (\log d - 1)/\log B)
\nonumber\\
\leq &
(s-1)c_{11}(2s-1)d^{4s-1}\Phi\log^*P\log B.
\nonumber
\end{align}
Da noch 
$$
\frac{2s\log H}{(s-1)c_{11}(2s-1)d^{4s-1}\Phi\log^*P\log B}\leq 0.1
$$
ist, k"onnen wir
$$
c_{20}\deq 1.1 (s-1)c_{11}(2s-1)d^{4s-1}
$$
setzen.
\par
Als Zweites untersuchen wir den Fall, dass $\log H > c_{17}R_1+c_{18}R_2$ gilt. Dann
gilt
$$
A_0 \geq A_i,\sp i=1,\dots,s_1+s_2-2,\sp\mbox{und}\sp
\log A \leq c_{19}\max\{R_1,R_2\}.
$$
Sei nun $B<\Phi(\log^*P)/(c_{17}R_1+c_{18}R_2)$. F\"ur die H\"ohe zweier 
Elemente $a,b\in\K$ gilt zum Beispiel nach \cite{Sm1}
\begin{align}\label{hineq}
h(a\pm b) \leq 2h(a)h(b)
\end{align}
Mit dieser Bemerkung ist
\begin{align}
h\left(\frac{\varepsilon_3\nu_3}{\varepsilon_1\nu_1}\right) = &  
 h\left(1+\frac{\varepsilon_2\nu_2}{\varepsilon_1\nu_1}\right) 
\leq  2h(\nu_1)h(\nu_2)h(\varepsilon_1)h(\varepsilon_2)\nonumber\displaybreak[0]\\
\leq & H^2\exp\{\log 2 + \log h(\varepsilon_1) + \log h(\varepsilon_2)\} \nonumber 
\displaybreak[0]\\
\leq & H^2\exp\left\{\log 2 + \log h(\prod\limits_{i=1}^{s_1-1}\mu_i^{b_i}) +
\log h(\prod\limits_{i=1}^{s_2-1}\rho_i^{d_i})\right\} \nonumber\displaybreak[0] \\
\leq & H^2 \exp\left\{ \log 2 +\sum\limits_{i=1}^{s_1-1} |b_i|\log h(\mu_i) +
\sum\limits_{i=1}^{s_2-1} |d_i|\log h(\rho_i) \right\} \nonumber\displaybreak[0] \\
\leq & H^2 \exp\{ \log 2 + B c_6(s_1,d_1)(s_1-1)R_1 + Bc_6(s_2,d_2)(s_2-1)R_2\} 
\nonumber \displaybreak[0]\\
\leq & H^2 \exp\{ s c_{13}(s)\dinf^{2-s}B(R_1+R_2)\}
\leq   H^2 \exp\{ s c_{13}(s)\dinf^{2-s}\Phi \log^*P\}. \nonumber
\end{align}
Wir setzen 
$$
c_{21}\deq s c_{13}(s)\dinf^{2-s},
$$
und beachten, dass
$$
\log A_i \geq \log^*P,\sp i=1,\dots,s_1+s_2-2\sp
\text{und}\sp
\log A_0 \geq 2\delta^{-1}\log H
$$
gilt. Dann l\"a"st sich die H\"ohe wegen
\begin{align}\label{mrel1}
\frac{2\log H(\log^*P)^{s_1+s_2}\delta_d\dinf^{s-2}}
{2sc_{13}(s)P^d(\log^*P)^{s_1+s_2-1}\log H\log(10(s_1+s_2-1)d\log A)}
\leq  
\frac{\log 2}{4\log 20}\leq 0.06
\end{align}
folgenderma"sen absch\"atzen.
\begin{align}
h\left(\frac{\varepsilon_3\nu_3}{\varepsilon_1\nu_1}\right) \leq &
\exp\{ 1.12c_{21}B(R_1+R_2)\} \nonumber \\
\leq & \exp\{c_{21}\Phi\log^*P(R_1+R_2)/(c_{17}R_1+c_{18}R_2\}\} \nonumber\\
\leq & \exp\{c_{22}\Phi\log^*P\}  \nonumber 
\end{align}
mit 
$$
c_{22}\deq 1.1 c_{21}.
$$
Ist nun $B\geq \Phi(\log^*P)/(c_{17}R_1+c_{18}R_2)$ k"onnen wir den zweiten Teil des Satzes
von Yu anwenden. Hierzu setzen wir
$$
\delta\deq \frac{\Phi\log^*P}{B(c_{17}R_1+c_{18}R_2)},\sp
\Psi = c_{11}(s_1+s_2-1)d^{2(s_1+s_2-1)}\Phi\deq k_1\Phi
$$
und erhalten
$$
\Psi\log\left(\frac{B(c_{17}R_1+c_{18}R_2)}{\Phi\log^*P\log A_0}\Psi\right) = 
\Psi\log\left(k_1\frac{B(c_{17}R_1+c_{18}R_2)}{\log^*P\log A_0}\right).
$$
Da $\log A_0\geq \log H >c_{17}R_1 + c_{18}R_2$ ist, folgt
$$
\Psi\log\left(k_1\frac{B(c_{17}R_1+c_{18}R_2)}{\log^*P\log A_0}\right) < \Psi\log(k_1B).
$$
Hieraus ergibt sich
\begin{align}
\left|\frac{\varepsilon_3\nu_3}{\varepsilon_1\nu_1}\right|_\nu \geq &
\exp\left\{
-c_{11}(2s-1)d^{4s-1}\Phi d \log^*P\log(k_1B)\right\} \nonumber\\
\geq & \exp\left\{ -c_{11}(2s-1)d^{4s} \log(c_{11}(2s-1)d^{4s-1})\Phi \log^*P\log B\right\}. \nonumber
\end{align}
Wir setzen noch 
$$
c_{24}'\deq  c_{11}(2s-1)d^{4s} \log(c_{11}(2s-1)d^{4s-1})
$$
und erinnern, dass $\nu$ so gew"ahlt ist, dass $|\tfrac{\vep_3}{\vep_1}|_\nu$
minimal ist. Es gilt also
$$
h\left(\frac{\vep_3\nu_3}{\vep_1\nu_1}\right) \leq 
\left|
\frac{\vep_3\nu_3}{\vep_1\nu_1} \right|_\nu^{-(s-1)/d} 
\leq  H^{2s}\exp\left\{
\tfrac{s-1}{d}c_{24}'\Phi \log^*P\log B
\right\}. 
