Pethő Attila

Diofantoszi egyenletek effektív és explicit megoldása

Doktori értekezés Debrecen, 1990

Kossuth Lajos Tudományegyetem

Tartalomjegyzék

Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Jelölések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1. Felhasznált fogalmak, tételek és algoritmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1. Numerikus diofantoszi approximációs módszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Algebrai számelméleti háttér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3. Alsó becslések algebrai számok logaritmusaiból képzett lineáris formákra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4. Lineáris rekurzív sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2. Egységegyenletek megoldása a kitevőkre vonatkozó felső korlát redukciójával . . . . . . . . . . 24 2.1. Egységegyenletek visszavezetése diofantoszi approximációs problémára . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Redukciós lemmák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3. A redukciós algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3. Thue egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1. Thue egyenlet visszavezetése véges sok egységegyenletre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2. Algoritmus a Thue egyenlet megoldására . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3. Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4. Lánctört–redukciós algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.5. Thue egyenletek harmadfokú totálisan valós számtestek felett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.6. Negyedfokú parametrizált Thue egyenletcsaládok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4. Polinomértékek rekurzív sorozatokban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73 4.1. Az általános eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.2. Végtelen sok polinomérték rekurzív sorozatokban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.3. A (2.1.) egyenlet összes megoldásának meghatározása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.4. Hatványok 0,1 kezdőtagú másodrendű rekurzív sorozatokban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 5. Indexforma egyenletek bikvadratikus számtestekben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.1. Bikvadratikus számtestek egy egészbázisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 5.2. Indexforma egyenlet megoldásának visszavezetése polinomértékek keresésére rekurzív . . . . . . . . . . . . . . . .

sorozatokban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108 5.3. Bikvadratikus számtestek feletti indexforma egyenletek kis megoldásainak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

meghatározásáról . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.4. Bikvadratikus számtestek minimális indexű elemeinek meghatározásáról . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

Irodalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Függelékek:

A Fibonacci sorozatban előforduló 3. hatványokat meghatározó eljárás részeredményei A Fibonacci sorozatban előforduló 5. hatványokat meghatározó eljárás részeredményei Floppy lemezen : DK4.DAT – a C4 Galois csoportú ≤ 1 000 000 diszkriminánsú számtestek minimális

indexei

DK8.1 – a D8 Galois csoportú 517625–nél kisebb diszkriminánsú számtestek

minimális indexei

DK8.2 – a D8 Galois csoportú 517625 ≤ D ≤ 1 000 000 diszkriminánsú számtestek minimális indexei ” ...emberek, ne hagyjátok magatokat elámítani avval, hogy én ezt már húsz éve így csinálom, mer lehet valamit húsz éven keresztül is rosszul csinálni!”

Csalog Zsolt, A tengert akartam látni (1981)

Bevezetés

A matematika alapvetően deduktív tudomány, de annak megsejtéséhez, kijelöléséhez, hogy mit vezessünk le az axiómákból, gyakran numerikus számítások segítenek. A kísérletezésre különösen kedvező terep a számelmélet, hiszen a természetes számok tulajdonságai sokszor egyszerű eszközökkel vizsgálhatóak.

Fontos összefüggés empirikus úton való megsejtésére klasszikus példa a prímszámtétel. Erre Gauβ 1793 körül prímszámtáblázatok tanulmányozása során jutott, mint az az 1849 december 24. keltezésű, J.F. Enckéhez írott leveléből [Werke II.] kiderül:

”Die gütige Mitteilung Ihrer Bemerkungen über die Frequenz der Primzahlen ist mir in mehr als einer Beziehung interessant gewesen. Sie haben mir meine eigenen Beschäftigungen mit demselben Gegenstande in Erinnerung gebracht, deren erste Anfänge in eine sehr entfernte Zeit fallen, ins Jahr 1792 oder 1793, wo ich mir die Lambert’ schen Supplemente zu den Logarithmentafeln angeschafft hatte. Es war noch ehe ich mit feineren Untersuchungen aus der höheren Arithmetik mich befaβt hatte eines meiner ersten Geschäfte, meine Aufmerksamkeit auf die abnehmende Frequenz der Primzahlen zu richten, zu welchem Zweck ich dieselben in einzelnen Chiliaden abzählte, und die Resultate auf einem der angehefteten weissen Blätter verzeichnete. ... In späterer Zeit, als mir die in VEGA’s Tafeln (von 1796) abgedruckte Liste bis 400031 bekannt wurde, dehnte ich meine Abzählung weiter aus, ...”

A XX. század végi matematikus sokkal kedvezőbb helyzetben van, mint 200 évvel ezelőtt élt nagy elődje, hiszen empirikus munkáját a számítógépek jelentősen megkönnyíthetik. A számítógépek alkalmazhatóságának körét az eszközök logikai és fizikai korlátai objektíven behatárolják.

A logikai korlát az jelenti, hogy a vizsgált probléma algoritmikusan megoldható–e vagy sem. Hilbert 10. problémájának megoldásával, diofantoszi egyenletekre Matijaszevics [1970] ezt a korlátot kijelölte. Bebizonyította, hogy nincs olyan algoritmus, amellyel tetszőleges polinomiális diofantoszi egyenlet egész számokban való megoldhatóságát el lehet dönteni. A problémakörrel kapcsolatos későbbi eredményeket foglalja össze Davis, Matijaszevics and Robinson [1976] munkája.

Matijaszevics eredménye természetesen nem jelenti azt, hogy diofantoszi egyenletek bizonyos körére sem lenne a megoldhatóság algoritmikusan eldönthető. Pozitív eredmények elsősorban Baker [1966] lineáris forma tételével, illetve annak általánosításaival, finomításaival bizonyíthatóak. Itt általában olyan problémákról van szó, amelyek visszavezethetőek kétváltozós egységegyenletek megoldására (lásd 2. fejezet).

Értekezésünkben kizárólag olyan problémákkal foglalkozunk, amelyek algoritmikus megoldhatósága bizonyítható. Amennyiben a kérdésnek véges sok megoldása van és ezek jellemző mértékére, mértékeire algoritmussal kiszámolható felső korlátot tudunk bizonyítani, akkor a probléma effektív megoldásáról beszélünk. Ilyen kérdésekkel foglalkozunk a 2.1, 3.1 és 4.1 részekben.

Egy probléma effektív megoldása azonban közel sem jelenti azt, hogy a megoldásokat konkrét esetben, valóban meg is határozhatjuk. A korlátok ugyanis általában olyan nagyok, hogy közvetlen kézi, de gépi számítással is elérhetetlenek.

A numerikus számításoknak ugyanis tér– és időbeli fizikai korlátai is vannak. A papírlap, illetve a számítógép memóriájának végessége jelenti a térbeli korlátot. Ez nem szűkíti be jelentősen az általunk vizsgált problémák körét, mert a vizsgált eljárások általában kevés adattal dolgoznak. Annál lényegesebb az időbeli korlát, melyet a számítógép sebessége és az alkalmazott algoritmus határoz meg.

Effektíven megoldható problémáknál tehát érdekes olyan algoritmusok kutatása, melyekkel a megoldásuk ténylegesen meghatározhatóak. Ilyenkor a feladat explicit megoldásáról beszélünk.

Az általunk vizsgált módszerek általában az alábbi területek eszközeit alkalmazzák természetesen különböző mélységben.

— Algebrai számok logaritmusaiból képzett lineáris formákra vonatkozó alsó becslések.

— Algebrai számelméleti algoritmusok.

— Diofantoszi approximációs algoritmusok.

A módszerek stratégiája a következő : A problémát először algebrai számelméleti módszerekkel visszavezetjük egy diofantoszi approximációs feladatra. Erről egy alkalmas lineáris forma tétellel belátjuk, hogy csak véges sok megoldása van. Amennyiben ez a korlát nagyon nagy a várható legnagyobb megoldáshoz képest, – ez a tipikus eset, – akkor numerikus diofantoszi módszerekkel megkíséreljük azt redukálni. Az új korlátból kiszámítunk egy felső becslést az eredeti probléma megoldásaira. Végül megkeressük a megoldásokat, esetleg itt is valamilyen alkalmas redukciós technikát alkalmazva.

A stratégia első két eleme régóta ismert és sokat vizsgált, míg a többiek újabb kutatások termékei. Annak finomodása jelentősen bövítette a diofantoszi egyenletekre vonatkozó ismereteinket. Erre jó példa a Thue egyenlet, mellyel több szempontból is foglalkozunk értekezésünkben.

Legyen F (x, y) legalább harmadfokú, egész együtthatós, Q[x, y] felett irreducibilis homogén polinom és m ∈ Z. Thue [1909] bebizonyította, hogy az

(1)  F (x, y) = m

egyenletnek csak véges sok x, y ∈ Z megoldása van. Baker [1968b] megmutatta azt is, hogy van olyan csak F fokszámától, együtthatói abszolút értékeinek maximumától és |m| –től függő effektíven kiszámítható c konstans, hogy (1) minden x, y ∈ Z megoldására max{|x|, |y|} < c teljesül. Ellison és társai [1972] a Baker tétel és a lánctörtalgoritmus kombinációjával megoldottak egy harmadfokú pozitív diszkriminánsú Thue egyenletet. (A harmadfokú negatív diszkriminánsú eset sokkal könnyebb, lásd erről a 3.5. részt.) Bár módszerük magában hordozta az általános eset tárgyalásának lehetőségét, ezt totálisan valós számtestek feletti Thue egyenletekre csak Pethő és Schulenberg [1987] és Steiner [1986] fejtette ki részletesen. A lánctörtalgoritmus az általános esetben nem használható, annak helyettesítésére a Lenstra, Lenstra és Lovász [1982] bázisredukciós algoritmust alkalmazták. A módszert teljes általánosságban de Weger [1989] írta le ugyancsak Lovász algoritmusát használva. Ezek a dolgozatok egyedi példákat is tartalmaznak a módszer alkalmazására. Gaál és Schulte [1989] valamint Schulte [1989] viszont már több ezer egyenletet oldott meg. Gaál, Pethő és Pohst [1989b] többváltozós egyenleteket is sikerrel oldott meg a fenti stratégiával.

Ezek a módszerek tehát új, hatékony eszközöket jelentenek diofantoszi egyenletek megoldására, azaz tételbizonyításra. Tételbizonyításról beszélhetünk itt, hiszen az idézett munkákban több olyan egyenletet is megoldottak, amelyek korábban önálló dolgozatok témái voltak (Avanesov [1969], Baulin [1960], stb.).

Visszakanyarodva a bevezetés elején elkezdett gondolathoz, a számítógépeket nemcsak tételbizonyító eszköznek tekintjük, hanem matematikai kísérleti eszköznek is. Olyan eljárásokat is érdekesnek tartunk tehát, amelyekről nem tudjuk bizonyítani, hogy véges sok lépésben megoldják a problémát, de a gyakorlatban hatékonyan működnek. Más eljárások csak közelítő megoldásokat adnak. Ez a diofantoszi egyenletekre azt jelenti, hogy egy előírt korlátig megadják az összes megoldást. Amennyiben heurisztikus megfontolások és numerikus evidenciák azt mutatják, hogy így valószínűleg az összes megoldást meghatároztuk, akkor ezek a módszerek is hasznosak lehetnek elméleti kutatások megindításához.

Nem determinisztikus eljárásra példa Mignotte [1984a] módszere rekurzív sorozatokban előforduló prímhatványok meghatározására vagy a 4.3. részben leírandó szitamódszer a Fibonacci sorozatban előforduló hatványok meghatározására. Ha ezek az eljárások befejeződnek, akkor helyes megoldást szolgáltatnak, de nem tudjuk bizonyítani, hogy megállnak. A szitamódszer Baker típusú felső korláttal kombinálva bizonyos esetekben a diofantoszi approximáción alapuló redukciós eljárás alternatívája lehet. Számítástudományi szempontból az előbbi a ”forward”, az utóbbi pedig a ”backward search” technikának felel meg.

A diofantoszi egyenletek közelítő megoldását szolgáltató eljárások előnye a determinisztikus algoritmusokkal szemben az, hogy lényegesen gyorsabbak, egyszerűbben programozhatóak. A 3.4. részben ismertetendő lánctört–redukciós algoritmussal Lippok [1989] több, mint 80000 harmadfokú, totálisan valós számtest feletti Thue egyenlet közelítő megoldását határozta meg, míg nagyjából ugyanannyi CPU idő felhasználásával Schulte [1989] csak 2000 egyenletet oldott meg.

Az értekezés első fejezetében összefoglaljuk a felhasznált diofantoszi approximációs, algebrai és transzcendens számelméleti, valamint a lineáris rekurzív sorozatokra vonatkozó ismereteket. A 2. fejezetben bebizonyítjuk, hogy a kétváltozós egységegyenlet effektíven megoldható és megfogalmazzuk a redukciós algoritmust a legáltalánosabb, általunk használt formában.

A 3. fejezetben Thue egyenletekkel foglalkozunk. Először algoritmust adunk ezek összes megoldásának meghatározására és az eljárás működését példákkal illusztráljuk. A 3.5. részben a harmadfokú, totálisan valós számtestek feletti Thue egyenletek megoldásszámára vonatkozó vizsgálataink eredményeiből levonható sejtéseket, eredményeket foglaljuk össze. A fejezet befejezéseként meghatározzuk egy negyedfokú végtelen Thue egyenletcsalád összes megoldását.

A 4. fejezetben rekurzív sorozatokban előforduló polinomértékekkel foglalkozunk. Először effektív végességi tételeket bizonyítunk, majd másodrendű rekurzív sorozatok egy osztályára jellemezzük azokat a polinomokat, amelyek értékei végtelen sokszor előfordulhatnak a sorozatban. A fejezet második részében eljárást ismertetünk a rekurzív sorozat = polinom egyenlet közelítő megoldására. A módszer alkalmazásával meghatározzuk a Fibonacci sorozatban előforduló köbszámokat és ötödik hatványokat.

Az 5. fejezet témája a bikvadratikus testek feletti indexforma egyenletek. A problémát visszavezetjük véges sok rekurzív sorozat = másodfokú polinom típusú egyenletre. A 4. fejezetben leírt módszer így lehetőséget ad ezen indexforma egyenletek kis megoldásainak megkeresésére. Az indexforma egyenlet visszavezetése numerikusan kezelhetőbb problémára lehetőséget ad arra is, hogy jó közelítést adjunk a bikvadratikus számtestek elemei minimális indexére.

A fejezeteket egy, ennek részeit két számjeggyel számozzuk. Az algoritmusokat, lemmákat és tételeket három számjeggyel számozzuk, melyek közül az első a fejezet, a második a rész a harmadik az objektum azonosítója. Ugyanezt az elvet követjük a kiemelt képletek és egyenletek számozásánál is azzal a különbsággel, hogy ezek azonosítóit kerek zárójelbe tesszük. Az irodalomjegyzéket az első szerző neve szerint, az azonos szerző(k) munkáit azok megjelenésének éve szerint rendeztük névsorba. A felhasznált irodalomra a szerzők neve után szögletes zárójelbe tett megjelenési évvel hivatkozunk.

Végezetül köszönetemet fejezem ki mindazoknak, akik tanáraimként, társszerzőként vagy tanácsaikkal, szakmai beszélgetésekkel segítették munkámat. Közülük külön kiemelem Dr. Győry Kálmánt, aki még egyetemista koromban vezetett be a diofantoszi egyenletek elméletébe és azóta is bizton számíthattam kritikus tanácsaira. Dr. Gaál István társszerzőként valamint sok számítás elvégzésével segítette munkámat. A Prof. Dr. Michael Pohsttal folytatott közös munka sokban alakította azt a szemléletet, amelyik a problémák algoritmikus megoldásában nélkülözhetetlen. Befejezésül köszönettel tartozom az Alexander von Humboldt – Stiftungnak is, mert ösztöndíjuk nélkül ezt a munkát nem tudtam volna elvégezni.

Jelölések

Itt csak azokat a jelöléseket soroljuk fel, amelyeket az értekezésben mindvégig ugyanabban az értelemben használunk.

Z egész számok halmaza Z_{≥0} nem negatív egész számok halmaza Z_{>0}, N pozitív egész számok halmaza Q racionális számok halmaza R valós számok halmaza C komplex számok halmaza K, L, M algebrai számtestek Z_{X} az X algebrai számtest egészeinek gyűrűje S racionális prímszámok véges halmaza

[x] az x valós szám egész része (a, b) az a és b egész számok legnagyobb közös osztója, vagy az a és b algebrai

egész számok által generált ideál

deg P a P polinom fokszáma.

1. Felhasznált fogalmak, tételek és algoritmusok

1.1. Numerikus diofantoszi approximációs módszerek

Legyenek α_{1}, …, α_{k} (k ≥ 2) nullától különböző és A > 1 valós számok. Dirichlet klasszikus approximációs tétele szerint vannak olyan x_{1}, … x_{k}, y ∈ Z, hogy

|α_{i}y − x_{i}| < A^{− \frac{1}{k}} (1.1.1.)

0 < y ≤ A

teljesül. Az állítást vagy közvetlenül a skatulyaelvvel vagy Minkowski lineáris forma tétele felhasználásával szokásos bizonyítani. A klasszikus bizonyítások tehát nem adnak hatékony algoritmust (1) megoldására.

Amennyiben k = 1, akkor az alábbiakban ismertetendő lánctörtalgoritmus A – ban polinomiális.