$$
Analog zu (\ref{mrel1}) ist 
$$
\frac{2ds\log H}{(s-1)\Phi c_{11}(2s-1)d^{4s}\log(c_{11}(2s-1)d^{4s-1})}\leq 0.001
$$
und somit
$$
h\left(\frac{\vep_3\nu_3}{\vep_1\nu_1}\right)\leq 
\exp\{c_{24}\Phi\log^*P\log B\}
$$
mit
$$
c_{24}\deq 1.001\frac{s-1}{d}c_{24}'
$$
Zusammenfassend haben wir aus den einzelnen F"allen die Absch"atzungen
\begin{align}
h\left(\frac{\varepsilon_3\nu_3}{\varepsilon_1\nu_1}\right) \leq &
\exp\{c_{20}\Phi\log^*P\log B\}, \nonumber \\
h\left(\frac{\varepsilon_3\nu_3}{\varepsilon_1\nu_1}\right) \leq &
\exp\{c_{22}\Phi\log^*P\}, \nonumber \\
h\left(\frac{\varepsilon_3\nu_3}{\varepsilon_1\nu_1}\right) \leq &
\exp\{c_{24}\Phi\log^*P\log B\}. \nonumber 
\end{align}
Es ist offensichtlich, dass $c_{24}$ gr\"o"ser ist als $c_{20}$. Der in $c_{24}$
auftretende logarithmische Term l\"a"st sich mit
\begin{align}
\log(c_{11}(2s-1)d^{4s-1}) = &
          \log(22000\cdot (19s)^{4s} d^{2s-1}) 
\leq    4s\log(22000^{1/8}\cdot 19ds) \nonumber \\
\leq  & 4s(\log 67 + \log sd )\leq 8s^2d\log 67 
\leq  33.7s^2d \nonumber 
\end{align}
absch\"atzen. Wir m\"ussen nur noch die Terme $c_{22}$ und $c_{24}$ vergleichen. Es ist
\begin{align}
c_{22} = & 1.12 s c_{13}(s)\dinf^{2-s} =
           1.12 s \frac{((s-1)!)^2}{2^{s-2}}\dinf^{2-s}
   \leq    1.12 \frac{s^{2s}}{2^{3s-9}}\dinf^{2-s} \nonumber \\ 
   \leq &    2^4 s^{2s}\cdot 306^{s-2} d^{3s-6} \nonumber
\end{align}
und f\"ur die ersten beiden Faktoren in $c_{24}$ ergibt sich
\begin{align}
(s-1)c_{11}(2s-1)d^{4s-1} 
    = & 22000(19)^{4s}(s-1)\cdot s^{4s} d^{4s-1} \nonumber\\ 
    =   & 22000\cdot 19^8 \cdot (19^4)^{s-2}(s-1)\cdot s^{4s}d^{4s-1} \nonumber 
\end{align}
was zeigt, dass 
$$
 \max\{c_{20},c_{22},c_{24}\} \leq c_{25}'
$$
gilt, mit
$$
c_{25}' = 33.8s^3d^{4s}c_{11}(2s-1).
$$
Es bleibt noch $c_{25}'$ mit der Konstanten $c_{15}$ zu vergleichen. Es gilt
$$
2.5sc_{10}(2s-1) \geq  33.8s^3c_{11}(2s-1)
$$
woraus folgt, dass wir eine Konstante
$$
c_{26} \deq 2.5sc_{10}(2s-1) d^{4s-1}c_{13}(s)^2\delta_d^{-2s+1}
$$ 
gefunden haben f\"ur die
$$
\max\{c_{15}',c_{20},c_{22},c_{24}\}\leq c_{26}
$$
gilt.
Nun ist
\begin{align}
\Phi = & \frac{P^d}{(\log^*P)^{s_1+s_2}}\log A_0 \log A_1\cdots \log A_{s_1+s_2-2} \log(10(s_1+s_2-1)d\log A)
\nonumber \\
 \leq & \frac{4P^d}{(\log^*P)^{s_1+s_2}} c_{16}R_1R_2(\log^*P)^{s_1+s_2-3}
\log (20sdc_{19}\max\{R_1,R_2\})
 \delta_d^{-1}\log H \nonumber
\end{align}
und
\begin{align}
\log(20sdc_{19})\leq & \log(688500\cdot 2^{3s-9} s^{2s} d^4)
\leq 2s\log(48.45sd) \dbnn
\leq & 4s^2d\log 48.45\leq 15.53s^2d. \nonumber
\end{align}
Hieraus folgt
\begin{align}
h\left(\frac{\vep_3\nu_3}{\vep_1\nu_1}\right) 
\!\!\leq & \exp
          \left\{ 
                \left(
                     124.24 s^2d\cdot c_{26}c_{16}^2
                     \delta_d^{-1}
                     \frac{P^d}{(\log^*P)^2}R_1R_2
                     \log^*\max\{R_1,R_2\}
                     \log H
                \right)
          \right.
       \!\!\times \nonumber\\
     & \left(
            \log c_{14}+
            \log^*\log^*\max\{h(\vep_1),h(\vep_2)\}
       \right)
       \Bigg\} \nonumber \\
\leq & \exp
          \left\{ 
                (248.48s^2d\cdot c_{26}c_{16}^2\delta_d^{-1} \log c_{14})
                \frac{P^d}{(\log^*P)^2}
                R_1R_2\log^*\max\{R_1,R_2\}\right.\times \dbnn
                \log H
     &    \log^*\log^*\max\{h(\vep_1),h(\vep_2)\}\Bigg\},
\nonumber
\end{align}
folgt. F\"ur den Term $c_{16}$ ergibt sich
\begin{align}
c_{16} =&  15 \frac{s}{d}((s-1)!)^2\dinf^{-(s-1)}
      \leq 15 \frac{s^{2s}}{2^{3s-9}d}\dinf^{-(s-1)}
      \leq 60 s^{2s}\dinf^{-(s-1)} \nonumber 
\end{align}
und
\begin{align}
\log c_{14} = & \log 2.1(s-1) c_{13}(s)\dinf^{-1} 
         \leq \log 2.1 \cdot 2^3 s^{2s}\cdot 306 d^3 \dbnn
         \leq & 2s \log 8.5sd\leq 4s^2d\log 8.5\leq 4.3s^2d. \nn
\end{align}
Somit berechnet sich die Konstante $c_{12}$ aus dem Lemma als
\begin{align}
 248.48s^2d\delta_d^{-1}c_{26}c_{16}\log c_{14} =
 9616176\cdot s^{4s+5}d^{4s+1}c_{10}(2s-1)c_{13}(s)^2\delta_d^{-2s+2}\dinf^{-(2s-2)}\nn
\end{align}
\end{fall}
\end{proof}
Wir stellen nun noch einige f\"ur uns n\"utzliche Ergebnisse zusammen. 
\begin{lemma}\label{buglemma5}
In jeder Idealklasse $\mf{C}$ von $\K$ existiert ein ganzes Ideal $\mf{a}\in\mf{C}$
mit der Eigenschaft
$$
|\Nrm_{\K/\Q}(\mf{a})|\leq |D_\K|^{1/2}.
$$
\end{lemma}
\begin{proof}
\cite{ShT}.
\end{proof}
\begin{lemma}\label{buglemma6}
Seien $\K,\M$ Zahlk\"orper mit $[\M:\K]=m$ und $a\in\Z_\M$ ein ganzes Element mit
$\M=\K(a)$. Bezeichnet $f_{{\rm min}}$ das Minimalpolynom von $a$ \"uber $\K$, so gilt f\"ur die 
Diskriminanten
$$
|D_\M|\leq |D_\K|^m |\Nrm_{\M/\Q}(f_{{\rm min}}(a))|.
$$
\end{lemma}
\begin{proof}
\cite{Bug}.
\end{proof} 
\begin{lemma}\label{buglemma7}
Sei $\K\leq\M$ mit $[\M:\Q]=m$. Es gilt
$$
R_\K \leq c_{28}(m)R_\M
$$
mit
$$
c_{28}(m) \deq \left(\frac{m-2}{2}\right)! \frac{((m-1)!)^2}{(2\delta_m)^{m-1}}m
$$
\end{lemma}
\begin{lemma}\label{buglemma8}
Es existiert eine Konstante $c_{29}(d)$, die nur von $d$ abh\"angt, so dass
$$
R_\K h_\K \leq c_{29}(d)|D_\K|^{1/2}(\log^*|D_\K|)^{d-1}
$$ 
gilt.
\end{lemma}
\begin{proof}
\cite{Len}.
\end{proof}
%
%
%
\subsection{Die obere Schranke}
%
%
%
Wir betrachten eine Gleichung der Form
\begin{align}\label{bug21}
y^2 = g(X) = (X-\alpha_1)(X-\alpha_2)(X-\alpha_3)= X^3 + a_2X^2 + a_1X + a_0\in\Z_\K[X]
\end{align}
und bezeichnen mit $f_i$, $1\leq i \leq 3$ die Minimalpolynome der $\alpha_i$ "uber $\K$, 
und mit $\Disc_{\alpha_i}$ deren Diskriminante. Es ist bekannt, dass die Diskriminante 
$\Disc_g$ von $g(X)$, die Resultante der Polynome $g$ und $f_i$ ${\rm Res}(g,f_i)$ und
$\Disc_{\alpha_i}$ ganze algebraische Zahlen in $\K$ sind. Ausserdem bemerken wir die Tatsache,
dass $N_{\K/\Q}(\Disc_{\alpha_i})$ und $N_{\K/\Q}({\rm Res}(g',f_i)$ die Norm 
$N_{\K/\Q}(\Disc_g)$ teilen.
\begin{step}
Es sei $(x,y)\in\Z_{\K,\S}\times\K$ eine L"osung von (\ref{bug21}). Das 
Ideal $(x)$ hat eine eindeutige Darstellung der Form
$$
(x) = \mf{a}\mf{b}^{-1}, \sp \ggT(\mf{a},\mf{b})=(1),
$$
wobei $\mf{b}$ so gew"ahlt ist, dass alle Faktoren von $\mf{b}$ in $\S$ enthalten sind.
Nach Lemma \ref{buglemma5} existiert ein ganzes Ideal $\mf{b}'$, welches in der gleichen
Idealklasse wir $\mf{b}^{-1}$ liegt, mit der Eigenschaft 
$|\Nrm_{\K/\Q}(\mf{b}')|\leq |D_\K|^{1/2}$. Wir haben 
$$
(x) = (\mf{a}\mf{b}')\cdot (\mf{b}'\mf{b})^{-1},
$$
wobei $(\mf{b}'\mf{b})$ ein Hauptideal ist und folgern, dass auch $(\mf{a}\mf{b}')$ ein 
Hauptideal sein muss. Hieraus schlie"sen wir eine Darstellung von $x$ als
$$
x=\frac{X}{z},\sp X,z\in\Z_{\K,\S}
$$
mit
$$
(X) = \mf{a}\mf{b}',\sp (z)=\mf{b}\mf{b}'.
$$
Da $\mf{a}$ und $\mf{b}$ teilerfremd waren ist $((X),(z))=\mf{b}$.
Die rechte Seite der Gleichung (\ref{bug21}) l"asst sich nun als
\begin{align}
f(X,z) = & z^3 f(X/z) = z^3f(x) = ay^2z^3  \nonumber\\
       = & (x-z\alpha_1)(x-z\alpha_2)(x-z\alpha_3) \nonumber
\end{align}
schreiben.