1.1.1. Lánctörtalgoritmus Bemenet: 0 ≠ α ∈ R, A Kimenet: a_{0} ∈ Z, a_{1}, … a_{n} ∈ N, α_{n+1} ∈ R, p_{n}, q_{n} ∈ Z

1. i ← 0, α_{0} ← α, p_{−2} ← 0, q_{−2} ← 1, p_{−1} ← 1, q_{−1} ← 0

2. a_{i} ← ⌊α_{i}⌋, p_{i} ← a_{i}p_{i−1} + p_{i−2}, q_{i} ← a_{i}q_{i−1} + q_{i−2}, output a_{i}

3. Ha q_{i} ≥ A, akkor output p_{i−1}, q_{i−1}, α_{i−1}, stop

4. Ha α_{i} − a_{i} = 0 akkor output {p_{i}, q_{i}, 0}, stop

5. i ← i + 1, α_{i} ← 1/(α_{i−1} − a_{i−1}), goto 2.

Az algoritmus során kiszámított adatokkal bevezetjük az α = [a_{0}, a_{1}, …, a_{n}, α_{n+1}] jelölést. Az a_{i} illetve p_{i}/q_{i} számokat α lánctörtjegyeinek, illetve közelítő törtjeinek hívjuk.

Belátható, lásd pl. Lang [1966], hogy az 1. algoritmus csakis akkor állhat meg a 4. lépésnél, ha α racionális és az is, hogy

(1.1.2.)  \frac{1}{(a_{n+1} + 2)q_{n}^{2}} ≤ |α − \frac{p_{n}}{q_{n}} | < \frac{1}{q_{n}^{2}}

teljesül minden n ≥ 0 – ra. Ha α irracionális, akkor (2) – ből következik, hogy lim_{n→∞} \frac{p_{n}}{q_{n}} = α.

A (2) egyenlőtlenség jobb oldala bizonyos mértékig jellemzi is a közelítő törteket, igaz ugyanis

1.1.2. Tétel (Legendre) Legyen α ∈ R és x, y ∈ Z, y ≠ 0. Amennyiben

|αy − x| < \frac{1}{2y}

teljesül akkor \frac{x}{y} az α közelítő törtje.

Egy irracionális valós szám lánctörtjegyeinek meghatározása általában akkor reményteljes, ha ismerjük valamilyen hatványsorként való előállítását, vagy ha a szám algebrai. Az utóbbi esetben 1. módosítható úgy, hogy annak során mindig csak racionális számokat használjunk.

A módszert Cantor, Galyean és Zimmer [1972] alapján ismertetjük néhány előkészítő megjegyzés után. Legyen f(x) = b_{0}x^{k} + b_{1}x^{k−1} + … + b_{k} ∈ Z[x], ahol b_{0} ≠ 0. Feltehető, hogy f(x)– nek nincs többszörös

gyöke, ellenkező esetben ugyanis f(x) – et helyettesítsük f(x)/(f(x), f′(x)) – el. Az f(x) racionális p/q gyökeiről ismert, hogy p|b_{k} és q|b_{0}. Bár a racionális gyökök meghatározása ha b_{0} vagy b_{k} nagy ezen feltételből nem egyszerű és az algoritmus a keresett gyökhöz közeli racionális gyököket is kiszűri, az egyszerűség kedvéért mégis feltesszük, hogy f(x) – nek nincs racionális gyöke.

Legyen α az f(x) egy valós gyöke.

1.1.3. Algoritmus ( α lánctörtjegyeinek meghatározására)

Bemenet: f(x) az előbbi megszorításokkal; r, s ∈ R olyanok, hogy az (r, s) inter -

vallumban α az egyetlen gyöke f(x) – nek.

Kimenet: α lánctörtjegyei.

1. r_{0} ← r, s_{0} ← s, a_{0} ← [α], f_{0}(x) ← f(x), i ← 1, output a_{0}

2. f_{i}(x) = b_{0}^{(i)}x^{k} + b_{1}^{(i)}x^{k−1} + … + b_{k}^{(n)} ← x^{k}f_{i−1}(x^{−1} + a_{i−1})

3. Ha s_{i−1} < a_{i−1} + 1, akkor r_{i} ← \frac{1}{s_{i−1}−a_{i−1}} , különben r_{i} ← 1.

4. Ha r_{i−1} > a_{i−1}, akkor s_{i} ← \frac{1}{r_{i−1}−a_{i−1}} , különben s_{i} ← ∞.

5. Ha [r_{i}] = [s_{i}], akkor a_{i} ← [r_{i}], különben a_{i} ← az az egész szám, amelyre teljesülnek,

hogy

r_{i} ≤ a_{i} < s_{i}
sign f_{i}(a_{i}) ≠ sign f_{i}(a_{i} + 1)

6. Output a_{i}, i ← i + 1, goto 2.

1.1.4. tétel A 3. algoritmus α lánctörtjegyeit határozza meg, továbbá van olyan i_{0}, hogy bármely i ≥ i_{0} – ra r_{i} = 1 és s_{i} = ∞.

Bizonyítás: Legyen α_{0} = α és α_{i+1} = \frac{1}{α_{i}−a_{i}} , ha i ≥ 0. Belátjuk, hogy

(1.1.3.)  α = [a_{0}, …, a_{i−1}, α_{i}]

teljesül minden i ≥ 1 – re. Ebből, figyelembe véve, hogy egy irracionális szám lánctörtelőállítása egyértelmű, kapjuk a tétel állítását.

Ahhoz, hogy (3) – t belássuk elég megmutatni, hogy a_{i} = [α_{i}]. Azt fogjuk bizonyítani még ezen felül, hogy α_{i} az egyetlen gyöke f_{i}(x) – nek, amely az [r_{i}, s_{i}) intervallumba esik. Ezek az állítások i = 0 –ra 1, miatt teljesülnek. Tegyük fel, hogy igazak i ≥ 0 – ra. Akkor az α_{i+1} nyilván gyöke f_{i+1}(x) – nek. Az

r_{i} ≤ α_{i} ≤ s_{i}

egyenlőtlenségből és a_{i} = [α_{i}] < α_{i} < s_{i} – ből következik, hogy

\frac{1}{s_{i} − a_{i}} ≤ \frac{1}{α_{i} − a_{i}} = α_{i+1}.

Mivel az [r_{i}, s_{i}) intervallumban nincs f_{i}(x) – nek α_{i} –től különböző gyöke, így az (\frac{1}{s_{i}−a_{i}} , α_{i+1}) inter-

vallumban sincs f_{i+1}(x) – nek α_{i+1} –től különböző gyöke. Így az r_{i+1} választása korrekt.

Ha r_{i} > a_{i}, akkor α_{i+1} ≤ \frac{1}{r_{i}−a_{i}} = s_{i+1} és az [r_{i+1}, s_{i+1}] intervallumban, ha pedig r_{i} ≤ a_{i}, akkor az [r_{i+1}, ∞] intervallumban nem lehet f_{i+1}(x) – nek α_{i+1} –től különböző gyöke. Ezekből közvetlenül következik, hogy az 5. – ben meghatározott a_{i+1} = [α_{i+1}]. Így (3) – at és a tétel első állítását bebizonyítottuk.

A második állítás abból következik, hogy ha valamely i – re r_{i} = 1 akkor s_{i+j} = ∞ és r_{i+k} = 1 minden páratlan j – re illetve páros k – ra illetve ha s_{i} = ∞, akkor r_{i+j} = 1 és s_{i+k} = ∞ minden páratlan j – re illetve páros k –ra.

Ezt az állapotot pedig az eljárás során előbb utóbb el fogjuk érni. Ha i elég nagy, akkor a 3. és 4. által az r_{i} és s_{i} – re adott becslések nagyon pesszimisták. Ezt bizonyítja

az alábbi

1.1.5. Tétel Bármely ε > 0 – hoz van olyan i_{0}, hogy bármely i > i_{0} – ra

(1.1.4.)  |α_{i} + \frac{b_{1}^{(i)}}{b_{0}^{(i)}} | < m \frac{q_{i−1}}{q_{i}} + ε < m.

Bizonyítás: Legyenek α_{0}^{(1)} = α, α_{0}^{(2)}, …, α_{0}^{(k)} az f(x) gyökei és α_{i+1}^{(j)} = _{\frac{1}{α_{i}^{(j)}−a_{i}}}

j = 1, …, k; i ≥ 0. Akkor a f_{i}(x) polinomok konstrukciója miatt α_{i}^{(j)}(j = 1, …, k) az f_{i}(x) gyökei.

A (3) egyenlőségből és az {α_{i}^{(j)}} konstrukciójából következik, hogy

(1.1.5.)  α_{0}^{(j)} = \frac{α_{i}^{(j)}p_{i−1} + p_{i−2}}{α_{i}^{(j)}q_{i−1} + q_{i−2}}  (j = 1, …, k)

teljesül minden i ≥ 0 – ra, ahol \frac{p_{i−1}}{q_{i−1}} = [a_{0}, …, a_{i−1}] az α i − 1 – dik közelítő törtje. (5) – ből kapjuk az

α_{i}^{(j)} = −\frac{α_{0}^{(j)} − \frac{p_{i−2}}{q_{i−2}}}{α_{0}^{(j)} − \frac{p_{i−1}}{q_{i−1}}} · \frac{q_{i−2}}{q_{i−1}} (j = 1, …, k)

egyenlőséget. Mint láttuk lim_{i→∞} \frac{p_{i}}{q_{i}} = α, másrészt α_{0}^{(j)} − α ≠ 0, így van olyan i_{0}, hogy ha i > i_{0}, akkor

(1.1.6.)  |α_{i}^{(j)}| < (1 + \frac{ε}{m}) \frac{q_{i−2}}{q_{i−1}}  (j = 2, …, k).

A polinomok gyökei és együttható közötti összefüggésből következik, hogy

−\frac{b_{1}^{(i)}}{b_{0}^{(i)}} = α_{i}^{(1)} + α_{i}^{(2)} + … + α_{i}^{(k)}.

Ebből (6) és \frac{q_{i−2}}{q_{i−1}} < 1 felhasználásával közvetlenül következik (4). Az 1.1.1. és 1.1.3. Algoritmusok relatív hatékonyságát algebrai számokra Churchhouse [1976] vizsgálta. Most visszatérünk a diofantoszi approximációs alapproblémához k ≥ 2 esetén. Lagarias – tól [1985]

tudjuk, hogy az (1) probléma NP – nehéz. Ugyanakkor az alábbiakban ismertetendő Lovásztól származó bázis redukciós algoritmus, Lenstra, Lenstra and Lovász [1982], olyan hatékony közelítő megoldást ad (1)–re, amely a gyakorlatban jól felhasználható. A következőkben ezen cikk, illetve Grötschel, Lovász and Schrijver [1988] alapján foglaljuk össze a szükséges ismereteket. Az algoritmus megfogalmazása előtt néhány geometriai számelméleti fogalmat vezetünk be.

Legyenek b_{1}, …, b_{n} lineárisan független vektorok R^{n} – ben. Legyen

∧ = {x|x = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}b_{i}, λ_{i} ∈ Z}

a b_{1}, …, b_{n} által generált rács. ∧ alapparalellepipedonjának térfogatát jelölje d = d_{∧}. Ha x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ R^{n}, akkor legyen

|x|^{2} = ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2}

az x vektor euklideszi normája. Végül jelölje b_{1}^{⋆}, …, b_{n}^{⋆} a b_{1}, …, b_{n} vektorrendszerből a Gram – Schmidt algoritmussal kiszámított ortogonális vektorrendszert. Akkor

(1.1.7.)  b_{j} = ∑_{i=1}^{j} μ_{ji}b_{i}^{⋆},  j = 1, …, n.

A fenti jelölésekkel a ∧ rács b_{1}, …, b_{n} bázisát redukáltnak nevezzük, ha a következő két feltétel

(i) |μ_{ji}| ≤ \frac{1}{2} minden 1 ≤ i < j ≤ n (ii) |b_{j+1}^{⋆} + μ_{j+1,j}b_{j}^{⋆}|^{2} ≥ \frac{3}{4}|b_{j}^{⋆}|^{2} minden 1 ≤ j ≤ n − 1

teljesül.

A redukált bázisok legfontosabb tulajdonságait az alábbi tétel írja le.

1.1.6. Tétel Legyen ∧ rács R^{n} – ban és b_{1}, …, b_{n} a ∧ egy redukált bázisa. Akkor teljesülnek az alábbiak (i) |b_{1}| ≤ 2^{(n−1)/4} d_{∧}^{1/n}, (ii) |b_{1}| ≤ 2^{(n−1)/2} min {|b|/b ∈ ∧, b ≠ 0},

(iii) |b_{1}| · . . . · |b_{n}| ≤ 2^{\frac{n(n−1)}{2}} d_{∧}.

A definícióból és a 6. tételből sem világos, hogy egy rácsnak mindig létezik redukált bázisa. Redukált bázis azonban megkonstruálható az alábbi Lovász Lászlótól származó algoritmus segítségével.

1.1.7. LLL – Algoritmus. Bemenet: b_{1}, …, b_{n} ∈ R^{n} a ∧ rács bázisa Kimenet: b_{1}, …, b_{n} ∈ R^{n} a ∧ redukált bázisa.

1. Számítsuk ki a μ_{ji}, 1 ≤ i ≤ j ≤ n Gram – Schmidt együtthatókat, melyek eleget tesz– nek (7) – nek. B_{i} ← (b_{i}^{⋆}, b_{i}^{⋆}) i = 1, …, n.

2. k ← 2

3. Hajtsuk végre (⋆) – ot ℓ = k − 1 – re.

4. Ha B_{k} + μ_{k,k−1}^{2}B_{k−1} < \frac{3}{4}B_{k−1}, akkor goto 8.

5. for ℓ ← k − 2 to 1 step - 1 hajtsuk végre (⋆) – ot ℓ – re

6. Ha k = n, akkor output b_{1}, …, b_{n}, stop.

7. k ← k + 1

8. goto 3.

9. μ ← μ_{k,k−2}, B ← B_{k} + μ^{2}B_{k−2}, μ_{k,k−1} ← μB_{k−1}/B

10. B_{k} ← B_{k−1}B_{k}/B, B_{k−1} ← B

11. \binom{b_{k−1}}{b_{k}} ← \binom{b_{k}}{b_{k−1}}

12. \binom{μ_{k−1,j}}{μ_{kj}} ← \binom{μ_{kj}}{μ_{k−1,j}}, j = 1, …, k − 2

13. \binom{μ_{i,k−1}}{μ_{ik}} ← ( \begin{matrix}1 & μ_{k,k−1} \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & −μ \end{matrix} ) \binom{μ_{i,k−1}}{μ_{ik}}, j = k + 1, …, n

14. Ha k > 2, akkor k ← k − 1, goto 3.

(⋆) Ha |μ_{kℓ}| > \frac{1}{2}, akkor r ← μ_{kℓ} – hez legközelebbi egész szám, b_{k} ← b_{k} − rb_{ℓ} μ_{kj} ← μ_{kj} − rμ_{ℓj} j = 1, … ℓ − 1 – re μ_{kℓ} ← μ_{kℓ} − r return.

Ha b_{1}, … b_{n} ∈ Q^{n}, akkor az LLL – Algoritmus polinomiális időben határozza meg az általuk kifeszített rács egy redukált bázisát. Kiemeljük, hogy az algoritmusnak nem csak az elméleti hatékonysága jó, hanem a tapasztalatok szerint, numerikus problémákra is jól használható. Az algoritmus diofantoszi egyenletek megoldására, illetve algebrai számelméletben felhasználható variánsait de Weger [1989] illetve Pohst [1987] tanulmányozták.

A következő tétel választ ad arra a kérdésre, hogy az LLL – algoritmus alkalmazásával mennyire pontosan lehet (1) megoldásait közelíteni.

1.1.8. Tétel Legyenek α_{1}, …, α_{k} ∈ Q és A > 1. Akkor az LLL – algoritmussal meghatározhatóak olyan x_{1}, …, x_{k}, y ∈ Z számok, amelyekre

1 ≤ y ≤ 2^{k(k+1)/4}A

és

|yα_{i} − x_{i}| < A^{− \frac{1}{k}} (i = 1, …, k)

teljesül.

Bizonyítás: Legyenek e_{i} = (0, …, 0, 1, 0, …, 0)^{T} ∈ R^{k+1} (i = 1, …, k) és a = (α_{1}, …, α_{k}, 2^{k(k+1)/4}A^{−(k+1)/k}). Legyen ∧ az e_{1}, …, e_{k}, a vektorok által, melyek nyilvánvalóan lineárisan függetlenek, kifeszített rács. Akkor

d_{∧} = 2^{−k(k+1)/4}A^{−(k+1)/k}.

Az LLL – algoritmus meghatározza a ∧ egy redukált bázisát, így a 6. tétel (i) szerint

(1.1.8.)  |b_{1}| ≤ 2^{k/4}d_{∧}^{1/(k+1)} = A^{−1/k}.

Másrészt b_{1} ∈ ∧ miatt vannak olyan x_{1}, …, x_{k}, y ∈ Z számok, hogy b_{1} = x_{1}e_{1} + … + x_{k}e_{k} − ya = (x_{1} − yd_{1}, …, x_{k} − yα_{k}, y2^{−k(k+1)/4}A^{−(k+1)/k}). Ebből (8) felhasználásával következik

|x_{i} − yα_{i}| < A^{−1/k} (i = 1, …, k)

valamint

y2^{−k(k+1)/4}A^{−(k+1)/k} < A^{−1/k},

azaz

y < 2^{k(k+1)/4}A.

1.2. Algebrai számelméleti háttér

Ezen rész az algebrai számelmélet szokásos fogalmait foglalja össze Borevics és Safarevics [1967], Marcus [1977] valamint Pohst and Zassenhaus [1989] könyvei felhasználásával.

Legyen K egy Q felett n = [K : Q] – ad fokú algebrai számtest. Ha az L testet K – ból az α_{1}, …, α_{k} elemek adjunkciójával kapjuk, akkor ezt a tényt L = K(α_{1}, …, α_{k}) – val jelöljük.

Legyenek α_{1}, …, α_{n} Q – felett lineárisan független elemek K – ból. Ha az α_{1}, …, α_{n} által generált Z – modulus egységelemes gyűrű is, akkor azt rendnek nevezzük. A rendek elemei algebrai egész számok és minden algebrai számtestben van egy egyértelműen meghatározott maximális rend, ezt Z_{K} – val fogjuk jelölni. Amennyiben α ∈ K n – ed fokú algebrai egész szám, akkor az 1, α, …, α^{n−1} által generált rendet Z[α] – val jelöljük.

Ha O egy rend K – ban, akkor vannak olyan α_{1}, …, α_{n} ∈ O elemek, hogy minden α ∈ O – hoz egyértelműen léteznek olyan x_{1}, …, x_{n} egész számok, hogy

α = α_{1}x_{1} + … + α_{n}x_{n}.

Az ilyen tulajdonságú elem n – eseket O bázisának nevezzük. Speciálisan Z_{K} – nak is van bázisa, amelyet K egészbázisának nevezzük. Ha α_{1}, …, α_{n} az O rend egy bázisa és b_{1}, …, b_{n} ∈ O, akkor b_{1}, … b_{n} akkor és csakis akkor bázisa O – nak ha van olyan X = (x_{ij})_{1≤ij≤n} egész elemű unimoduláris, azaz ±1 determinánsú mátrix, hogy

(1.2.1.)  (α_{1}, …, α_{n})^{T} = X(b_{1}, …, b_{n})^{T} .

A K testnek n különböző izomorfizmusa van C – be, melyeket K^{(1)}, …, K^{(n)} – nel jelölünk. Ennek megfelelően az α ∈ K képeit α^{(1)}, …, α^{(n)} – nel. A K izomorfizmusai között s valós és t pár konjugált komplex van, n = s + 2t. Amennyiben ezt a tényt hangsúlyozni akarjuk, akkor a K – val izomorf testeket K^{(1)}, …, K^{(s)}, K^{(s+1)}, …, K^{(s+t)}, \overline{K^{(s+1)}}, …, \overline{K^{(s+t)}} sorrendben soroljuk fel.

Algebrai számok nagyságának mérésére az alábbi mennyiségeket vezetjük be. Az α ∈ K magasságán az

\overline{|α|} = max_{1≤i≤n}\{|α^{(i)}|\}

számot értjük. Legyen az α definiáló polinomja p_{α}(x) = a_{0}x^{n} + … + a_{n}, azaz p_{α}(x) az az egész együtthatós, irreducibilis polinom, amelynek együtthatói relatív prímek és amelynek α gyöke. Legyenek α = α_{1}, α_{2}, …, α_{n} a p_{α}(x) gyökei. Akkor az α abszolút logaritmikus magasságán a

h(α) = \frac{1}{n} log (|a_{0}| ∏_{1≤i≤n} max\{1, |α_{i}|\})

számot értjük.

Az N_{K/Q}(α) = α^{(1)} · . . . · α^{(n)} számot az α ∈ K elem mormájának nevezzük. Ennek analógjaként az L(\underline{x}) = α_{1}x_{1} + … + α_{k}x_{k} ∈ K[x_{1}, …, x_{k}] lineáris forma normáját

N_{K/Q}(L(\underline{x})) = ∏_{j=1}^{n}(α_{1}^{(j)}x_{1} + … + α_{k}^{(j)}x_{k})

egyenlőséggel definiáljuk. A szimmetrikus polinomok alaptétele következtében N_{K/Q}(L(\underline{x})) racionális együtthatós n – ed fokú homogén polinom, vagy szinoním névvel n – ed fokú forma. Ezt normaformának is szokás nevezni.

Az α_{1}, …, α_{n} ∈ K elemrendszer diszkriminánsán a

(1.2.2.)  D_{K/Q}(α_{1}, …, α_{n}) = (det(α_{i}^{(j)})_{1≤i≤j})^{2}

racionális számot értjük. Az α_{1}, …, α_{n} ∈ K diszkriminánsa pontosan akkor 0, ha az elemek Q felett lineárisan függőek, továbbá, ha α_{1}, …, α_{n} ∈ Z_{K}, akkor a diszkriminánsuk egész szám.

Amennyiben α_{1}, …, α_{n} és β_{1}, …, β_{n} egy O rend bázisa, akkor D_{K/Q}(α_{1}, …, α_{n}) ≠ 0 és (1) következtében

D_{K/Q}(α_{1}, …, α_{n}) = D_{K/Q}(β_{1}, …, β_{n}).

Ez a mennyiség tehát csak O – tól függ, jelölésére D_{O} – t használjuk és O diszkriminánsának nevezzük. A Z_{K} rend kitüntetett szerepet játszik, diszkriminánsára a D_{K} jelet vezetjük be, amit K diszkriminánsának nevezünk.

Legyen α ∈ Z_{K}, akkor D_{K/Q}(1, α, …, α^{n−1}) – et α diszkriminánsának nevezzük és D_{K/Q}(α) – val jelöljük. A Vandermonde mátrix tulajdonságai következtében világos, hogy

(1.2.3.)  D_{K/Q}(α) = ∏_{1≤i<j≤n}(α^{(i)} − α^{(j)})^{2}.

Ha α_{1}, …, α_{n} a Z_{K} egy egészbázisa, akkor van olyan X = (x_{ij})_{1≤i≤j≤n} egész elemű mátrix, hogy

(1.2.4.)  ( \begin{matrix}1 α^{(1)} & … & α^{(1)n−1} \\ … & … & … \\ 1 α^{(n)} & … & α^{(n)n−1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}α_{1}^{(1)} & … & α_{n}^{(1)} \\ … & … & … \\ α_{n}^{(1)} & … & α_{n}^{(n)} \end{matrix} ) X,

így

(1.2.5.)  D_{K/Q}(α) = D_{K}I^{2},

ahol I ∈ Z. Ez az I szám D_{K} definíciója miatt csak α – tól függ és az α indexének nevezük. Amennyiben az α – tól való függés lényeges, akkor természetesen I_{α} fogunk írni.

(4) és (1) – ből következik, hogy valamely α ∈ Z_{K} – ra 1, α, …, α^{n−1} akkor és csakis akkor egészbázisa K – nak, ha D_{K/Q}(α) = D_{K}, azaz |I_{α}| = 1. Ezeket K hatványegészbázisának nevezzük.

Az (5) – ös tulajdonság az alapja azoknak a módszereknek, amelyek alkalmasak arra, hogy K egy algebrai egészekből álló maximális független elemrendszeréből K egy egészbázisát megkonstruáljuk.

1.2.1. Tétel Legyen α ∈ Z_{K} n – ed fokú elem. K – nak van olyan egészbázisa, amely az

1, \frac{f_{1}(α)}{d_{1}}, …, \frac{f_{n−1}(α)}{d_{n−1}}

elemekből áll, ahol d_{i} ∈ Z olyanok, hogy d_{1}|d_{2}| … |d_{n−1}, d_{n−1}^{2}|D_{K/Q}(α); f_{i}(x) ∈ Z[x] legfeljebb i – ed fokú, 1 főegyütthatós polinomok. A d_{i} számok egyértelműen meg vannak határozva.

Legyen 1, α_{2}, …, α_{n} a Z_{K} egy egészbázisa, ilyen az 1. tétel szerint mindig van, és L(\underline{x}) = α_{2}x_{2} + … + α_{n}x_{n}. Akkor a

D_{K/Q}(L(\underline{x})) = ∏_{1≤i<j≤n}(L^{(i)}(\underline{x}) − L^{(j)}(\underline{x}))^{2}

polinom a szimmetrikus polinomok alaptétele miatt egész együtthatós n(n−1) – ed fokú és homogén, amelyet diszkriminánsformának nevezünk.

Figyelembe véve (5) – öt látható, hogy

D_{K/Q}(L(\underline{x})) = D_{K} · I_{K/Q}(\underline{x})^{2}.

Belátható, lásd pl. Győry [1980b], hogy I_{K/Q}(\underline{x}) is egész együtthatós \binom{n}{2} – ed fokú forma, amit indexformának nevezünk. A hatványegészbázisokról mondottak következtében nyilvánvaló, hogy K – nak pontosan akkor van hatványegészbázisa, ha az

|I_{K/Q}(\underline{x})| = 1

diofantoszi egyenlet megoldható.

1.2.2. Lemma Bármely c ∈ R – re csak véges sok α ∈ O létezik, amelyre \overline{|α|} ≤ c illetve h(α) ≤ c teljesül.

Bizonyítás: Mivel α egy rend eleme, így α algebrai egész szám és az

\frac{1}{n} log \overline{|α|} ≤ h(α) ≤ log \overline{|α|}

egyenlőtlenségek nyilvánvalóak. Ha tehát h(α) ≤ c, akkor \overline{|α|} ≤ e^{nc} is teljesül, azaz elegendő az állítást az első esetben bebizonyítani.

Legyen α_{1}, …, α_{n} az O egy bázisa, akkor vannak olyan x_{1}, …, x_{n} ∈ Z számok, hogy α = x_{1}α_{1} + … + x_{n}α_{n}. Ha \overline{|α|} ≤ c, akkor

|x_{1}α_{1}^{(i)} + … + x_{n}α_{n}^{(i)}| ≤ c

teljesül i = 1, … n – re. α_{1}, …, α_{n} Q – felett lineárisan függetlenek, így D_{K/Q}(α_{1}, …, α_{n}) ≠ 0, ezért a legutóbbi egyenlőtlenségrendszernek csak véges sok x_{1}, …, x_{n} ∈ Z megoldása van. A lemmát bebizonyítottuk.

Most rátérünk a rendek egységeivel kapcsolatos szükséges ismeretek összefoglalására. Legyen tehát O egy rend K – ban és E_{O} = E az O egységeinek csoportja. Az ε_{1}, …, ε_{u} ∈ E elemeket (multiplikatívan) függetleneknek nevezzük, ha az

ε_{1}^{m_{1}} … ε_{u}^{m_{u}} = 1

m_{1}, …, m_{u} egész számokra csakis akkor teljesülhet, ha m_{1} = … = m_{u} = 0. E struktúráját Dirichlet 1842 – ből származó tétele írja le.

1.2.3. Tétel Vannak olyan ε_{0}, ε_{1}, …, ε_{r} ∈ E, r = s+t−1 elemek, hogy ε_{0} d ≤ n(n+1) –dik egységgyök és bármely ε ∈ E egyértelműen felírható

ε = ε_{0}^{m_{0}}ε_{1}^{m_{1}} … ε_{r}^{m_{r}}

alakban, ahol 0 ≤ m_{0} < d, m_{i} ∈ Z, 1 ≤ i ≤ r.

A továbbaikban az ε_{1}, …, ε_{r} elemeket E alapegységeinek r – et E rangjának nevezzük. Adott O esetén E egy alapegységrendszerének meghatározása általában nehéz feladat, különösen vonatkozik ez E torziómentes része bázisának meghatározására.

Ha r = 1, akkor a lánctörtalgoritmus, illetve Buchmann [1987] algoritmusa használható.

Amennyiben E rangja 1 – nél nagyobb, akkor a problémát általában két lépésben oldhatjuk meg. Először egy maximálisan független egységrendszert határozunk meg, majd ebből alapegységrendszert.

Az első lépésben Pohst and Zassenhaus [1982] illetve Buchmann and Pethő [1989] módszerei használhatóak. Az utóbbival kapcsolatban megjegyezzük, hogy Dirichlet eredeti bizonyításának alapötletét ötvözi az 1.1.7. LLL – algoritmussal. Újabban Schröter [1989] a két eljárás előnyeit ötvöző módszert dolgozott ki.

A második lépésben meghatározható jelentőségű az alábbi tétel.

1.2.4. Tétel Legyenek ε_{1}, …, ε_{i} ∈ E. Ha az

ε_{j} = ε_{1}^{m_{1}} … ε_{j−1}^{m_{j−1}}ε^{m}

egyenleteknek nincs egyetlen 1 ≤ j ≤ i – re sem ε ∈ E, 0 ≤ m_{1}, …, m_{i−1} < m, m ≥ 2 egész megoldása, akkor ε_{1}, …, ε_{i} valamely alapegységrendszer része.

Az E egységcsoport alapegységrendszere láthatóan nincs egyértelműen meghatározva. Ha ε_{1}, …, ε_{r} az E alapegységrendszere akkor η_{1}, …, η_{r} ugyancsak E alapegységrendszere pontosan akkor, ha van olyan X = (x_{ij})_{1≤i,j≤r} egész elemű unimoduláris mátrix, hogy

R_{ε} = ( \begin{matrix}e_{1}log|ε_{1}^{(1)}| & … & e_{1}log|ε_{r}^{(1)}| \\ … & … & … \\ e_{r}log|ε_{1}^{(r)}| & … & e_{r}log|ε_{1}^{(r)}| \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}e_{1}log|η_{1}^{(1)}| & … & e_{1}log|η_{r}^{(1)}| \\ … & … & … \\ e_{r}log|η_{1}^{(r)}| & … & e_{r}log|η_{r}^{(r)}| \end{matrix} ) X,

ahol

(1.2.5.)  e_{i} = \{ \begin{matrix}1, & ha 1 ≤ i ≤ s \\ 2, & ha s + 1 ≤ i ≤ s + t. \end{matrix}

R_{ε} abszolút értéke tehát csak E – tól függ. Ezt a számot E regulátorának nevezzük.

A következő tétel sokszor hasznosan alkalmazható diofantoszi egyenletek megoldása során.

1.2.5. Tétel Legyenek α_{1}, …, α_{n} ∈ K és L = K(\sqrt{α_{1}}, …, \sqrt{α_{n}}). [L : K] = 2^{n} akkor és csakis akkor, ha a

β_{i_{1}...i_{j}} = (α_{i_{1}} · . . . · α_{i_{j}})^{1/2}

számok, ahol 1 ≤ i_{1} < i_{2} < … < i_{j} ≤ n; j = 1, …, n egyike sem eleme K – nak.

Bizonyítás: Legyen \overline{J} = \{i_{e}\}_{e=1}^{j}, sorozat olyan tulajdonságú, hogy 1 ≤ j ≤ n és

1 ≤ i_{1} < … < i_{j} ≤ n. Rendeljük hozzá a \overline{J} sorozathoz a

J = ∑_{ℓ=1}^{j} 2^{i_{ℓ}−1} = ∑_{ℓ=0}^{n−1} ε_{ℓ}2^{ℓ}, ahol ε_{ℓ} ∈ {0, 1}

természetes számot. Ha \overline{J} = \{0\}, akkor legyen J = 0. Ekkor 0 ≤ J ≤ 2^{n} − 1 és a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű. A továbbiakban a \overline{J} sorozatokat J – vel indexezzük. Ez indukálja a β elemek indexezését β\overline{J} = β_{J} választással.

Legyen B_{n} = {β_{J}}, ahol β_{0} = 1 - nek definiáljuk. Tekintettel arra, hogy az L/K testbővítés egy bázisa B_{n}, így ha K ∩ B_{n} ⊃ {1}, akkor a testbővítés fokszáma kisebb 2^{n} – nél, a feltétel tehát szükséges.

A feltétel nyilván elégséges n = 1 – re. Tegyük fel, hogy elégséges n − 1 ≥ 1 – re. Legyen L_{n−1} = K(\sqrt{α_{1}}, …, \sqrt{α_{n−1}}), L = L_{n} = L_{n−1}(\sqrt{α_{n}}) és tegyük fel, hogy K ∩ B_{n} = \{1\}. Ha [L_{n} : K] < 2^{n}, akkor L_{n} = L_{n−1} és így \sqrt{α_{n}} ∈ L_{n−1}. Ekkor vannak olyan x_{J}, 0 ≤ J < 2^{n−1} nem mind 0 K – beli elemek, hogy

(1.2.6.)  ∑_{J=0}^{2^{n−1}−1} x_{J}β_{J} = \sqrt{α_{n}}.

Az L_{n−1}/K testbővítésnek 2^{n−1} automorfizmusa van, legyenek ezek σ_{0}, …, σ_{2^{n−1}−1}. Ezeket alkalmazva (6) – ra egy olyan 2^{n−1} egyenletből álló 2^{n−1} ismeretlenes lineáris egyenletrendszert kapunk az x_{J} – kre, amelynek a determinánsa

D = (α_{1} · . . . · α_{n−1})^{2^{n−3}}H_{n−1}

– el egyenlő, ahol H_{n−1} az n−1 – ed rendű Hadamand determináns. Ennek az oszlopaiban szerepel az összes n − 1 hosszúságú ±1 elemekből álló sorozat.