\end{step}
\begin{step}
F"ur $i\neq j$ gilt
$$
(X-z\alpha_i, X-z\alpha_j) = (z(\alpha_i-\alpha_j), X-z\alpha_i, X-z\alpha_j, X(\alpha_i-\alpha_j)),
$$
also
$$
(X-z\alpha_i, X-z\alpha_j)~|~(\alpha_i-\alpha_j)(X,z)~|~g'(\alpha_i)\mf{b}'.
$$
Sei nun $\p$ ein Primideal mit 
$$
\p^k~|~(X-\alpha_iz),\sp\text{$k$ ungerade}.
$$
Falls
$$
\p\not| g'(\alpha_i)\mf{b},
$$
dann teilt $\p$ auch nicht $(x-z\alpha_j)$, f"ur alle $i\neq j$. Es muss also $\p|(a)$ gelten und
\begin{align}\label{2star}
(X-z\alpha_i) = \mf{a}_i\mf{b}_i^2\sp\text{und}\sp \mf{a}_i\Z_\F~|~\mf{b}'g'(\alpha_i)a\Z_\F
\end{align}
mit $\F\deq \K(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$.
\par
Sei nun $f_i$ das Minimalpolynom von $\alpha_i/\K$ und $\alpha_{i_1},\dots,\alpha_{i_k}$ die Nullstellen
von $f_i$. Da $\Nrm_{\F/\Q}(\mf{a}_{i_j})=\Nrm_{\F/\Q}(\mf{a}_i)$ f"ur $1\leq j \leq k$ ist
$$
|\Nrm_{\F/\Q}(\alpha_i)|^k = \prod\limits_{j=1}^{k} |\Nrm_{\F/\Q}(\alpha_{i_j})|
$$
und mit (\ref{2star}) gilt
\begin{align}
|\Nrm_{\F/\Q}(\mf{a}_i)|^k\leq & \left|\Nrm_{\F/\Q}(a\mf{b}')^k\prod\limits_{j=1}^{k}
\Nrm_{\F/\Q}(g'(\alpha_{i_j}))\right| \nonumber\\
\leq & |\Nrm_{\F/\Q}(a\mf{b}')^k\Nrm_{\F/\Q}({\rm Res}(g',f_i))|. \nonumber
\end{align}
Die Resultante von $g'$ und $f_i$ ist ein Element von $\K$, $\Nrm_{\K/\Q}(a)\leq A$
und $\Nrm(\mf{b}')\leq D_\K^{1/2}$, also
\begin{align}
\Nrm_{\K(\alpha_i)/\Q}(\mf{a}_i) \leq &| (A\Nrm_{\K/\Q}(\mf{b}'))^n
\Nrm_{\K/\Q}({\rm Res}(g',f_i))| \nonumber\\
\leq & A^n|D_\K|^{3/2}|\Nrm_{\K/\Q}({\rm Res}(g',f_i))|. \nonumber
\end{align}
Wir wissen, dass $(X-z\alpha_i)$ eine Darstellung als $(\mf{a}_i\mf{b}_i^2)$ mit Idealen 
$\mf{a}_i,\mf{b}_i$ aus $\K_i=\K(\alpha_i)$ hat. Nach Lemma (\ref{buglemma5}) existiert
ein ganzes Ideal $\mf{b}_i'$ in der Klasse von $\mf{b}_i$ derart, dass
$$
|N_{\K/\Q}(\mf{b}_i)|\leq |D_{\K_i}|^{1/2}
$$
gilt, also haben wir
$$
(X-z\alpha_i)=(\mf{a}_i{\mf{b}_i'}^2)(\mf{b}_i/\mf{b}_i')^2.
$$
Somit finden wir ein $\kappa_i'\in\Z_{\K_i}$ und ein $\xi_i'\in\K_i$ mit
$$
X-z\alpha_i = \kappa_i'{\xi_i'}^2.
$$
Wendet man nun Lemma (\ref{buglemma6}) auf die Erweiterung $\K\subset\K_i=\K(\alpha_i)$
an, erh"alt man
$$
|D_{\K_i}|\leq |D_\K|^n|\Nrm_{\K_i/\Q}(f_i'(\alpha_i))|\leq|D_\K|^n|\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_{\alpha_i})|
$$
und es folgt mit (\ref{bug52})
$$
|\Nrm_{\K_i/\Q}(\kappa_i')|\leq  A^n |D_\K|^{3n/2}|N_{\K/\Q}({\rm Res}(g',f_i)
\Disc_{\alpha_i}|.
$$
Aus Lemma (\ref{buglemma2}) folgt nun, dass eine Einheit $\varepsilon\in\Z_{\K_i}$ existiert,
derart dass 
\begin{align}
h(\varepsilon^2\kappa_i') \leq & \Nrm_{\K_i/\Q}(\kappa_i')^{1/[\K_i:\Q]} \cdot
\exp\{ 2c_8([\K_i:\Q],r_i)R_{\K_i}\} \nonumber\\
\leq & \Nrm_{\K_i/\Q}(\kappa_i')^{1/d}\cdot \exp\{
2c_8(3d,3d-1)R_{\K_i}
\} \nonumber\\
\leq & 
\exp\{
2c_8(3d,3d-1)R_{\K_i}+\tfrac{n}{d}\log A +\tfrac{3}{2}\log|D_\K|+\tfrac{2}{d}\log|\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|
\}\nonumber\\
\leq &  
\exp\{
2c_8(3d,3d-1)R_{\K_i}+\tfrac{3}{2}\log |AD_\K\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|
\}.\nonumber 
\end{align}
Da $\kappa_i$ eine ganze Zahl ist, konnte $t=0$ gew"ahlt werden.
\par
Setze nun 
$$
\kappa_i = \varepsilon^2\kappa_i',\sp\text{und}\sp
\xi_i = \frac{\xi_i'}{\varepsilon},
$$
dann ist 
$$
X-z\alpha_i = \kappa_i\xi_i^2
$$
und $h(\kappa_i)$ ist beschr"ankt.
\end{step}
\begin{step}
Wir setzen nun $\K_{ij}=\K_i(\alpha_j)$ f"ur $i\neq j$ und $\L_{ij}=\K_{ij}(\sqrt{\alpha_i\alpha_j})$.
Dies sind Unterk"orper von $\M=\K(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\sqrt{\kappa_1\kappa_2},\sqrt{\kappa_1\kappa_3})$.