Tegyük fel, hogy valamely 0 ≤ J < 2^{n−1} – re x_{J} ≠ 0. Akkor

x_{J} = \frac{D_{J}}{D} ,

ahol D_{J} – t úgy kapjuk, hogy D – ben a J – edik oszlopot kicseréljük (σ_{0}\sqrt{α_{n}}, …, σ_{2^{n−1}−1}\sqrt{α_{n}})^{T} – al. A Hadamand determináns tulajdonsága és x_{J} ≠ 0 miatt

\frac{1}{\sqrt{α_{n}}} (σ_{0}\sqrt{α_{n}}, …, σ_{2^{n−1}−1}\sqrt{α_{n}}) = \frac{1}{β_{J}} (σ_{0}β_{J}, …, σ_{2^{n−1}−1}β_{J})

teljesül. Így

D_{J} = \frac{\sqrt{α_{n}}}{β_{J}} D

és ezért

x_{J} = \frac{\sqrt{α_{n}}}{β_{J}} = \frac{β_{J} \sqrt{α_{n}}}{β_{J}^{2}} .

Mivel β_{J}^{2} és x_{J} ∈ K így β_{J} \sqrt{α_{n}} = α_{i_{1}} … α_{i_{j}}, α_{n} ∈ K, ahol 1 ≤ i_{1} < … < i_{j} ≤ n − 1, ellentmondásban tételünk feltételével. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

1.3. Alsó becslések algebrai számok logaritmusaiból

képzett lineáris formákra

Legyen K egy algebrai számtest; β_{0}, …, β_{n}, α_{1}, …, α_{n} ∈ K és tegyük fel, hogy α_{1}, …, α_{n} egyike sem nulla. Rögzítsük és jelöljük logx – el a komplex logaritmus függvény egy ágát és legyen

∧ = β_{0} + β_{1}logα_{1} + … + β_{n}logα_{n}.

Baker [1966], [1967], [1968] egy cikksorozatban csak β_{0}, …, β_{n}, α_{1}, …, α_{n} és K paramétereitől függő effektív alsó korlátot bizonyított | ∧ | – re feltéve, hogy ∧ ≠ 0. Ezt később ő maga [1975] és Waldschmidt [1980] pontosította. Az utóbbi publikációban a paraméterektől való függést expliciten is megadta a szerző. A ma ismert legélesebb becslést Blass és társai [1990a], [1990b] bizonyították. A továbbiakban az ő tételeiket foglaljuk össze.

Legyen D = [K : Q] és jelölje h(α) az α algebrai szám abszolút logaritmikus magasságát.

Legyen V_{1} = max{h(α_{1}), 1/D, |logα_{1}|/D} és V_{j+1} = max{h(α_{j+1}), V_{j}, |logα_{j+1}|/D} j = 2, …, n − 1

– re. Legyen a_{j} = DV_{j}/|logα_{j}| ≥ 1 (1 ≤ j ≤ n) és \frac{1}{a} = \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} \frac{1}{a_{j}} . Legyen V′_{j} = jV_{j}, V_{0}^{+} = \overline{V}_{0} =

1, V_{j}^{+} = max\{V_{j}, 1\} és \overline{V}_{j} = max\{V′_{j}, 1\} (1 ≤ j ≤ n).

Legyen \frac{1}{\overline{a}_{j}} = \frac{1}{j} ∑_{i=1}^{j} \frac{1}{a_{j}} (1 ≤ j ≤ n) \frac{1}{\overline{a}} = \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} \frac{1}{\overline{a}_{j}}

és q egy prímszám. Legyen E_{2} = min{e^{qDV_{1}}, 2qa} és M = 2(2^{6}q^{2}nDV_{n−1}^{+}E_{2})^{n}. Legyen W ≥ h(β_{j}), 0 ≤ j ≤ n.

Tegyük fel, hogy W ≥ max{n log(nq^{2}2^{7}DV_{n}^{+}), logE_{2}, (q/nD)logE_{2}}. Ezekkel a jelölésekkel teljesül
1.3.1. Tétel Ha [K(α_{1}^{1/q}, …, α_{n}^{1/q}) : K] = q^{n}, akkor ∧ = 0 vagy
| ∧ | > exp {−C(n)q^{3n}(q − 1)D^{n+2}V_{1} · . . . · V_{n}W logM/(logE_{2})^{n+1}},

ahol C(n) = n^{2n+1}(3e^{2})^{n}2^{21}/n!.

A tételben szereplő [K(α_{1}^{1/q}, …, α_{n}^{1/q}) : K] = q^{n} feltétel sokszor nem teljesül vagy pedig nehéz ellenőrizni. Ez azonban elhagyható olyan áron, hogy a becslés valamivel gyengébb lesz. Ehhez további definíciókra van szükségünk.

Legyen \overline{E}_{2} = min\{e^{2DV_{1}}, 4a\}, \overline{M} = 2(2^{8}nD\overline{V}_{n−1}\overline{E}_{2})^{n} és

χ_{n}^{⋆} = \{ \begin{matrix}log(2^{13}\overline{V}_{1}), & ha n = D = 1 \\ n^{2}(n + 1)log(6n/logD) + n(n + 1)log(n!) + logn, & ha D ≥ 2 \\ n^{2}(n + 1)log(9n) + n(n + 1)log(n!) + logn, & ha D = 1 < n. \end{matrix}

Legyen W^{⋆} = max\{nW + n^{2}(n + 1)log(D^{3}\overline{V}_{n}) + χ_{n}^{⋆}, log\overline{E}_{2}, (2/nD)log\overline{E}_{2}\} ≥ log4.

1.3.2. Tétel Ha ∧ ≠ 0, akkor

| ∧ | > exp \{−Ĉ_{1}(n)D^{n+2}V_{1} … V_{n}log\overline{M}(W + Ĉ_{2}(n))/(log\overline{E}_{2})^{n+1}\},

ahol

Ĉ_{1}(n) = \{ \begin{matrix}n^{2n+1}(24e^{2})^{n}2^{20}, & ha n ≥ 3, \\ n^{2n+1}(24e^{2})^{n}2^{21}, & ha n = 1, 2 \end{matrix}

és Ĉ_{2}(n) = n(n + 1)log(D^{3}\overline{V}_{n}) + χ_{n}^{⋆}/n.

A következő tétel előkészítéseként feltesszük, hogy β_{0} = 0 és β_{i} ∈ Z i = 1, …, n. Legyen A_{i} = \overline{|α_{i}|}, i = 1, …, n;

B = max{|β_{i}||1 ≤ i ≤ n − 1},

β_{n} ≠ 0 és 3 ≤ B′ ≤ |β_{n}|.

1.3.3. Tétel (Baker [1973]). Ha ∧ ≠ 0, akkor

| ∧ | > exp \{−C (logB′logA_{n} + \frac{B}{B′} )\} ,

ahol C egy pozitív, csak n, D és A_{1}, …, A_{n−1} – től függő effektíven kiszámítható konstans.

Ennek a tételnek nem ismeretes olyan publikált változata, amelyben a C konstanst expliciten kifejezik. Legyen a továbbiakban p egy racionális prímszám és ord_{p} a p – hez tartozó additív értékelés Q – n. Ha

P egy olyan primideál K – ban, amelyre P/pZ_{K} akkor azt fogjuk mondani, hogy P p felett van. Ilyenkor ord_{p} egyértelműen kiterjeszthető a K ord_{P} – vel jelölt additív értékelésévé. A 3. tétel p – adikus analógjának tekinthető a következő

1.3.4. Tétel (Yu [1989b]). Legyen P egy olyan primideál K – ban, amelyik a p racionális prímszám felett van és tegyük fel, hogy p|β_{n}. Ha α_{1}^{β_{1}} · . . . · α_{n}^{β_{n}} ≠ 1, akkor

ord_{P}(α_{1}^{β_{1}} · . . . · α_{n}^{β_{n}} − 1) < C (logB′logA_{n} + \frac{B}{B′} ) ,

ahol C > 0 csak n, D, A_{1}, …, A_{n−1} és p – től függő effektíven kiszámítható konstans.

Yu a C konstanst expliciten is meghatározta, de mi azt a formát nem fogjuk használni, és mivel elég bonyolult kifejezés ezért nem is részletezzük.

Ezen rész befejezéseként a logaritmusfüggvény egy egyszerű, de a továbbikban hasznos tulajdonságát bizonyítjuk.

1.3.5. Lemma Legyen a ∈ R. Ha a < 1 és |x| < a, akkor

|log(1 + x)| < \frac{−log(1 − a)}{a}|x|.

Bizonyítás: A \frac{log(1+x)}{x} függvény pozitív és szigorúan monoton csökkenő az |x| < 1 intervallum felett. Így |x| < a – ra értéke kisebb, mint x = −a mellett.

1.4. Lineáris rekurzív sorozatok

Legyen I egy egységelemes integritási tartomány. Jelölje I hányadostestét K, ennek algebrai lezártját pedig \overline{K}. A következő tételben I feletti lineáris rekurzív sorozatok négy egymással ekvivalens jellemzését adjuk. A bizonyításokban Lewis [1969] és Shorey and Tijdeman [1986] gondolataira támaszkodunk.

1.4.1. Tétel A {G_{n}}_{n=0}^{∞}, G_{n} ∈ I, n = 0, …. sorozatra az alábbi állítások ekvivalensek:
a. Vannak olyan A_{1}, …, A_{k} ∈ I, A_{k} ≠ 0 elemek, hogy
(1.4.1.)  G_{n+k} = A_{1}G_{n+k−1} + … + A_{k}G_{n}

teljesül minden n ≥ 0 – ra.

b. Vannak olyan A_{1}, …, A_{k} ∈ I, A_{k} ≠ 0, hogy, ha

U = ( \begin{matrix}A_{1} & … & … & A_{k} \\ 1 & 0 & … & 0 \\ & ... & ⋮ \\ 0 & … & 1 & 0 \end{matrix} ) ,

akkor

(1.4.2.)  (G_{n+k−1}, …, G_{n})^{T} = U^{n}(G_{k−1}, …, G_{0})^{T} .

teljesül minden n ≥ 0 – ra.

c. Vannak olyan P (x), Q(x) ∈ I[x], deg Q ≤ deg P és P (x) 1 főegyütthatós polinomok, hogy

(1.4.3.)  x\frac{Q(x)}{P (x)} = ∑_{n=0}^{∞} G_{n}x^{−n}.

d. Vannak olyan A_{1}, …, A_{k} ∈ I, A_{k} ≠ 0, hogy ha α_{1}, …, α_{t} jelöli a P (x) = x^{k} − A_{1}x^{k−1} − … − A_{k} polinom különböző gyökeit \overline{K} – ban m_{1}, …, m_{t} multiplicitással, akkor

(1.4.4.)  G_{n} = P_{1}(n)α_{1}^{n} + … + P_{t}(n)α_{t}^{n},

ahol P_{i}(x) ∈ \overline{K}[x] legfeljebb m_{i} − 1 – ed fokú polinomok.

Bizonyítás: a. és b. ekvivalenciáját n szerinti teljes indukcióval könnyen lehet bizonyítani, ezért attól eltekintünk.

Először belátjuk, hogy a. – ból következik c.. Tegyük fel tehát, hogy (1) teljesül, és legyen

(1.4.6.)  G(x) = ∑_{n=0}^{∞} G_{n}x^{−n}.

akkor

(x^{k} − A_{1}x^{k−1} − … − A_{k})G(x) = xQ(x),

ahol Q(x) ∈ I[x] és deg Q < k. Ezzel beláttuk (3) – at.

Most megmutatjuk, hogy c. – ből következik d.. Legyenek P (x), Q(x) ∈ I[x] olyan polinomok, amelyekre (3) teljesül és legyenek α_{1}, …, α_{t} ∈ \overline{K} a P (x) különböző gyökei m_{1}, …, m_{t} multiplicitással. Akkor

P (x) = (x − α_{1})^{m_{1}} · . . . · (x − α_{t})^{m_{t}}.

A parciális törtekre bontás tétele szerint vannak olyan Q_{i}(x) ∈ \overline{K}[x], deg Q_{i} < m_{i}, i = 1, …, t polinomok, hogy

\begin{aligned}x\frac{Q(x)}{P (x)} & = x ∑_{i=1}^{t} \frac{Q_{i}(x)}{(x − α_{i})^{m_{i}}} = ∑_{i=1}^{t} \frac{Q_{i}(x)}{x^{m_{i}−1}} ∑_{j=0}^{∞} \binom{m_{i} − 1 + j}{j} (\frac{α_{i}}{x} )^{j} \\ & = ∑_{j=0}^{∞} (∑_{i=1}^{t} P_{i}(j)α_{i}^{j}) x^{−j}, \end{aligned}

ahol P_{i}(x) ∈ \overline{K}[x] és deg P_{i} < m_{i} : i = 1, …, t nyilvánvalóan teljesül.

Most már csak a d. ⇒ a. implikáció bizonyítása van hátra. Tegyük fel tehát, hogy (4) teljesül, amelyet (1) – be helyettesítve

∑_{i=1}^{t} P_{i}(n + k)α_{i}^{n} = ∑_{j=1}^{k} A_{j} ∑_{i=1}^{t} P_{i}(n + k − j)α_{i}^{n+k−j}

azonosságot kapunk. Ennek igazolásához elegendő megmutatnunk, hogy

P_{i}(n + k) = ∑_{j=1}^{k} A_{j}P_{i}(n + k − j)α_{i}^{k−j}

teljesül minden 1 ≤ i ≤ t és n ∈ Z_{≥0} – ra. Az utolsó azonosság helyessége és így a tétel is közvetlenül következik az alábbi lemmából.

1.4.2. Lemma Legyen α a P (x) = a_{k}x^{k} +a_{k−1}x^{k−1} +…+a_{0} ∈ \overline{K}[x], a_{0} ≠ 0 polinom m – szeres gyöke. Ha Q(x) ∈ \overline{K}[x] egy legfeljebb m − 1 – ed fokú polinom, akkor

(1.4.7.)  ∑_{j=0}^{k} a_{j}Q(n + j)α^{j} = 0

teljesül minden n ∈ Z_{≥0} – ra.

Bizonyítás: A lemma állításának igazolásához nyilvánvalóan elegendő belátni, hogy

∑_{j=0}^{k} a_{j}(n + j)^{t}α^{j} = 0

teljesül minden 0 ≤ t ≤ m − 1 és n ∈ Z_{≥0} – ra. Azt fogjuk megmutatni, hogy rögzített t és n mellett α

legalább m − t – szeres gyöke a P_{t}(x) = ∑_{j=0}^{k} a_{j}(n + j)^{t}x^{j} ∈ \overline{K}[x] – nek. Mivel P_{0}(x) = P (x), így ez igaz t = 0

– ra. Tegyük fel, hogy ez igaz valamely 0 ≤ t < m − 1 – re. Mivel α ≠ 0, így az m − j ≥ 2 – szeres gyöke x^{n}P_{t}(x) – nek is. Akkor viszont legalább m − t − 1 ≥ 1 – szeres gyöke [x^{n}P_{t}(x)]′ = x^{n−1}P_{t+1}(x) – nek és így P_{t+1}(x) – nek is. A lemma és így a tétel bizonyítását is befejeztük.

Az 1. tételben jellemzett sorozatokat I – lineáris rekurzív sorozatoknak, rövidítva I – l.r.s. nevezzük. Ha a szövegkörnyezetből egyértelmű, hogy I melyik integritási tartomány – értekezésünkben rendszerint Z vagy Z_{K} valamely K algebrai számtestre – akkor az I – t elhagyjuk.

Ha {G_{n}}_{n=0}^{∞} eleget tesz (1) – nek, de nincs olyan ℓ < k és B_{1}, …, B_{ℓ} ∈ I, B_{ℓ} ≠ 0, amelyre

G_{n+ℓ} = B_{1}G_{n+ℓ−1} + … + B_{ℓ}G_{n}

teljesül minden n ≥ 0 – ra, akkor k – t a sorozat rendjének nevezzük.

Legyen {G_{n}}_{n=0}^{∞} k – ad rendű I – l.r.s., amelyre (1) teljesül. Akkor a P (x) = x^{k} − A_{1}x^{k−1} − … − A_{k} polinomot a sorozat karakterisztikus polinomjának nevezzük. Legyenek ennek különböző gyökei α_{1}, …, α_{t}. Ha α_{i}/α_{j} minden 1 ≤ i, j ≤ t – re egységgyök, akkor {G_{n}}_{n=0}^{∞} – et elfajulónak nevezzük.

Lineáris rekurzív sorozatok alábbi tulajdonságait sokszor fel lehet használni.

1.4.2. Tétel Legyen I olyan, hogy az I/M faktorgyűrű véges az I minden M ideáljára. Tegyük fel, hogy {G_{n}}_{n=0}^{∞} eleget tesz (1) – nek. Akkor a

G_{n}(M) = G_{n} mod M, n ∈ Z_{≥0}

sorozat szintén kielégíti (1) – et és periodikus. Ha még (M, A_{k}) = I is teljesül, akkor tisztán periodikus.