F"ur den  K"orpergrad von $\M$ "uber $\Q$ gilt
$$
[\M:\Q]\leq 4 [\K(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3):\Q] \leq 24d.
$$
Des weiteren bezeichnen wir mit $R_{ij}$ und mit $h_{ij}$ den Regulator, beziehungsweise die Klassenzahl
von $\L_{ij}$. Zum Erzeugen von Einheitengleichungen setzen wir
$$
\tau_1=\kappa_1\xi_1,\sp
\tau_2=\sqrt{\kappa_1\kappa_2}\xi_2,\sp
\tau_3=\sqrt{\kappa_1\kappa_3}\xi_3
$$
und es gelten die folgenden Gleichungen
\begin{align}
\kappa_1(\alpha_2-\alpha_1)z =& \tau_1^2-\tau_2^2, \nonumber \\
\kappa_1(\alpha_3-\alpha_1)z =& \tau_1^2-\tau_3^2, \nonumber \\  
\kappa_1(\alpha_2-\alpha_3)z =& \tau_3^2-\tau_2^2. \nonumber 
\end{align}
Man zeigt dies, indem man die rechten Seiten der Gleichungen betrachtet. Es gilt zum Beispiel
\begin{align}
\tau_1^2 - \tau_3^2 = & \kappa_1(\kappa_1\xi_1^2-\kappa_3\xi_3^2) \nonumber\\
=& \kappa_1(X-z\alpha_1-X+z\alpha_3). \nonumber
\end{align}
Die verbleibenden Gleichungen sind analog zu zeigen.
Wir bezeichnen nun noch f"ur $i\neq j$ mit $\S_{ij}$ die Menge aller Erweiterungen von Stellen aus $\S$ auf 
$\L_{ij}$ und zeigen, dass $(\tau_1\pm \tau_3)\in\L_{13}$ und $\sqrt{\kappa_3/\kappa_1}(\tau_2-\tau_3)\in\L_{23}$ 
gilt. 
\par
Es folgt nun aus (\ref{bug54}) und (\ref{bug56}), dass 
\begin{align}
\Nrm_{\S_{1j}}(\tau_1\pm\tau_j) \leq &\Nrm_{\S_{1j}}(\kappa_1) \Nrm_{\S_{1j}}(\alpha_j-\alpha_1)\Nrm_{\S}(z) \nonumber\\
\leq & \Nrm_{\L_{1j}/\K_1}(A^n D_\K^{3n/2}|\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|^3) \nonumber\\
\leq & A^{4n}D_\K^{6n} |\Nrm_\K/\Q(\Disc_f)|^{12} \nonumber
\end{align}
%% REMOVE ME
\par
\fbox{\parbox{13cm}{{\bf Das ist der $\S$-Norm von $z$ verstehe ich nicht.}}}
\par\noindent
%%
da der Grad der Erweiterung $[\L_{1j}:\K_1]$ maximal $4$ ist. Weiter gilt
\begin{align}
\Nrm_{\S_{23}}(\sqrt{\kappa_3/\kappa_1}(\tau_2\pm\tau_3)) \leq &
\Nrm_{\S_{23}}(\sqrt{\kappa_3/\kappa_1}\kappa_1(\alpha_1-\alpha_3)z)\nonumber \\
\leq & \Nrm_{\S_{23}}(\sqrt{\kappa_1\kappa_3})\Nrm(\alpha_2-\alpha_3)\nonumber\\
\leq & A^{4n}D_\K^{6n}|\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|^{12}\nonumber
\end{align}
Anwendung von Lemma \ref{buglemma2} in den K"orpern $\L_{ij}$ liefert
\begin{align}
\tau_1+\tau_2 = & b_3\vep_3\sp\text{und}\sp \tau_1-\tau_2 = g_3\delta_3, \nonumber \\
\tau_1+\tau_3 = & b_2\vep_2\sp\text{und}\sp \tau_1-\tau_3 = g_2\delta_2, \nonumber 
\end{align}
$$
\sqrt{\kappa_3/\kappa_1}(\tau_2+\tau_3) = b_1'\vep_1\sp\text{und}\sp
\sqrt{\kappa_3/\kappa_1}(\tau_2-\tau_3) = g_1'\delta_1.
$$
Hierbei sind f"ur jede Permutation $(i,j,k)$ der Indizes $(1,2,3)$ $\vep_i,\delta_i$ $\S_{jk}$-Einheiten 
in $\L_{jk}$. Setzt man nun noch
$$
b_1 = \sqrt{\kappa_1/\kappa_3}b_1'\sp\text{und}
g_1 = \sqrt{\kappa_1/\kappa_3}g_1'
$$
gilt
$$
\tau_2+\tau_3=b_1\vep_1\sp\text{und}\sp
\tau_2-\tau_3=g_1\delta_1.
$$
Es ist nun
$$
h(\vep_i^{-1}(\tau_j\pm\tau_k))\leq
\Nrm(\tau_j\pm\tau_k)^{1/[\L_{jk}:\Q]}\exp\{
c_8([\L_{jk}:\Q],r_{jk})(R_{jk}+th_{jk}\log^*P)\}.
$$
Wegen der Definition von $b_1',b_2,b_3,g_1',g_2$ und $g_3$ ist 
deren H"ohe durch
$$
(A^{4n}D_\K^{6n}|\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|^{12})^{1/d}\times\exp\{
c_8(24d,24d-1)(R_{jk+}th_{jk}\log^*P)\}
$$
beschr"ankt. Nun ist
$$
h(b_1)= h(b_1')(h(\kappa_1)h(\kappa_3))^{1/2}
$$
und 
$$
h(\kappa_i)\leq (A^n|D_\K|^{3n/2}|\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|^2)^{1/d}\exp\{
2c_8(3d,3d-1)R_i\}.
$$
Au"serdem ist $\K_{ij}=\K(\alpha_i)(\alpha_j)$ und somit $[\K_{ij}:\K_i]\leq 3$ und
$[\K_{ij}:\Q]\leq 6d$. Aus Lemma \ref{buglemma7} folgt weiter, dass f"ur die 
Regulatoren die Beziehung 
$$
R_i\leq c_{28}(6d)R_{ij}
$$
gilt. Insgesamt ist 
$$
h(\kappa_i)\leq (A^n|D_\K|^{3n/2}|\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|^2)^{1/d}\exp\{
2c_8(3d,3d-1)c_{28}(6d)R_{ij}\}.
$$
F"ur die H"ohen von $b_1$ und $g_1$ l"a"st sich also auf die Absch"atzung 
\begin{align}
h(b_1),h(g_1)\leq &
(A^{5n}|D_\K|^{15n/2}|\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|^{14})^{1/d}\times\exp\{c_8(24d,24d-1)\times \nonumber \\
&(R_{jk}+th_{jk}\log^*P)+2c_8(3d,3d-1)c_28(6d)R_{jk}\} \nonumber
\end{align}
Wir betrachten nun das Ideal $(z)=\mf{b}\mf{b}'$ mit $\Nrm(\mf{b}')\leq |D_\K|^{1/2}$. Das Ideal
hat in $\K$ eine Zerlegung in Primideale der Form
$$
(z) = \prod\limits_{i=1}^{t} \p_i^{a_i}\prod\limits_{j=1}^u \q_j^{b_j},
$$ 
wobei die Teilbarkeitsbeziehung $\prod\limits_{j=1}^u \q_j^{b_j}|\mf{b}'$ gilt.
Wir f"uhren nun eine Euklidische Division der $a_i$ mit $2h_\K$ durch. Es existieren also
ganze Zahlen $q_i$ und $r_i$ mit 
$$
a_i = 2h_\K q_i+r_i,\sp 0\leq r_i <2h_\K
$$
gilt. Das Ideal $(z)$ schreibt sich dann als
$$
(z) = (\prod\limits_{i=1}^{t}\p_{i}^{h_\K q_i})^2
       \prod\limits_{i=1}^{t}\p_{i}^{r_i}
       \prod\limits_{j=1}^u \q^{b_j}.
$$
Sei $z_1$ ein Erzeuger des Hauptideals $\prod\limits_{i=1}^{t}\p_{i}^{h_\K q_i}$. Es ist klar, dass
$z_1^{-1}$ eine $\S$-Einheit ist. Es ist $z=z_1z_2$ mit $z_2\in\Z_\K$ und die Norm von $z_2$ ist
durch
$$
N_{\K/\Q}(z_2)\leq P^{2dth_\K}|D_\K|^{1/2}
$$ 
beschr"ankt. Wenden wir nun  Lemma \ref{buglemma2} auf $z_2$ an so erhalten wir ein Element
$\eta_2\in\Z_{\K}^{*}$ und ein Element $z_3\in\Z_\K$ mit
\begin{align}
z_2 = \eta_2^2z_3\sp\text{und}\sp
h(z_3)\leq & P^{2th_\K}|D_\K|^{1/(2d)}\times\exp
\{
2c_8(d,d-1)R_\K+2th_\K\log^*P
\} \nonumber \\
\leq & |D_\K|^{1/(2d)}\exp\{
2c_8(d,d-1)R_\K+4th_\K\log^*P\}.\nonumber
\end{align}
Setzt man $\eta=\eta_2^{-1}z_1^{-1}$, dann gilt
$$
z = z_1^2z_2 = z_1^2\eta_2^2 = \eta^{-2}z_3
$$
und $\eta$ ist eine $\S$-Einheit.
Wie vorher bezeichne $\S_\M$ die Menge aller Fortsetzungen der Stellen aus $\S$ auf $\M$. Es gelten die
folgenden $\S_M$-Einheitengleichungen:
\begin{align}
b_1\vep_1\eta - b_2\vep_2\eta + g_3\delta_3\eta = & 0 \nonumber \\
b_1\vep_1\eta + g_2\delta_2\eta - b_3\vep_3\eta = & 0 \nonumber \\
g_1\delta_1\eta + b_2\vep_2\eta - b_3\vep_3\eta = & 0 \nonumber \\
g_1\delta_1\eta - g_2\delta_2\eta + g_3\delta_3\eta = & 0 \nonumber  
\end{align}
\end{step}
\begin{step} Zun"achst suchen wir eine Absch"atzung f"ur die gr"o"se des $\S_{ij}$-Regulators
$R_{\S{ij}}$ der $\L_{ij}$. Das Minimalpolynom der $\sqrt{\kappa_i\kappa_j}$ "uber $\K_{ij}$ ist
$X^2 - \kappa_i\kappa_j$. Mehrmaliges Anwenden von Lemma (\ref{buglemma6}) und den Ungleichungen
(\ref{bug53}) und (\ref{bug54}) liefert
\begin{align}
|D_{\L_{ij}}| \leq & 2^{12d}|D_{\K_{ij}}|^2|\Nrm_{\K_{ij}/\Q}(\kappa_i\kappa_j)| \nonumber\\
\leq &  2^{12d}|D_{\K_i}|^4 | \Nrm_{\K_{ij}/\Q}(\Disc_{\alpha_j}|^2 |\Nrm_{\K_{ij}/\Q}(\kappa_i\kappa_j) \nonumber\\
\leq & 2^{12d}|D_\K|^{12} |\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_{\alpha_i})| |\Nrm_{\K_i/\Q}(\Disc_{\alpha_j})|^2 
|\Nrm_{\K_{ij}/\Q}(\kappa_i)| |\Nrm_{\K_{ij}/\Q}(\kappa_j)| \nonumber \\
\leq & 2^{12d}|D_{\K}|^{12}|\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|^7 A^{18}|D_\K|^{27}|\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|^{12} \nonumber \\
= & 2^{12d}|D_\K|^{39}A^{18}|\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|^{19}. \nonumber 
\end{align}
Nach Lemma \ref{buglemma8} gilt
$$
h_{ij}R_{ij}\leq c_{29}(6d)|D_{\L_{ij}}|^{1/2}(\log^*|D_{\L_{ij}}|)^{6d-1}.