Bizonyítás: A definícióból nyilvánvaló, hogy G_{n}(M) kielégíti (1) – et. Akkor (2) – ből

(1.4.8.)  (G_{n+k−1}(M), …, G_{n}(M))^{T} = U(M)^{n}(G_{k−1}(M), …, G_{0}(M))^{T}

következik, ahol

U(M) = ( \begin{matrix}A_{1} & modM & … & A_{k} & modM \\ 1 & & 0 & 0 \\ & ... & & ⋮ \\ 0 & & 1 & 0 \end{matrix} )

és a hatványozást természetesen az I/M feletti k × k – as mátrixgyűrűben, M_{k}, kell végezni. Mivel I/M véges, így M_{k} – nak csak véges sok eleme van, tehát vannak olyan n_{0} ≥ 0; p > 0 egész számok, hogy

(1.4.9.)  U(M)^{n_{0}+h+pt} = U(M)^{n_{0}+h}

teljesül minden t, h ∈ Z_{≥0} – ra. Így (8) miatt

G_{n_{0}+h+pt}(M) = G_{n_{0}+h}(M)

igaz minden t, h ∈ Z_{≥0} – ra, amivel az első állítást beláttuk.

Ha (M, A_{k}) = I, akkor A_{k} invertálható I/M – ben. Mivel

det U(M) = A_{k} modM,

így az előbbi miatt U(M) invertálható M_{k} – ban, akkor viszont (9) – ben n_{0} = 0 – nak kell teljesülnie. Ezzel a második állítást is bebizonyítottuk.

Megjegyezzük, hogy a 2. tételben az I/M végességére vonatkozó feltétel nem hagyható el, lásd Pethő [1990a].

Végül egy másodrendű rekurzív sorozatokra vonatkozó állítást bizonyítunk.

1.4.3. Tétel Legyen {G_{n}}_{n=0}^{∞} egy másodrendű l.r.s.. Akkor

(1.4.10.)  G_{n+1}^{2} − A_{1}G_{n+1}G_{n} − A_{2}G_{n}^{2} = (−A_{2})^{n}(G_{1}^{2} − A_{1}G_{1}G_{0} − A_{2}G_{0}^{2})

Bizonyítás: (2) – ből következik, hogy minden n ≥ 0 – ra

( \begin{matrix}G_{n+2} & G_{n+1} \\ G_{n+1} & G_{n} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}A_{1} & A_{2} \\ 1 & 0 \end{matrix} )^{n} ( \begin{matrix}G_{2} & G_{1} \\ G_{1} & G_{0} \end{matrix} ) .

Ebből G_{n+2} = A_{1}G_{n+1} + A_{2}G_{n} valamint a determinánsok szorzástételének felhasználásával következik (10).

2. Egységegyenletek megoldása a kitevőkre vonatkozó

felső korlát redukciójával

2.1. Egységegyenletek visszavezetése diofantoszi approximációs problémára

Legyen K egy k – ad fokú algebrai számtest és jelölje G a K egy normális bővítését. Legyen O egy E egységcsoportú rend K – ban. A bevezetésben már jeleztük, hogy sok számelméleti probléma visszavezethető

(2.1.1.)  αε − βη = 1

egyenletre, ahol α és β a Z_{K} rögzített elemei és az ε, η megoldásokat E – ben keressük. Siegel [1921] egy általános tételéből következik, hogy (1) – nek csak véges sok megoldása van.

Dirichlet egységtétele (1.2.2. tétel) szerint (1) ekvivalens az

αε_{0}^{n_{0}}ε_{1}^{n_{1}} · . . . · ε_{r}^{n_{r}} − βε_{0}^{m_{0}}ε_{1}^{m_{1}} · . . . · ε_{r}^{m_{r}} = 1

exponenciális diofantoszi egyenlettel, ahol ε_{0} d ≤ k(k + 1) –dik egységgyök, ε_{1}, …, ε_{r} az E egy alapegységrendszere n_{i}, m_{i} ∈ Z, 1 ≤ i ≤ r és 0 ≤ n_{0}, m_{0} < d.

Rögzített n_{0} és m_{0} mellett utóbbi egyenletünk

(2.1.2.)  αε_{1}^{n_{1}} · . . . · ε_{r}^{n_{r}} − βε_{1}^{m_{1}} · . . . · ε_{r}^{m_{r}} = 1

alakú. A továbbiakban ezzel fogunk foglalkozni. Feltesszük, hogy r > 0, hiszen ellenkező esetben (2) triviális.

Győry [1979 – 1980] bebizonyította, hogy (2) és így (1) megoldásaira effektív felső korlát adható. Ezt a tételt két állításra bontjuk, mert ez a megközelítés a továbbiak számára kedvezőbb kiindulást jelent.

Győry tételét nem teljes általánosságban reprodukáljuk, hanem feltesszük, hogy vagy α és β nem egységek vagy Z_{K} –ban nincs olyan egységgyöktől különböző ε egység, hogy valamely 1 ≤ i ≤ k –ra |ε^{(i)}| = 1.

Tekintettel arra, hogy az alkalmazásainkban általában totálisan valós testeket vizsgálunk és ott a második alternatíva nem fordulhat elő, hiszen ha egy totálisan valós testben egy egység valamely konjugáltjának abszolút értéke 1, akkor az 1 vagy -1 és ezért egységgyök, így ez a megszorítás nem nagyon lényeges. Márészt ezzel a feltétellel elkerüljük a komplex logaritmus alkalmazásával járó, főként technikai jellegű, esetszétválasztást.

2.1.1. Tétel Legyenek (n_{1}, …, n_{r}), (m_{1}, …, m_{r}) ∈ Z^{r} (2) megoldásai. Tegyük fel, hogy max_{1≤i≤r} |n_{i}| =

N ≤ M = max_{1≤i≤r} |m_{i}| és M > c_{1}(log |\overline{β}| + 0.23). Akkor van olyan 1 ≤ I ≤ s + t index, amelyre

(2.1.3.)  |n_{1} log |ε_{1}^{(I)}| + … + n_{r} log |ε_{r}^{(I)}| + log |α^{(I)}|| < 2|β^{(I)}| exp(−N/c_{1})

ahol c_{1} csak ε_{1}, …, ε_{r} – tól függő, effektíven kiszámítható konstans.

Megjegyzés A bizonyítás során c_{1} kiszámítására eljárást adunk, amelyből az expliciten kifejezhető. Erre az alakra azonban később nem lesz szükségünk, ezért nem közöjük azt.

Bizonyítás Legyenek a γ ∈ K konjugáltjai γ = γ^{(1)}, …, γ^{(k)}. Akkor (2) – ből következik

(2.1.4.)  α^{(i)}ε_{1}^{(i)n_{1}} · . . . · ε_{r}^{(i)n_{r}} − 1 = β^{(i)}ε_{1}^{(i)^{m_{1}}} · . . . · ε_{r}^{(i)^{mr}}

minden i = 1, …, k – ra.

Legyen ν = ε_{1}^{m_{1}} · . . . · ε_{r}^{m_{r}}, akkor

(2.1.5.)  ∑_{i=1}^{r} m_{i}e_{j} log |ε_{i}^{(j)}| = e_{j} log |ν^{(j)}|, j = 1, …, s + t.

ahol az e_{j}, j = 1, …, s+t számokat (1.2.5.)–ben definiáltuk. A Cramer szabályt és az Hadamand egyenlőtlenséget alkalmazva, (5) – ből következik

(2.1.6.)  M ≤ c_{2}| log |ν^{(J)}||,

ahol c_{2} csak ε_{1}, …, ε_{r} – től függ, és J az az index, amelyre

| log |ν^{(J)}|| = max_{1≤i≤s+t} | log |ν^{(i)}||.

A (5) lineáris egyenletrendszerben r ismeretlen és r + 1 egyenlet van. Egy egyenletet tehát elhagyhatunk (5)

– ből és ezt célszerű úgy megtenni, hogy c_{2} a lehető legkisebb legyen.

Legyen most I az az index, amelyre

log |ν^{(I)}| = min_{1≤i≤s+t} log |ν^{(i)}|,

akkor | log |ν^{(I)}|| ≤ | log |ν^{(J)}|| és így (6) miatt

(2.1.7.)  log |ν^{(I)}| ≥ −\frac{1}{c_{2}} M.

Ha most

M > c_{2}(log |\overline{β}| − log 0.795),

akkor (7) miatt |β^{(I)}ν^{(I)}| < 0.795 és (4) – ből következik, hogy

||α^{(I)}||ε_{1}^{(I)}|^{n_{1}} · . . . · |ε_{r}^{(I)}|^{n_{r}} − 1| ≤ |β^{(I)}ν^{(I)}| < 0.795.

Ebből az egyenlőtlenségből az 1.3.5. Lemma, N ≤ M, valamint (7) felhasználásával kapjuk (3) – at c_{1} = 1/c_{2} választással.

2.1.2. Tétel Van olyan c_{3} > 0 csak α, β, ε_{1}, …, ε_{r}, K – tól függő konstans, hogy (2) minden (n_{1}, …, n_{r}), (m_{1}, …, m_{r}) ∈ Z^{r} megoldására

(2.1.8.)  max{N, M} ≤ c_{3}.

Bizonyítás Legyen

(2.1.9.)  αε_{1}^{n_{1}} · . . . · ε_{r}^{n_{r}} = ζ.

Tegyük fel először, hogy ζ ∈ K egységgyök. Ebből egy (5) típusú egyenletrendszer vezethető le n_{1}, …, n_{r} – re −e_{j} log |α^{(j)}| j = 1, …, s + t jobb oldallal. Tehát N ≤ c_{3}. Másrészt (9) és (2) – ből

ε_{1}^{m_{1}} · . . . · ε_{r}^{m_{r}} = (ζ − 1)/β,

ebből pedig az előbbi gondolatmenettel M ≤ c_{3}, az előzőtől különböző c_{3} konstanssal.

A továbbiakban tehát feltehető, hogy ζ nem egységgyök. Ha N ≤ M, akkor az 1. tétel szerint van olyan 1 ≤ I ≤ s + t, amelyre (3) teljesül vagy pedig M ≤ c_{1}(log |\overline{β}| + 0.23). Az utóbbi esetben a bizonyítással készen vagyunk.

Mivel ζ nem egységgyök, így

0 < | ∧ | = |n_{1} log |ε_{1}^{(I)}| + … + n_{r} log |ε_{r}^{(I)}| + log |α^{(I)}||.

Valóban, ha |∧| = 0 volna, akkor a ζ elem I–dik konjugáltjára |ζ^{(I)}| = 1 teljesülne. Tehát a Q(ζ^{(I)}, \overline{ζ^{(I)}}) testben ζ^{(I)}|1 teljesül, következésképpen ζ^{(I)} és így ζ is egység, ellentétben az 1. tétel előtt megfogalmazott feltétellel.

∧ – ra tehát alkalmazható az 1.3.2. tétel, minek következtében N ≤ c_{3} vagy pedig

(2.1.10.)  | ∧ | > exp{−c_{4} log N − c_{5}}.

Összehasonlítva (10) – et (3) – mal látható, hogy N ≤ c_{6} és így (4) következtében M ≤ c_{7}. Felcserélve végül N és M szerepét kapjuk a tétel bizonyítását.

2.2. Redukciós lemmák

Az 1.1 tétel a (2) egyenlet megoldásainak megkeresését visszavezeti véges sok

(2.2.1.)  |n_{1} log |ε_{1}| + … + n_{r} log |ε_{r}| + log |α|| < c_{2} exp(−N/c_{1})

diofantoszi egyenlőtlenség (n_{1}, …, n_{r}) ∈ Z^{r}, c_{1}(log |\overline{β}| + 0.23) = N_{0} < max_{1≤i≤r}\{|n_{i}|\} = N ≤ N_{1} ≤ c_{3}, c_{2} = 2|β|

megoldásainak meghatározására.

Konkrét problémákra kiszámítva N_{0} – at és N_{1} – et azt tapasztaljuk, és erre a későbbi fejezetekben példákat is mutatunk, hogy N_{1} általában nagyobb exp(N_{0}) – nál is, ami a legegyszerűbb esetekben is 10^{10} nagyságrendű. Így (1) a lehetséges esetek közvetlen kipróbálásával nem oldható meg. Az (1) egyenlőtlenségben szereplő log |ε_{1}|, …, log |ε_{r}| és log |α| számok ismeretében N_{1} a tapasztalatok szerint jelentősen leredukálható. Ezt a módszert ismertetjük most.

A továbbiakban feltesszük, hogy α és β nem egységek és r ≥ 2. Az ellenkező eset alkalmazásainkban nem fordul elő. Olyankor de Weger [1989, § 3.7.] módszerét lehet használni.

Legyen j az az index, amelyre

| log |ε_{j}|| = max_{1≤i≤r} | log |ε_{i}||.

Feltehető, hogy j = r. Osszuk el (1) – et log |ε_{r}| – el, akkor

(2.2.2.)  |n_{1}δ_{1} + … + n_{r−1}δ_{r−1} + n_{r} + δ_{r}| < c_{4} exp(−N/c_{1}),

ahol

δ_{i} = \{ \begin{matrix}log |ε_{i}|/ log |ε_{r}|, & ha 1 ≤ i ≤ r − 1 \\ log |α|/ log |ε_{r}|, & ha i = r \end{matrix}

és c_{4} = c_{2}/| log |ε_{r}||.

(2) egy inhomogén diofantoszi approximációs probléma. A következő lemmát r = 2 – re Baker and Davenport [1969] bizonyították, az általános eset Pethő und Schulenberg [1987] dolgozatában jelent meg. Ez az alapja minden N – re vonatkozó felső korlátot numerikus diofantoszi approximációs módszerrel redukáló eljárásnak.

2.2.1. Lemma Tegyük fel, hogy (2) teljesül n_{1}, …, n_{r} ∈ Z, N ≤ N_{1} – re. Legyenek Q_{1}, Q_{2} és Q_{3} pozitív valós számok, melyekre Q_{2} ≥ 1, Q_{1} > 2^{r−1}((r−1)Q_{2} +1) és Q_{3} ≥ N_{1}^{r−1}. Legyenek q, p_{1}, …, p_{r−1} ∈ Z olyanok, amelyek eleget tesznek az

(2.2.3.)  1 ≤ q ≤ Q_{1}Q_{3}, |qδ_{i} − p_{i}| ≤ Q_{2}(Q_{1}Q_{3})^{−1/(r−1)}, i = 1, …, r − 1

egyenlőtlenségeknek.

Akkor vagy

(2.2.4.)  N ≤ ⌊c_{1} log(Q_{1}^{r/(r−1)}Q_{3}c_{4})⌋

vagy pedig van olyan p_{r} ∈ Z, hogy |qδ_{r} − p_{r}| < ((r − 1)Q_{2} + 1)Q_{1}^{−1/(r−1)} és

(2.2.5.)  |p_{1}n_{1} + … + p_{r−1}n_{r−1} + n_{r}q + p_{r}| < 2((r − 1)Q_{2} + 1)Q_{1}^{−1/(r−1)}.

Bizonyítás Tegyük fel, hogy (4) nem teljesül, azaz

N ≥ c_{1} log(Q_{1}^{r/(r−1)}Q_{3}c_{4}).

Jelölje a továbbiakban ∥x∥ az x ∈ R távolságát a legközelebbi egész számtól. Akkor (3) – ból

∥qn_{i}δ_{i}∥ ≤ |n_{i}| ∥qδ_{i}∥ ≤ NQ_{2}(Q_{1}Q_{3})^{−1/(r−1)} ≤ Q_{2}Q_{1}^{−1/(r−1)},

teljesül i = 1, …, r − 1. Ezekből

∥ ∑_{i=1}^{r−1} qn_{i}δ_{i}∥ ≤ (r − 1)Q_{2}Q_{1}^{−1/(r−1)}.

Másrészt (2) – ből

| ∑_{i=1}^{r−1} n_{i}qδ_{i} + n_{r}q + δ_{r}q| < Q_{1}^{−1/(r−1)}.

Ezért

|qδ_{r} − p_{r}| = ∥qδ_{r}∥ ≤ | ∑_{i=1}^{r−1} n_{i}qδ_{i} + n_{r}q + δ_{r}q| + ∥ ∑_{i=1}^{r−1} qn_{i}δ_{i}∥ < ((r − 1)Q_{2} + 1)Q_{1}^{−1/(r−1)}.

Továbbá

| ∑_{i=1}^{r−1} n_{i}p_{i} + qn_{r} + p_{r}| ≤ | ∑_{i=1}^{r−1} n_{i}(−qδ_{i} + p_{i})| + | ∑_{i=1}^{r−1} n_{i}qδ_{i} + n_{r}q + δ_{r}q|

+| − δ_{r}q + p_{r}| < 2((r − 1)Q_{2} + 1)Q_{1}^{−1/(r−1)},

amivel a lemmát bebizonyítottuk.

A (2) egyenlőtlenségben δ_{1}, …, δ_{r} valós számok. Ahhoz, hogy a (3) szimultán approximációs probléma megoldásait meghatározhassuk a δ_{1}, …, δ_{r} számokat racionális számokkal kell először közelíteni. A közelítés szükséges pontosságáról szól a következő lemma Pethő und Schulenberg [1987].

2.2.2. Lemma Legyenek Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} ugyanolyanok, mint az 1. lemmában. Tegyük fel, hogy δ̂_{i} ∈ Q – ra (i = 1, …, r) teljesül

(2.2.5.)  |δ_{i} − δ̂_{i}| ≤ (Q_{2}/2)(Q_{1}Q_{3})^{−r/(r−1)}.