$$
Da
\begin{align}
\log D_{\L_{ij}}\leq & 12d\log 2 + \log(|D_\K|^{39}A^{18}|\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|^{19})\nonumber \\
\leq & 24d\log 2 \log (|D_\K|^{39}A^{18}|\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|^{19} \nonumber \\
\leq & 24d\log 2 \cdot 39\cdot \log^*(|D_\K|A\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|) \nonumber \\
\leq & 650d\log^*(|D_\K|A|N_{\K/\Q}(\Disc_f)|) \nonumber 
\end{align}
ist $h_{ij}R_{ij}\leq {\bar R}$ mit 
\begin{align}
{\bar R} \deq & c_{29}(6d)2^{6d}(650d)^{6d-1}|D_\K|^{39/2}A^9|\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|^{19/2}
\log^*(|D_\K|A|\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|)^{6d-1} \nonumber
\end{align}
Aus Lemma \ref{buglemma3} folgt nun
$$
\max\{R_{\S_{12}}, R_{\S_{13}}, R_{\S_{23}}\}\leq {\bar R}(12d\log^*P)^{12dt}.
$$
Wenden wir nun noch Lemma \ref{buglemma4} auf die $\S_{\M}$-Einheitengleichungen 
an, so folgt unter Beachtung von (\ref{bug59}) und (\ref{bug514}), dass f"ur 
$$
H_{{\rm max}}\deq \max_{i=1,2}\left\{
h\left(\frac{b_i\vep_i}{b_3\vep_3}\right),
h\left(\frac{g_i\delta_i}{b_3\vep_3}\right),
h\left(\frac{b_i\vep_i}{g_3\delta_3}\right),
h\left(\frac{g_i\delta_i}{g_3\delta_3}\right)
\right\}
$$
die Ungleichung
\begin{align}
H_{{\rm max}}\leq& \exp\{
c_{12}(24d,24(d+t))P^{24d}/(\log^*P)^2 \max\{R_{\S_{12}},R_{\S_{13}},R_{\S_{23}}\}^2
\times \nonumber \\
& \log^*(\max\{R_{\S_{12}},R_{\S_{13}},R_{\S_{23}}\})
\log\max\{h(b_1),h(b_2),h(b_3),h(g_1),h(g_2),\nonumber\\
& h(g_3)\}
 \log^*\log^*\max\{
h(\vep_1\eta),h(\vep_2\eta),h(\delta_1\eta),h(\delta_2\eta)\}
\}\nonumber
\end{align}
gilt. Hierin ergeben sich die Parameter der Konstanten $c_{12}$ durch die Absch"atzung des 
K"orpergrades $[\M:\Q]\leq 24d$. Dadurch wird die M"achtigkeit von $\S_{\M}$ durch 
$24(d+t)$ begrenzt.
\par
Wir schreiben
$$
H_{{\rm max}}\leq \exp\{ {\bar T}_1\cdot E\}
$$
mit
\begin{align}
E \deq & \log^*\log^*\max\{
h(\vep_1\eta),h(\vep_2\eta),h(\delta_1\eta),h(\delta_2\eta)\} \nonumber \\
{\bar T}_1 \leq &
c_{12}(24d,24(d+t))P^{24d}/(\log^*P)^2 {\bar R}^2 (12d\log^*P)^{24dt}
\log^*({\bar R}(12\log^*P)^{12dt})\times\nonumber \\
& (c_8(24d,24d-1)(1+5t\log^*P)
+c_8(3d,3d-1)c_{28}(6d)){\bar R},\nonumber 
\end{align}
denn es gilt
\begin{align}
\max_{1\leq i\leq 3}\{ h(b_i),h(b_i)\} \leq & 
\exp\{
c_8(24d,24d-1)(R_{jk}+th_{jk}\log^*P)+ \nonumber\\
& c_8(3d,3d-1)c_{28}(6d)R_{jk}\} \nonumber
\end{align}
und da nach Friedman \cite{Fr} der Regulator eines Zahlk\"orpers immer 
kleiner oder gleich $0.2052$ ist, gilt 
$R_{ij}\leq {\bar R}$ und $h_{ij}\leq 1/(0.2052){\bar R}\leq 5{\bar R}$.
Damit ist 
\begin{align}
{\bar T}_1 \leq & c_{12}(24d,24(d+t))(12d)^{24dt}( c_8(24d,24d-1)(1+5t\log^*P)+
\times\nonumber\\
& c_8(3d,3d-1)c_{28}(6d)){\bar R}^3 P^{24d}/(\log^*P)^2 (\log^*P)^{24dt} 
\log^*({\bar R}(12d\log^*P)^{12dt}). \nonumber
\end{align}
Nun gilt
\begin{align}
\log^*(d^{12dt}{\bar R} + 12dt\log^*(12\log^*P) \leq &
\log^*(c_{29}(6d)2^{6d}d^{12dt}(650d)^{6d-1})+\tfrac{39}{2}\times\nonumber \\
& \log^*(|D_\K| A |\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|)+(6d-1)\times\nonumber \\
& \log^*\log^*(|D_\K| A |\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|)+  60dt\log^*P \nonumber\\
\leq &
4680dt\cdot 6d\log^*(c_{29}(6d)2^{6d}d^{12dt}(650d)^{6d-1})\times
\nonumber \\
& \log^*P(\log^*(|D_\K| A |\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|))^2\nonumber\\
= & c_{30}(d,t)\log^*P (\log^*(|D_\K| A |\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|))^2,
\nonumber
\end{align}
mit 
$$
c_{30}\deq 280800d^2(t+1)\log^*( 2^{6d} d^{12dt} (650)^{6d-1} c_{29}(6d)).
$$
Insgesamt ist 
\begin{align}
{\bar T}_1 \leq &
c_{31}(d,t)(c_8(24d,24d-1)(1+5t\log^*P) + c_8(3d,3d-1)c_{28}(6d)) 
\times \nonumber \\
& |D_\K|^{117/2}A^{27}|\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|^{57/2}\log^*(|D_\K|A|\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f))^{18d-1}
\times \nonumber \\
& \frac{P^{24d}}{(\log^*P)^2} (\log^*P)^{24dt} \nonumber
\end{align}
mit 
$$
c_{31}(d,t)\deq c_{30}(d,t)c_{12}(24d,24(d+t))(12d)^{24dt}c_{29}^3(6d)2^{18d}(650d)^{3(6d-1)}. 