Ha valamely q, p_{1}, …, p_{r−1} ∈ Z – re

(2.2.6.)  1 ≤ q ≤ Q_{1}Q_{3}, |qδ̂_{i} − p_{i}| ≤ (Q_{2}/2)(Q_{1}Q_{3})^{−1/(r−1)}, i = 1, …, r − 1

teljesül akkor, ha még

(2.2.7.)  ∥qδ̂_{r}∥ ≥ ((r − 1/2)Q_{2} + 1)Q_{1}^{−1/(r−1)}

is igaz akkor (4), ellenkező esetben (5) teljesül.

Bizonyítás (5) és (6) – ból

∥qδ_{i}∥ ≤ ∥qδ̂_{i}∥ + q|δ_{i} − δ̂_{i}| ≤ Q_{2}(Q_{1}Q_{3})^{−1/(r−1)}

következik i = 1, …, r − 1 – re.

Másrészt ugyancsak (5) – ből

∥qδ̂_{r}∥ ≤ ∥qδ_{r}∥ + q|δ_{r} − δ̂_{r}| ≤ ∥qδ_{r}∥ + (Q_{2}/2)(Q_{1}Q_{3})^{−1/(r−1)},

ezért

∥qδ_{r}∥ ≥ ((r − 1)Q_{2} + 1)Q_{1}^{−1/(r−1)}

és így az 1. lemma szerint (4) teljesül ellenkező esetben pedig természetesen (5).

2.3. A redukciós algoritmus

Ebben a részben feltételezzük, hogy α és β nem egységek, egyebekben az előző részek jelöléseit használjuk. A következő algoritmust r = 2 esetben Baker and Davenport [1969] írta le, majd Ellison [1971] valamint

Ellison és társai [1972] alkalmazták speciális problémák megoldására. Az általános eljárást, az LLL – redukció alkalmazásával egy általam vezetett szakdolgozatban Schulenberg [1985] dolgozta ki és implementálta. Ezen szakdolgozat alapján készült a Pethő und Schulenberg [1987] publikáció. Az eljárásnak később több variánsa Steiner [1986], de Weger [1987], Tzanakis and de Weger [1989a] jelent meg az irodalomban. Megjegyezzük még, hogy Schulenberg implementációját N. Schulte és B. Arenz integrálta a KANT programcsomagba.

2.3.1. Algoritmus Bemenet : α, β, ε_{1}, …, ε_{r} Kimenet : Felső korlát N = max |n_{i}| – re, ahol (n_{1}, …, n_{r}) ∈ Z^{r} a (2) olyan megoldása,

amelyre N ≤ M. Ha (2) – nek van ”nagy” megoldása, akkor ezen felül lineáris diofantoszi egyenlet n_{1}, …, n_{r} – re.

1. N_{0} ← c_{1}(log |\overline{β}| + 0.23) \{Az 1.1. tétel szerint\}, I ← 1

2. ∧_{I} ← n_{1} log |ε_{1}^{(I)}| + … + n_{r} log |ε_{r}^{(I)}| + log |α^{(I)}|, c_{4} ← 2|β^{(I)}|

3. Határozzuk meg N_{1} – et az 1.2. tételben közölt gondolatmenettel, N_{1} ← ⌊N_{1}⌋

4. Q_{2} ← { 2, ha r=2 2^{r/4+1}különben, c_{4} ← c_{4}/ log |ε_{r}^{(I)}|

5. Q_{3} ← N_{1}^{r−1}, Válasszuk meg Q_{1} – et megfelelően

6. ε ← (Q_{2}/2)(Q_{1}Q_{3})^{−r/(r−1)}, Határozzuk meg δ̂_{1}, …, δ̂_{r} ∈ Q – t úgy, hogy

|δ̂_{i} − \frac{log |ε_{i}^{(I)}|}{log |ε_{r}^{(I)}|}| < ε, i = 1, …, r − 1; |δ̂_{r} − \frac{log |α^{(I)}|}{log |ε_{r}^{(I)}|}| < ε.

7. Határozzuk meg q, p_{1}, …, p_{r−1} ∈ Z – t (6) – nak megfelelően r = 2 – re a lánctört, különben az LLL algoritmussal.

8. Ha (7) teljesül, akkor Q_{1} ← [((r − \frac{1}{2})Q_{2} + 1)∥qδ̂_{r}∥]^{r−1}, N_{2} ← ⌊c_{1} log(Q_{1}^{r/(r−1)}Q_{3}c_{4})⌋, különben határozzuk meg azt a p_{r} ∈ Z – t, amelyre ∥qδ_{r}∥ = |qδ_{r} − p_{r}|; output p_{1}, … p_{r}, q, Q_{1}, Q_{2}, goto 9.,

9. Ha (N_{2} < N_{1}) és (N_{2} > N_{0}) akkor N_{1} ← N_{2} goto 5., különben ha N_{2} > N_{0}, akkor output N_{1}, különben output N_{0},

10. I ← I + 1, Ha I ≤ r + 1, akkor goto 3., különben stop.

Megjegyezzük, hogy de Weger illetve Tzanakis and de Weger fent idézett módszere nem (6) szimultán diofantoszi probléma megoldásait használja, hanem azon az észrevételen alapszik, hogy az n_{1}δ_{1} +…+n_{r}δ_{r} + δ_{r+1} lineáris forma kis értékei egy alkalmasan definiált rács rövid vektorainak felelnek meg.

2.3.2. Tétel Az 1. algoritmus véges sok lépésben befejeződik és helyesen működik.

Bizonyítás Feltettük, hogy α és β nem egység, így az (1.9.) – ben definiált ζ nem lehet egységgyök. Így az 1.2. tétel szerint rögzített I – re N ≤ max(N_{0}, N_{1}), ahol N_{0} az 1., N_{1} a 3. lépésben definiált számok. Világos továbbá, hogy az eljárás során N_{1} ≥ N_{0} mindig teljesül. A 3. lépésben kiszámított N_{1} érték azonban a 8. lépésben csökkenhet. Erre azonban csak véges sokszor kerülhet sor. Q_{2} választása valamint (1.1.2.) illetve az 1.1.8. tétel következtében a lánctört illetve az LLL algoritmus véges sok lépésben szolgáltatja (6) egy megoldását. Ezek szerint az algoritmus véges sok lépésben befejeződik.

Most már csak azt kell bizonyítani, hogy ha a 8. lépésben N_{2} < N_{1} teljesül akkor N_{2} is felső korlát N – re. Ekkor a 7. lépésben (7) teljesül és így a 2. lemma szerint (4) igaz. Ezzel a tétel bizonyítását befejeztük.

Az 1. algoritmust csak N ≤ M esetére tárgyaltuk. Felcserélve N és M, illetve α és β szerepét azonban értelemszerűen felhasználható arra is, hogy felső korlátot adjunk az N > M feltételnek eleget tevő megoldásokra.

Megjegyezzük azt, hogy az 1. algoritmus 7., redukciós lépése, nagyon hatékony. A 3. lépésben meghatározott N_{1} ugyanis nagyon nagy, 10^{10r} nagyságrendű. Ezt a korlátot egy – két redukciós lépéssel 10r nagységrendűre lehet csökkenteni, és a végül kapott korlát közel lesz (2) legnagyobb megoldásához.

A módszer hatékonysága lényegesen függ ε_{1}, …, ε_{r} megválasztásától. Célszerű ezeket úgy választani, hogy az

E_{i} = (log |ε_{i}^{(1)}|, …, log |ε_{i}^{(r+1)}|)^{T} i = 1, …, r

az E_{1}, …, E_{r} vektorok által kifeszített r – dimenziós rács redukált bázisát alkossák.

Az 1. algoritmussal felső korlátot N_{1} – et tudunk adni N = max |n_{i}| – re. Az N_{1} – nél kisebb megoldások meghatározására bizonyos esetekben, például ha Thue egyenletet akarunk megoldani, szintén alkalmazhatók numerikus diofantoszi approximációs módszerek. (Lásd 3.5.) Általában a következő gondolatmenetet lehet követni. Ha max |n_{i}| ≤ N_{1}; akkor (2) – ből következik

(2.4.1.)  |m_{1} log |ε_{1}^{(i)}| + … + m_{r} log |ε_{r}^{(i)}|| ≤ log[|α| max_{1≤i≤r} |\overline{ε}_{i}|^{rN_{1}} + 1] = c_{5}

minden 1 ≤ i ≤ n – re.

Ilyen egyelőtlenségrendszernek megoldására Fincke and Pohst [1983], [1985] algoritmusa alkalmazható. A későbbiekben ezt a megközelítést nem fogjuk használni, így annak részletes ismertetésétől eltekintünk.

3. Thue egyenlet

Legyen F (x, y) = a_{0}x^{k} + a_{1}x^{k−1}y + … + a_{k}y^{k} ∈ Z[x, y] irreducibilis Q[x, y] felett, k ≥ 3 és 0 ≠ m ∈ Z. Az

(3.1.)  F (x, y) = m

egyenletet, melynek x, y ∈ Z megoldásait keressük Thue egyenletnek nevezzük. Thue [1909] bebizonyította, hogy (1)–nek minden m –re csak véges sok megoldása van. Baker [1968b] megmutatta, hogy van olyan csak az F együtthatóitól, fokszámától és m –től függő effektíven kiszámítható konstans, amellyel (1) minden x, y megoldásának abszolút értéke felülről korlátozható. Ez az eredmény elvileg lehetőséget adott (1) összes megoldásának algoritmikus meghatározására. Baker becslését később többen pontosították, a legjobb ismert felső korlátot Győry és Papp [1983] bizonyították. A problémakör kapcsolatairól és általánosításai lehetőségeiről részletesen írnak Shorey and Tijdeman [1986].

3.1. Thue egyenlet visszavezetése véges sok egységegyenletre

Ebben a részben Pethő és Schulenberg [1987], Pethő [1990] és de Weger [1987] dolgozatai alapján azt a kérdést fogjuk vizsgálni, hogy hogyan lehet a (31) egyenletet véges sok egységegyenletre visszavezetni. Tárgyalásunk során felhasználjuk Győry és Papp [1983], Ellison és társai [1972] és Steiner [1986] gondolatait is.

Legyen β az F (x, 1) = f(x) polinom egy gyöke és K = Q(β), akkor [K : Q] = k. Tekintettel arra, hogy

(a_{0}β)^{k} + a_{1}(a_{0}β)^{k−1} + a_{2}a_{0}(a_{0}β)^{k−2} + … + a_{k}a_{0}^{k−1} = 0,

így a_{0}β ∈ Z_{K}. Az (x, y) ∈ Z^{2} megoldása (3.1)–nek pontosan akkor , ha megoldása az

F_{1}(x, y) = a_{0}^{k−1}F (x, y) = a_{0}^{k−1}m

egyenletnek. Ezért a továbbiakban feltehető, hogy β ∈ Z_{K}. Ekkor O = Z[β] rend K –ban. Jelölje E_{0} illetve E az O egységeinek, illetve 1 normájú egységeinek csoportját. Akkor E indexe E_{0} –ban legfeljebb 2 és így Dirichlet egységtétele következtében E rangja is r = s + t − 1. Jelölje a továbbiakban ε_{1}, …, ε_{r} az E egy alapegységrendszerét. Legyen

c_{1} = max{| log |ε_{j}||, 1 ≤ j ≤ r}

és

c_{2} = ∏_{j=1}^{r} max{|e_{j} log |ε_{j}||, 1}.

A következő lemma bizonyítását Győry és Papp [1983] nyomán közöljük.

3.1.1. Lemma. Van olyan A ⊂ O véges halmaz, amely rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal

(i) Ha (x, y) ∈ Z^{2} a (3.1) megoldása, akkor van olyan γ ∈ A és n_{1}, …, n_{r} ∈ Z, hogy

(3.1.1.)  x − βy = γε_{1}^{n_{1}} · . . . · ε_{r}^{n_{r}},

(ii) Minden γ ∈ A –ra N_{K/Q}(γ) = m és | log \overline{|m^{−1/k}γ|}| ≤ \frac{rc_{1}}{2}

Bizonyítás. Legyen (x, y) ∈ Z^{2} a (3.1) egy megoldása. Akkor B = x − βy ∈ O és az egyenlet átírható

(3.1.2.)  N_{K/Q}(B) = m

alakba.

Legyen az ℓ : K → R^{s+t} leképezés α ∈ K –ra a következőképpen megadva

ℓ(α) = (e_{1} log |N_{K/Q}(α)^{−1/k}α^{(1)}|, …, e_{s+t} log |N_{K/Q}(α)^{−1/k}α^{(s+t)}|).

Akkor ℓ a K –t az R^{s+t}

x_{1} + … + x_{s+t} = 0

egyenlettel definiált hipersíkjába képezi. Ebben ℓ(ε_{1}), …, ℓ(ε_{r}) Dirichlet egységtétele következtében teljes rácsot alkot. Így vannak olyan s_{1}, …, s_{r} ∈ R, hogy

ℓ(B) = ∑_{i=1}^{r} s_{i}ℓ(ε_{i}).

Legyen n_{i} az s_{i} –hez legközelebbi egész szám és n′_{i} = s_{i} − b_{i}, i = 1, …, r. Akkor |n′_{i}| ≤ \frac{1}{2} és

ℓ(B) = ∑_{i=1}^{r} n_{i}ℓ(ε_{i}) + ∑_{i=1}^{r} n′_{i}ℓ(ε_{i}).

Legyen ε = ε_{1}^{−n_{1}} · . . . · ε_{r}^{−n_{r}} és γ = Bε, úgy ε ∈ E, γ ∈ O, N_{K/Q}(γ) = m és

ℓ(γ) = ∑_{i=1}^{r} n′_{i}ℓ(ε_{i}).

Így

| log |m^{−1/k}γ^{(i)}|| ≤ \frac{rc_{1}}{2} i = 1, …, s + t,

ami egyenértékű (ii)–vel.

A legutóbbi egyenlőtlenségből következik, hogy

|\overline{γ}| ≤ m^{1/k} exp (\frac{r}{2}c_{1}) .

Ennek az egyenlőtlenségnek azonban az 1.2.2. lemma szerint csak véges sok O –beli elem tesz eleget. Kiválasztva közülük az m normájú, E –beli egységekkel nem asszociált elemeket kapjuk az A halmazt.

Megjegyezzük, hogy a konstruktív algebrai számelmélet egyik alapproblémája adott O rend és m ∈ Z esetén az m normájú O –beli elemek egy maximális nem–asszociált rendszerét algoritmussal meghatározni. Erre a fenti lemma elvben lehetőséget ad, de a bizonyításból levezethető eljárás nagyon lassú.

Valós másodfokú számtestek esetén a lánctörtalgoritmus Hua [1982], Theorem 8.2, nem valós harmadfokú számtestekben pedig a Jacobin Perron algoritmus, Williams [1990] hatásos eljárást ad a rend diszkriminánsához képest kis normájú, nem asszociált elemek maximális rendszerének meghatározására. Általános esetben a ma ismert legjobb módszert Fincke és Pohst [1983], [1985] publikálták.

A továbbiakban a (3.1) Thue egyenlet (x, y) ∈ Z^{2} megoldásához tartozónak fogjuk nevezni az (1) által egyértelműen meghatározott γ, n_{1}, …, n_{r} számokat.

Most megmutatjuk, hogy a Thue egyenlet visszavezethető véges sok egységegyenletre.

3.1.2. Lemma. Legyen (x, y) ∈ Z^{2} a (3.1) egyenlet megoldása, amelyhez a γ ∈ A, n_{1}, …, n_{r} ∈ Z számok tartoznak. Legyenek 1 ≤ u, q, j ≤ k páronként különböző számok. Akkor

(3.1.3.)  \frac{β^{(u)} − β^{(q)}}{β^{(j)} − β^{(q)}} \frac{γ^{(j)}}{γ^{(u)}} (\frac{ε_{1}^{(j)}}{ε_{1}^{(u)}} )^{n_{1}} · . . . · (\frac{ε_{r}^{(j)}}{ε_{r}^{(u)}} )^{n_{r}} − \frac{β^{(u)} − β^{(j)}}{β^{(j)} − β^{(q)}} \frac{γ^{(q)}}{γ^{(u)}} (\frac{ε_{1}^{(q)}}{ε_{1}^{(u)}} )^{n_{1}} · . . . · (\frac{ε_{r}^{(q)}}{ε_{r}^{(u)}} )^{n_{r}} = 1

Bizonyítás. A következő azonosság

(3.1.4.)  (β^{(u)} − β^{(q)})(x − β^{(j)}y) + (β^{(j)} − β^{(u)})(x − β^{(q)}y) = (β^{(j)} − β^{(q)})(x − β^{(u)}y)

helyessége nyilvánvaló. Mivel β k –ad fokú, a β^{(j)} − β^{(q)}, x − β^{(u)}y számok 0–tól különbözőek. Ezért (4)–ből (1) figyelembe vételével közvetlenül következik (3).

A 2. lemmából és a 2.1.2 tételből egyszerűen levezethető, hogy a Thue egyenletnek véges sok effektíven meghatározható megoldása van. Ennél a megközelítésnél azonban a megoldások abszolút értékének maximumára kapott felső becslés K normális lezártja paramétereitől függ. Sokkal jobb eredményt kapunk akkor, ha a Thue egyenlet speciális tulajdonságait kihasználva a 2.1.1. tételben adottnál élesebb becslést vezetünk le.

3.1.3. Lemma. Legyen x, y ∈ Z a (3.1) egy megoldása, valamint

Y_{0} = \{ \begin{matrix}| (\frac{2^{k−1}|m|}{min_{1≤i≤t} |f′(β^{(s+i)})| min_{1≤i≤t} |Imβ^{(s+i)}|})^{1/k} |, & ha t ≥ 1 \\ 1, & ha t = 0, \end{matrix}

c_{3} = \frac{2^{k−1}|m|}{min_{1≤i≤s} |f′β^{(i)}|} c_{4} = \frac{1}{2} min_{1≤i≤j≤k} |β^{(i)} − β^{(j)}|, c_{5} = max_{1≤i<j≤k} |β^{(i)} − β^{(j)}|,

Y_{1} = max {Y_{0}, (2c_{3})^{1/(k−2)}} .

Akkor

(i) Ha |y| > Y_{0}, akkor van olyan u ∈ I = {1, …, s}, hogy

|x − β^{(u)}y| ≤ c_{3}|y|^{−(k−1)}, (3.1.5.) |x − β^{(i)}y| ≥ c_{4}|y| i ∈ I \ {u}. (3.1.6.)

(ii) Ha |y| > Y_{1}, akkor x/y a β^{(u)} lánctörtelőállításának valamely közelítő törtje, valamint

(3.1.7.)  |x − β^{(i)}y| ≤ (\frac{1}{2} + c_{5}) |y|.

Bizonyítás. Legyen u ∈ I olyan, hogy |x − β^{(u)}y| = min_{1≤i≤k} |x − β^{(i)}y|. Akkor

|y||β^{(i)} − β^{(u)}| ≤ |x − β^{(i)}y| + |x − β^{(u)}y| ≤ 2|x − β^{(i)}y|,

amelyből (6) közvetlenül következik.

Másrészt (3.1)–et átírhatjuk

∏_{i=1}^{k} |x − β^{(i)}y| = |m|

alakba. Ebből (6) felhasználásával

(3.1.8.)  |x − β^{(u)}y| ≤ \frac{2^{k−1}|m|}{∏_{{i=1 \atop i≠u}}^{k}(|β^{(i)} − β^{(u)}||y|)} = \frac{2^{k−1}|m|}{|f′(β^{(u)})|}|y|^{−k+1}.

Amennyiben u > s, akkor (8)–ból

|\frac{x}{y} − β^{(u)}| ≤ \frac{2^{k−1}|m|}{|f′(β^{(u)})|}|y|^{−k} ≤ (\frac{Y_{0}}{y} )^{k} min_{1≤i≤t} |Imβ^{(s+i)}|,

amely |y| > Y_{0} esetén lehetetlen. Tehát u ≤ s, amikor viszont (5) közvetlen következménye (8)–nak. Ha |y| > Y_{1}, akkor (5)–ből

|\frac{x}{y} − β^{(u)}| < \frac{1}{2|y|^{2}} ,

tehát az 1.1.2. tétel szerint \frac{x}{y} a β^{(u)} közelítő törtje. Végül

|x − β^{(i)}y| ≤ |x − β^{(u)}y| + |β^{(i)} − β^{(u)}||y| < \frac{1}{2|y|} + c_{5}|y| ≤ (\frac{1}{2} + c_{5}) |y|.

A továbbiakban feltesszük, hogy s ≥ 3. Az alkalmazásokban csak ilyen esetekkel fogunk részletesen foglalkozni, másrészt ezzel elkerüljük a komplex logaritmus alkalmazása következtében szükséges esetszétválasztásokat. A gondolatmenet azonban az általános esetben is teljesen hasonló.

Jelölje R a továbbiakban E regulátorát. Legyen

\begin{matrix}Y_{2} = max \{Y_{0}, (4c_{3})^{1/(k−2)}, (\frac{c_{3}c_{5}}{1.66c_{4}^{2}} )^{1/k}\} , \\ c_{6} = \frac{k|R|}{r!c_{2} · 2^{t−1}} , \end{matrix}

valamint rögzített γ ∈ A esetén legyen

c_{7} = log (2\frac{c_{3}c_{5}}{c_{4}^{2}} ) + k log (|\overline{γ^{−1}}| (\frac{1}{2} + c_{5})) .

A (3.1) valamely megoldása esetén legyen u ≤ s a 3. lemma bizonyításában definiált index valamint 1 ≤ q, j ≤ s egymástól és u –tól is különböző számok. Legyenek végül

α_{v}(u, q, j, γ) = α_{v} = \{ \begin{matrix}ε_{v}^{(j)}/ε_{v}^{(q)}, & ha 1 ≤ v ≤ r \\ \frac{β^{(u)}−β^{(q)}}{β^{(j)}−β^{(u)}} \frac{γ^{(j)}}{γ^{(q)}} , & ha v = r + 1. \end{matrix}

3.1.4. Tétel. Legyen s ≥ 3 és (x, y) ∈ Z^{2}, |y| ≥ Y_{2} a (3.1) egyenlet egy megoldása, melyhez a γ ∈ A, n_{1}, …, n_{r} ∈ Z számok tartoznak. Ha N = max{|n_{1}|, …, |n_{r}|}, akkor minden 1 ≤ u ≤ s –hez léteznek olyan páronként különböző q, j ∈ {1, …, s}\{u} indexek amelyekre

(3.1.9.)  0 < | ∧ | = |n_{1} log |α_{1}| + … + n_{r} log |α_{r}| + log |α_{r+1}|| < exp(c_{7} − c_{6}N)

teljesül.

Bizonyítás. A tételben tekintett számok között az (1) egyenlőség teremt kapcsolatot. Véve annak konjugáltjait és felhasználva (7)–et kapjuk a

n_{1} log |ε_{1}^{(j)}| + … + n_{r}|ε_{r}^{(j)}| ≤ log [(\frac{1}{2} + c_{5}) |y|/|γ^{(j)}|] j = 1, …, s + t − 1

lineáris egyenlőtlenségrendszert. A Cramer szabályt alkalmazva nyilvánvaló becslések szolgáltatják a

N ≤ \frac{2^{t−1}r!c_{2}}{|R|} [log |y| + log |\overline{γ^{−1}}|(1/2 + c_{5})]

eredményt, amelyből

(3.1.10.)  log |y| ≥ \frac{|R|}{r!c_{2}2^{t−1}} N − log |\overline{γ^{−1}}| (\frac{1}{2} + c_{5}) .

Az (x, y) ∈ Z^{2} megoldáshoz a 3. lemma szerint egyértelműen tartozik egy 1 ≤ u ≤ s. Mivel s ≥ 3, és |{1, …, s} \ {u}| ≥ 2, kiválaszthatunk q, j ∈ {1, …, s} \ {u}, q ≠ j számokat. Ezeket a továbbiakban rögzítettnek tekintjük.

Osszuk el (4)–et (β^{(j)} − β^{(u)})(x − β^{(q)}y) ≠ 0–val, akkor (1) figyelembe vételével

(3.1.11.)  α_{r+1}α_{1}^{n_{1}} · . . . · α_{r}^{n_{r}} + 1 = \frac{β^{(j)} − β^{(q)}}{β^{(j)} − β^{(u)}} \frac{x − β^{(u)}y}{x − β^{(q)}y} = ω

egyenlőséget kapjuk. ω –t (5) és (6) valamint |y| ≥ Y_{2} felhasználásával felül tudjuk becsülni

(3.1.12.)  |ω| < \frac{c_{3}c_{5}}{2c_{4}^{2}} |y|^{−k} ≤ 0.795

alakban. Ebből az 1.3.5. lemma alkalmazásával kapjuk a | ∧ | –ra vonatkozó felső becslést.

A ∧ = 0 egyenlőségből |ζ| = 1 következne, ahol

ζ = α_{r+1}α_{1}^{n_{1}} · . . . · α_{r}^{n_{r}} = \frac{β^{(u)} − β^{(q)}}{β^{(j)} − β^{(u)}} · \frac{x − β^{(j)}y}{x − β^{(q)}y} .

Mivel β^{(j)}, β^{(q)}, β^{(u)} ∈ R, így ζ = ±1. Következésképp ω = 0 vagy 2. A második alternatíva (12), az első pedig f(x) irreducibilitása miatt nem lehet igaz. Tehát | ∧ | > 0 és ezzel a tételt bebizonyítottuk.

3.2. Algoritmus a Thue egyenlet megoldására

Legyen s ≥ 3, L = Q(β^{(1)}, …, β^{(n)}) és D = [L : Q]. A konstansok számozása követi az előző részben alkalmazott jelölést.

3.2.1. Algoritmus. Bemenet : β, ε_{1}, …, ε_{r}, γ_{1}, …, γ_{a} és ezek konjugáltjai (A = {γ_{1}, …, γ_{a}}). Kimenet : A (3.1) egyenlet megoldásai

1. u ← 1,

2. Válasszuk meg q, j ∈ {1, …, s} \ {u}; q ≠ j –t, α_{h} ← |ε_{h}^{(j)}/ε_{h}^{(q)}|, h = 1, …, r, Határozzuk meg V_{h}, h = 1, …, r az 1.3.–ban leírtak szerint, c_{8} ← −ĉ_{1}(r + 1)D^{r+3}V_{1} · . . . · V_{r}, határozzuk meg c_{6} és Y_{2} –t.

3. h ← 1,

4. γ ← γ_{h}, α_{r+1} ← |\frac{β^{(u)}−β^{(q)}}{β^{(j)}−β^{(u)}} \frac{γ^{(j)}}{γ^{(q)}} |, határozzuk meg V_{r+1}, \overline{M}, \overline{E_{2}},

ĉ_{2}(r + 1) –et az 1.3–ban leírtak szerint,

5. c_{9} ← c_{8}V_{r+1} log \overline{M}/(log \overline{E_{2}})^{r+2}, c_{10} ← c_{9}ĉ_{2}(r + 1), határozzuk meg c_{7} –et,

6. Oldjuk meg a c_{9} log x + c_{7} + c_{10} = c_{6}x egyenletet, N_{1} ← [x], N_{0} ← 1,

7. Alkalmazzuk a 2.3.1. algoritmust

∧ = n_{1} log α_{1} + … + n_{r} log α_{r} + log α_{r+1} − re

a 3. lépéstől a 8. lépésig ε_{v}^{(I)} = α_{v} v = 1, …, r + 1 módosítással,

8. Y_{3} ← max\{Y_{2}, |\overline{γ}|(|\overline{ε_{1}}| · . . . · |\overline{ε_{r}}|)^{N_{1}}/2c_{4}\},

9. határozzuk meg az |y| ≤ Y_{3} megoldásokat a 3.5.1. algoritmussal,

10. h ← h + 1. ha h ≤ a; akkor goto 4.

11. u ← u + 1, ha u ≤ s, akkor goto 2.

12. határozzuk meg u = s + 1, …, s + t –re az |y| ≤ Y_{0} és |x − β^{(u)}y| ≤ \frac{2^{k−1}|m|}{|f′(β^{(u)})|}|y|^{−k+1} feltételeknek eleget tevő megoldásokat a lehetséges (x, y) párok behelyettesítésével.

3.2.2. Tétel. Az 1. Algoritmus véges sok lépésben befejeződik és a (3.1) egyenlet megoldásait szolgáltatja.

Bizonyítás. A 2.3.2. és 5.2. tételből közvetlenül következik, hogy az 1. – 11. lépéseket az algoritmus csak véges sokszor hajtja végre.

A 3. lemma bizonyításában láttuk, hogy ha (x, y) ∈ Z^{2} a (3.1) megoldása, akkor (8) igaz. Azt is megmutattuk, hogy u > s –re (8)–ból |y| ≤ Y_{0} következik. Látható továbbá (8)–ból, hogy

|x| ≤ \frac{2^{k−1}|m|}{|f′(β^{(u)})|}|y|^{−k+1} + |β^{(u)}y|,

valamint rögzített y mellett (3.1)–ből, hogy x|(m − a_{k}y^{k}), így a 12. lépésben csak véges sok pár behelyettesítéséről kell gondolkodnunk. Ezek a párok adják azokat az (x, y) ∈ Z^{2} megoldásokat, amelyekre

|x − β^{(u)}y| = min_{1≤i≤k} |x − β^{(i)}y|, u > s.

Rögzített 1 ≤ u, j, q ≤ s mellett az 1.4. és az 1.3.2. tételek szerint

(3.2.1.)  exp(−c_{9} log N − c_{10}) < | ∧ | < exp(c_{7} − c_{6}N).

Így c_{9} log N + c_{7} + c_{10} > c_{6}N. Legyen x a

c_{9} log x + c_{7} + c_{10} = c_{6}x egyenlet egyértelműen meghatározott megoldása. Akkor (1) csak úgy teljesülhet, ha N ≤ ⌊x⌋ ≤ x, N_{1} választása tehát korrekt. |y| < Y_{2} –re (1.9) nem feltétlenül teljesül, de ezeket a megoldásokat a 9. lépésben meg fogjuk találni, így az N_{0} = 1 választás ugyancsak megengedett. A 2.3.2. tétel szerint a 7. lépés N_{2} kimenete felső korlát (1.9) megoldásaira.

Legyen 1 ≤ i < j ≤ k, akkor (1.1)–ből

|x − β^{(i)}y| ≤ |γ^{(i)}||ε_{1}^{(i)} · . . . · ε_{r}^{(i)}|^{N_{1}} ≤ |\overline{γ}|(|\overline{ε_{1}}| · . . . · |\overline{ε}_{r}|)^{N_{1}} (3.2.2.)

|x − β^{(j)}y| ≤ |γ^{(j)}||ε_{1}^{(j)} · . . . · ε_{2}^{(j)}|^{N_{1}} ≤ |\overline{γ}|(|\overline{ε_{1}}| · . . . · |\overline{ε_{r}}|)^{N_{1}}.

Ebből az egyenlőtlenségrendszerből

|y| ≤ |\overline{γ}|(|\overline{ε_{1}}| · . . . · |\overline{ε_{r}}|)^{N_{1}}/2c_{4}

következik, így a 8. lépésben definiált Y_{3} felső korlát |y| –re. Végül az 5.2. tétel szerint az 5.1. algoritmus meghatározza az |y| ≤ Y_{3} megoldásokat. Ezzel a tétel bizonyítását befejeztük.

Megjegyzések. (2)–ben célszerű az i, j indexeket úgy megválasztani, hogy ||γ^{(i)}||ε_{1}^{(i)} · . . . · ε_{r}^{(i)}|^{N_{1}} − |γ^{(j)}||ε_{1}^{(j)} · . . . · ε_{r}^{(j)}|^{N_{1}}|/|β^{(i)} − β^{(j)}| minimális legyen.

Az [L(\sqrt{α_{1}}, …, \sqrt{α_{r+1}}) : L] = 2^{r+1} feltétel teljesülése az 1.2.5. tétel szerint kis r mellett egyszerűen ellenőrizhető. Ha a feltétel igaz, akkor az algoritmusban N_{0} kiszámításához nem az 1.3.2. hanem az 1.3.1. tétel szerinti alsó becslést ésszerű használni.

3.3. Példák

Az idevonatkozó publikációk szerint a 2.1. Algoritmust eddig harmad – és negyedfokú Thue egyenletekre alkalmazták sikerrel. Ennek több oka van.

Egyrészt az algebrai számok logaritmusaiból képzett lineáris formákra vonatkozó legjobb alsó becslés is duplán exponenciálisan csökken a fokszámmal. Következésképpen az N_{1} korlát a fokszám exponenciális függvénye. A 2.3.1. algoritmusban approximálandó számok közelítésének pontossága pedig ettől a mennyiségtől függ. A tapasztalatok szerint ezek a számítások a leginkább időigényesek az algoritmusban.

A második ok az, hogy elsősorban ilyen egyenletekre vezethetőek vissza más szempontból is érdekes problémák, problémaseregek. Egy harmadfokú számtestben adott indexű vagy diszkriminánsú elemek teljes rendszerét például egy ugyanezen test feletti Thue egyenlet megoldásaival lehet jellemezni, lásd Gaál and Schulte [1989] és Schulte [1989] dolgozatait. Ezek az eredmények felhasználhatóak – Kovács and Pethő [1990a]

– harmadfokú számtestekben definiálható számrendszerek összes lehetséges alapszáma meghatározásához. A számrendszereket Pethő [1989] egy olyan kódolási eljárás alapjának javasolta, amelyik esetleg nyilvános kulcsú is lehet.

Ezzel szemben a magasabb fokú számtestek feletti indexforma egyenletek közvetlenül nem vezetnek Thue egyenletekre, így a fenti gondolatfüzér rájuk nem alkalmazható.

A racionális számtest felett tekintett elliptikus görbéken elhelyezkedő egész koordinátájú pontok meghatározása bizonyos esetekben – Ellison és társai [1972], Steiner [1986], de Weger [1989] és Zagier [1987] – szintén harmad – illetve negyedfokú Thue egyenletre vezet.

Befejezésül a harmadik ok az algoritmus alkalmazásának korlátjára az, hogy elsősorban a kis fokszámú számtestekről rendelkezünk azokkal az ismeretekkel és adatokkal, amelyek az eljáráshoz szükségesek.

A 2.1. Algoritmus működéséről, hatékonyságáról a legátfogóbb ismeretünk harmadfokú totálisan valós számtestek feletti Thue egyenletek esetére vannak. A számításokat N. Schulte végezte el és szakdolgozatában [1989] írta le. A legjellemzőbb paraméterek változásait, ezen rész befejezéseként N. Schulte dolgozata nyomán, a hozzájárulásával reprodukáljuk. Látható, hogy a szükséges redukciós lépések száma sehol sem haladja meg az 5–öt és a befejezésül nyert korlát már olyan kicsi, hogy a megoldásokat addig a korlátig a következő részben ismertetendő lánctört algoritmussal már meg lehet határozni.