$$
Es fehlt nun noch eine Absch"atzung f"ur den Term $E$. Hierzu betrachten wir
\begin{align}
(b_1\vep_1\eta)^2 = & \left( \frac{b_1\vep_1}{b_3\vep_3}\right)
                      \left(\frac{b_1\vep_1}{g_3\delta_3}\right)
                           (b_3\vep_3\eta)(g_3\delta_3\eta) \nonumber\\
                  = & \left( \frac{b_1\vep_1}{b_3\vep_3}\right)
                      \left(\frac{b_1\vep_1}{g_3\delta_3}\right)
                           \kappa_1(\alpha_2-\alpha_1)z_3\nonumber
\end{align}
Nun ist
$$
h(\kappa_1(\alpha_1-\alpha_2)z_3) \leq h(\kappa_1)h(z_3)h(\alpha_1-\alpha_2)
$$
und 
\begin{align}
h(\kappa_i)\leq & (A^3|D_\K|^{9/2} | \Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|^2)^{1/d}\exp\{
2c_8(3d,3d-1)R_{\K_1}\}, \nonumber \\
h(z_3) \leq & |D_\K|^{1/(2d)} \exp\{
2c_8(d,d-1)R_\K + 4th_\K\log^*P\}, \nonumber\\
h(\alpha_1-\alpha_2)\leq & 2h(\alpha_1)h(\alpha_2)\leq 2 \prod\limits_{i=1}^3 h(\alpha_i) \leq 2(8H)^2. \nonumber 
\end{align}
Die letzte Ungleichung folgt aus der \"Uberlegung, da"s f\"ur die H\"ohe zweier Elemente 
$a,b$ des Zahlk\"orpers $\K$ die Ungleichung 
\begin{align}
h(a\pm b)^d =& \prod\limits_{\nu\in\M_\K} \max\{ 1, |\a\pm\b|_\nu\}
\leq  \prod\limits_{\nu\in\M_\K} \max\{1,|a|_\nu+|b|_\nu\} 
\nonumber \displaybreak[0]\\ 
\leq & \prod\limits_{\nu\in\M_\K} \max\{ 1, 2|a|_\nu|b|_\nu\} 
= (h(2ab))^d \leq (h(2) h(a)h(b))^d = (2h(a)h(b))^d
\nonumber
\end{align}
Somit ist
\begin{align}
h(\kappa_1(\alpha_1-\alpha_2)z_3)\leq & 2^7 H^2 A^{3/d}|D_\K|^{5/d}|\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|^{2/d}
\exp\{
2c_8(3d,3d-1)R_{\K_1} + \nonumber \nonumber \\
& 2c_8(d,d-1)R_\K+4th_\K\log^*P\} \nonumber 
\end{align}
und
\begin{align}
h(\vep_1\eta)= & h(b_1\vep_1\eta)h(b_1)\leq 
2^{7/2} H A^{3/(2d)}|D_\K|^{5/(2d)}|\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|^{1/d}\exp\{{\bar T}_1 E\}
\times \nonumber \displaybreak[0]\\
& \exp\{
c_8(3d,3d-1)R_{\K_1}+  c_8(d,d-1)R_\K+2th_\K\log^*P\}\!\!\times \nonumber\\
& (A^{5n}|D_\K|^{15n/2}|\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|^{14})^{1/d}\times
\exp\{c_8(24d,24d-1)\times \displaybreak[0]\nonumber\\
&(R_{jk}+th_{jk}\log^*P) + 2c_8(3d,3d-1)c_{28}(6d)R_{jk}\}\nonumber\displaybreak[0]\\
\leq& 
2^{7/2}H\cdot A^{33/(2d)}|D_\K|^{25/d}|\Nrm_{\K/\Q}(\Disc_f)|^{15/d} \times
\exp\{
c_8(3d,3d-1)R_{\K_1}+\nonumber\displaybreak[0]\\
&  c_8(d,d-1)R_\K+2th_\K\log^*P\}\times
\exp\{c_8(24d,24d-1)\times \nonumber \\
&(R_{jk}+th_{jk}\log^*P) + 2c_8(3d,3d-1)c_{28}(6d)R_{jk}\}\nonumber
\end{align} 
Wir sind nun in der Lage eine obere Absch\"atzung f\"ur die H\"ohe von $x$ 
anzugeben. Hierzu betrachten wir
$$
\gamma = \frac{b_3\vep_3}{g_3\delta_3}
$$
und erhalten mit (\ref{bug57}), dass
$$
2\tau_1 = (\tau_1-\tau_2)+b_3\vep_3=(\tau_1-\tau_2)(1+\gamma) 
$$
und
$$
2\tau_1 = (\tau_1+\tau_2)(1+\gamma^{-1}).
$$
Insbesondere sind  somit $1+\gamma$ und $1+\gamma^{-1}$  ganze Elemente in der 
entsprechenden K\"orpererweiterung. Wir haben folglich die Gleichung
$$
4\tau_1^2 = (\tau_1^2 - \tau_2^2)(1+\gamma)(1+\gamma^{-1}),
$$
die sich unter Ber\"ucksichtigung von (\ref{bug56}) und (\ref{bug55})
als
$$
4(X-z\alpha_1) = (\alpha_2-\alpha_1)z(1+\gamma)(1+\gamma^{-1})
$$
schreiben l"a"st. Division durch $z$ liefert
$$
x = \alpha_1 +\tfrac{1}{4}(1+\gamma)(1+\gamma^{-1})(\alpha_2-\alpha_1).
$$
Also gilt f\"ur die H\"ohe von $x$ 
$$
h(x)\leq 2h(\alpha_1)4h(\alpha_2-\alpha_1)h(1+\gamma)h(1+\gamma^{-1})
    \leq 16 \prod\limits_{\alpha_i}h(\alpha_i)^2 \cdot 4h(\gamma^2)
$$
und mit
$$
\gamma=\frac{b_3\vep_3}{g_1\delta_1}\cdot\frac{g_1\delta_1}{g_3\delta_3}
$$
ist
$$
h(\gamma)\leq h\left(
\frac{g_1\delta_1}{b_3\vep_3}\right)
h\left(
\frac{g_1\delta_1}{g_3\delta_3}\right)
\leq \exp\{2{\bar T}_1 E\}.
$$
Insgesamt haben wir
$$
h(x)\leq 2^{12} H^2\exp\{4{\bar T}_1 E\}
$$
\end{step}










\bibliographystyle{alpha}
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