További példaként, az alábbiakban néhány negyedfokú Thue egyenlet megoldásának történetét ismertetjük. Az adatokat – a test egy egészbázisa, egy alapegységrendszere, Galois csoportja – Buchmann and Ford [1989] táblázatából vettük, a számításokat a KANT programcsomaggal végeztük.

Az egyenletek

(3.3.1.)  f(x, y) = x^{4} + ax^{3}y + bx^{2}y^{2} + cxy^{3} + y^{4} = ±1

alakúak. Az f(x, y) polinom egy gyökének Q –hoz való adjungálásával kapott test diszkriminánsát D, az f(x, 1) felbontási testének Galois csoportját G jelöli. A táblázatban S4 a negyedfokú szimmetrikus; D8 a negyedfokú diéder, és C4 a negyedrendű ciklikus csoportot jelöli. Az algoritmus 6. lépésében meghatározott N_{1} érték szerepel a következő oszlopban, míg ”új N_{1}” jelöli a redukciós algoritmus iterálása nyomán kapott korlátokat. Megjegyezzük, hogy N_{1} –et és az új korlátokat sem tüntettük fel minden lineáris formára külön–külön, hanem csak azok maximumát. Az utolsó oszlopban az algoritmus 8. lépésében kiszámított Y_{3} értéket adtuk meg.

sorszám  a  b  c  D  G  N_{1}  új N_{1}  Y_{3}
1  0  -4  -1  1957  S4  10^{33}  120 23 22  10^{28}
2  -2  -3  2  2624  D8  10^{33}  126  25  10^{37}
3  -1  -5  -1  4205  D8  10^{33}  131 23 20  10^{29}
4  -2  -3  4  4752  D8  10^{33}  123  23  10^{31}
5  -1  -13  1  5725  D8  10^{34}  120 23 20  10^{44}
6  0  -5  -2  5744  S4  10^{33}  129 25 21  10^{28}
7  -1  -14  -6  6125  C4  10^{34}  122 25 19  18 10^{40}

1. táblázat

A 2. táblázatban felsoroljuk az (1) egyenlet megoldásait (x, y, f(x, y)) számhármasokként a következőket figyelembe véve : az 1. táblázatban i. sorszámú polinomhoz tartozó megoldások a 2. táblázat i. sorában szerepelnek. Mivel világos, hogy (x, y) –nal együtt (−x, −y) is (1) megoldása, ezért csakis azokat tüntettük fel, ahol y ≥ 0. Végül a triviális (1, 0, 1) és (0, 1, 1) megoldások szintén nem szerepelnek a táblázatban.

sorszám megoldások 1 (2, 1, -1), (-1, 1, -1) 2 (-1, 1, -1), (1, 1, -1) 3 (-1, 1, -1) 4 (5, 2, 1), (-3, 2, 1), (1, 1, 1) 5 —— 6 (-2, 1, 1), (-1, 1, -1), (-3, 4, 1) 7 (-3, 1, 1)

2. táblázat

A harmadfokú Thue egyenletek megoldásairól leírt észrevételek, láthatóan, most is érvényben maradnak. Befejezésül megjegyezzük, hogy a 3.6. részben további példákat mutatunk olyan negyedfokú Thue

egyenletekre, amelyeket a 2.1. Algoritmus egy variánsával oldottunk meg.

3.4. Lánctört – redukciós algoritmus

Az előző szakaszokban leírtuk, hogy hogyan lehet a (3.1) megoldásaihoz tartozó kitevőket Baker típusú tétellel felülről korlátozni, majd ezt a korlátot numerikus diofantoszi módszerekkel redukálni. A redukció után azonban x és y – ra még mindig elég nagy felső korlátot nyerünk, amely alatt a tényleges megoldások meghatározása közvetlenül reménytelen.

Ezen szakaszban olyan módszert adunk meg, a szerző [1986b] és [1989a] dolgozatai felhasználásával, amellyel a közepes méretű 10^{2} − 10^{1000} megoldások meghatározhatóak és amely után a maradék tartomány már közvetlenül vizsgálható. A továbbiakban F (x, y), β^{(1)}, …, β^{(n)}, Y_{0}, Y_{1}c_{3}, c_{4} és c_{5} ugyanazokat jelölik, mint az 1.3. Lemmában. Emlékeztetünk arra, hogy β^{(1)}, …, β^{(s)} az f(x) valós gyökei, a többiek nem valósak.

Az 1. résztől eltérően célunk most olyan eljárást adni, amellyel az

(3.4.1.)  |F (x, y)| ≤ m, |y| ≤ y_{0}

egyenlőtlenségrendszer (x, y) ∈ Z^{2}, y ≠ 0, (x, y) = 1 megoldásait meg lehet határozni. Feltesszük természetesen, hogy m, y_{0} > 0.

3.4.1. Lánctört redukciós algoritmus Bemenet : y_{0}, m, Y_{1}, c_{3}, y_{0} > Y_{1}. (Az utóbbi két konstanst az 1.3. Lemmában

definiáltuk).

Kimenet : (1.) megoldásai a fenti megszorításokkal.

1. i ← 1,

2. y_{1} ← −∞, β ← β^{(i)}.

3. Határozzuk meg β lánctörtjegyeit és közelítő törtjeinek nevezőit az 1.1.3. algoritmus– sal, azaz β = [a_{0}, a_{1}, …, a_{b}, …] addig, amíg q_{b−1} > y_{0} teljesül.

4. A ← max_{1≤j≤b−1}{a_{i}}, y_{1} ← y_{0}, y_{0} ← [c_{3}(A + 2)]^{1/(k−2)}.

5. Ha y_{0} ≥ max{Y_{1}, y_{1}}, akkor határozzuk meg az |y| < max{y_{0}, Y_{1}} megoldásokat, majd goto 7.,

6. b ← az a legkisebb index, amelyre q_{b−1} > y_{0}, goto 4.,

7. i ← i + 1. Ha i > s, akkor stop, különben goto 2.

3.4.2. Tétel. A lánctört redukciós algoritmus helyesen működik.

Bizonyítás. Az 1.3. Lemma bizonyításából világos, hogy annak állításai igazak maradnak az (1.) egyenlőtlenség megoldásaira is. Tegyük fel, hogy |y| > Y_{1}, akkor az 1.3. Lemma (ii) szerint x/y a β^{(u)} közelítő törtje, mondjuk p_{v}/q_{v}. A {q_{v}} sorozat monoton növekvő és q_{v} = |y| ≤ y_{0} < q_{b−1}, így v < b − 1.

Másrészt (1.1.2.) és (1.5.) szerint

\frac{1}{(A + 2)y^{2}} ≤ \frac{1}{(a_{v+1} + 2)y^{2}} ≤ |β − \frac{x}{y}| ≤ c_{3}|y|^{−k},

melyből

|y| ≤ (c_{3}(A + 2))^{1/(k−2)}.

Ez bizonyítja, hogy a 4., lépés korrekt. A többi világos, így a tételt bebizonyítottuk.

A tétel alkalmazhatóságának az oka az, hogy egy valós szám közelítő törtjeinek nevezői exponenciálisan nőnek, ugyanakkor azt várhatjuk, hogy a lánctörtjegyek legfeljebb polinomiális sebességgel. Így ha y_{0} nagy, akkor a 4., – ben meghatározott új felső korlát |y| – re log y_{0} egy hatványa lesz.

Steiner [1986] dolgozatában a Thue egyenletek |y| < y_{0} feltételnek eleget tevő megoldásainak meghatározására az F (p_{0}, q_{0}), …, F (p_{v}, q_{v}) értékek kiszámítását használja, ahol p_{i}/q_{i}, i = 0, …, v az f(x) egy valós gyökének közelítő törtje. Ehhez képest az 1. Algoritmus lényegesen hatékonyabb, hiszen a redukció során elegendő csak a lánctörtjegyek ismerete, a közelítő törtek nevezőit közelítő pontossággal is számolhatjuk.

Ezen rész befejezéseként egy példán keresztül mutatjuk be a lánctört redukciós algoritmus hatékonyságát.

3.4.3. Tétel. A

(3.4.2.)  g(x, y) = x^{3} − 17xy^{2} + 13y^{3} = 1

diofantoszi egyenletnek három gyöke van – (1,0), (-11,-3), (5047,-1131) – az |y| < 6 · 10^{99} feltétel mellett.

Bizonyítás. A g(x) = x^{3} − 17x + 13 polinom diszkriminánsa 15089, így az 5.3. tétel szerint ha (x, y) ∈ Z^{2} olyan megoldása (2)–nek, amelyre y ≠ 0, akkor x/y a g(x) polinom valamelyik gyökének közelítő törtje. Ha α, β és γ jelöli g(x) gyökeit, azok első 200 lánctörtjegyét az alábbi táblázat tartalmazza:

α = [3; 1, 2, 69, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 8, 14, 1, 1, 1, 4, 1, 107, 25, 1, 30, 4, 5, 15, 5, 4, 4, 12, 1, 4, 13, 7, 5, 2, 19,

1, 1, 1, 5, 1, 3, 2, 2, 22, 1, 11, 1, 12, 10, 2, 43, 4, 1, 22, 2, 3, 1, 1, 2, 27, 2, 1, 21, 1, 27, 1, 2, 6, 1, 3, 3, 1, 2, 1, 1, 20, 12, 1, 2, 3, 19, 2, 12, 1, 3, 2, 1, 12, 3, 1, 6, 1, 57, 10, 3, 1, 2, 6, 6, 1, 4, 1, 104, 1, 14, 4, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 1, 286, 3, 1, 1, 15, 1, 3, 1, 4, 3, 30, 3, 2, 2, 3, 1, 1, 7, 5, 1, 2, 2, 1, 9, 6, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 3, 5, 4, 3, 1, 3, 3, 2, 1, 1, 6, 4, 1, 1, 1, 155, 2, 2, 12, 1, 11, 1, 1, 2, 10, 57, 1, 1, 13, 1, 3, 1, 1, 2, 5, 5, 5, 1, 2, 5, 2, 1, 23, 4, 2, 1, 2, 13, 7, 9]

β = [0; 1, 3, 1, 6, 16, 2, 2, 1, 2, 1, 22, 1, 1, 2, 4, 11, 3, 1, 25, 1, 3, 2, 4, 6, 3, 15, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 8, 1, 1, 2,

2, 1, 6, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 4, 2, 1, 2, 26, 1, 2, 17, 11, 2, 3, 69, 1, 12, 3, 1, 17, 3, 13, 2, 19, 1, 7, 1, 1, 1, 4, 1, 107, 4, 2, 1, 54, 1, 1, 6, 1, 3, 4, 13, 2, 2, 16, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 136, 1, 12, 1, 5, 1, 4, 2, 2, 190, 9, 1, 2, 4, 1, 2, 30, 1, 1, 6, 2, 1, 2, 1, 5, 23, 1, 3, 2, 1, 5, 1, 16, 1, 1, 2, 12, 3, 4, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 91, 1, 1, 4, 2, 4, 1, 4, 28, 4, 190, 10, 1, 11, 1, 10, 1, 2, 1, 10, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 5, 1, 2, 1, 4, 2, 387, 1, 3, 1, 8, 2, 1, 32, 2, 1, 4, 2, 1, 5, 1, 1, 1, 3, 165, 4, 1, 2, 2]

γ = [−5; 1, 1, 6, 6, 1, 1, 5, 1, 48337, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 5, 1, 30, 4, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 14, 27, 1, 6,

1, 6, 8, 5, 2, 5, 35, 1, 3, 3, 1, 1, 1, 4, 1, 5, 1, 1, 1, 5, 1, 4, 88, 4, 6, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 4, 4, 1, 1, 19, 2, 4, 10, 1, 3, 2, 6, 1, 3, 1, 9, 3, 1, 2, 1, 3, 3, 29, 6, 1, 2, 2, 10, 1, 3, 1, 2, 5, 4, 6, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 5, 1, 2, 10, 11, 1, 2, 3, 3, 3, 1, 2, 20, 1, 6, 1, 1, 1, 2, 1, 4, 3, 1, 3, 1, 4, 12, 1, 4, 1, 1, 4, 18, 1, 1, 4, 8, 1, 5, 2, 1, 4, 1, 3, 1, 2, 7, 5, 1, 1, 1, 1, 4, 10, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 4, 2, 31, 28, 2, 1, 1, 1, 2, 4, 3, 9, 5, 1, 3, 1, 1, 6, 1, 15, 3, 1, 1, 1, 19, 4, 7, 1, 1, 11, 1, 1].

Az első kilenc közelítő tört számlálója és nevezője az alábbiak szerint alakul.

n  0  1  2  3  4  5  6  7  8
α :  p_{n}  3  4  11  763  774  2311  3085  5396 19273
q_{n}  1  1  3  208  211  630  841  1471 5254
n  0  1  2  3  4  5  6  7  8
β :  p_{n}  0  1  3  4  27  436  899  2234 3133
q_{n}  1  1  4  5  34  549  1132  2813 3945
n  0  1  2  3  4  5  6  7  8
γ :  p_{n}  -5  -4  -9  -58  -357  -415  -772 -4275 -5047
q_{n}  1  1  2  13  80  93  173  958 1131

A megfelelő gyök alsó korlátját p_{8}/q_{8}, míg felső korlátját p_{7}/q_{7} szolgáltatja, ezek: 3.6682528 < α < 3.6682529; 0.7941698 < β < 0.7941699; −4.462422 < γ < −4.462421. Ezekből az értékekből kiszámítható, hogy c_{3} = 0.265. Kiszámítva α, β és γ közelítő törtjeinek nevezőit – esetleg csak azok közelítő értékét – láthatjuk, hogy q_{199} > 6 · 10^{99} = y_{0} teljesül mindhárom gyökre. A redukciós eljárás eredményét az alábbi táblázat mutatja, ahol yúj a lépés során kiszámított új felső korlátot jelenti

1.iteráció \{ \begin{matrix}& α  β  γ \\ b & 200  200  200 \\ A & 286  387  48337 \\ yúj & 76  103  12809 \end{matrix}

2.iteráció \{ \begin{matrix}b & 4  6  10 \\ A & 69  16  48337 \\ yúj & 18  4  12809 \end{matrix}

3.iteráció \{ \begin{matrix}b & 4  4 \\ A & 69  6 \\ yúj & 18  1 \end{matrix}

A 3. iterációban γ már nem vesz részt, mert a második után elértük az 5. lépésben előírt feltételt. A kezdeti megegyezésünk szerint (8) megoldásai csak a (±3, ±1), (±4, ±1), (±11, ±3), (0, ±1),

(±1, ±1), (±5047, ∓1131) és γ – nak 8–nál kisebb indexű közelítő törtjei. Az utóbbiakat ismét csak kiszűrhetjük az 1. Algoritmussal y_{0} = 1130 – at választva

1′iteráció \{ \begin{matrix}& γ \\ b & 10 \\ A & 6 \\ yúj & 1 \end{matrix}

A fentebb felsoroltakon kívűl tehát megoldásként szóba jöhet még (±5, ∓1) és (±4, ∓1). Kiszámítva g(x, y) értékét ezeken a helyeken kapjuk a tétel állítását, amennyiben y ≠ 0. Ha y = 0, akkor abból nyilvánvalóan x = 1 következik.

3.5. Thue egyenletek harmadfokú totálisan valós számtestek felett

Ebben a részben f(x, y) végig egy harmadfokú, egész együtthatós irreducibilis formát jelöl, azaz f(x, y) = ax^{3} + bx^{2}y + cxy^{2} + dy^{3}. Az f diszkriminánsát jelölje D_{f} = b^{2}c^{2} − 4ac^{3} − 4b^{3}d + 18abcd − 27a^{2}d^{2} és N_{f} az

(3.5.1.)  f(x, y) = 1

diofantoszi egyenlet megoldásainak számát. Egy formát reverzibilisnek nevezünk, ha a = d = 1. Két forma f_{1}, f_{2} ∈ Z[x, y] ekvivalens jele f_{1}, ∼ f_{2}, ha vannak olyan a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} egész számok, amelyekre

a_{1}a_{4} − a_{2}a_{3} = ±1 és
f_{2}(x, y) = f_{1}(a_{1}x + a_{2}y, a_{3}x + a_{4}y)

teljesül. Könnyen belátható, hogy ha f_{1} ∼ f_{2} akkor D_{f_{1}} = D_{f_{2}} és N_{f_{1}} = N_{f_{2}}.

Legyen α az f(x, 1) polinom egy gyöke és K = Q(α). Ha D_{f} < 0, akkor K –nak egy valós és két nem - valós, míg D > 0 esetén három valós izomorfizmusa van C –ben. Az első esetben K egységcsoportjának rangja egy. Ezt a tényt kihasználva Delone [1930] és Nagell [1928] bebizonyították a következő

3.5.1. Tétel. A fenti jelölésekkel, ha D_{f} < 0, akkor (1) megoldásainak számára teljesül

N_{f} = 0, 1, 2, ha f nem ekvivalens egy reverzibilis formával N_{f} = 2, 3, ha f ekvivalens egy reverzibilis formával N_{f} = 4, ha D_{f} = −44 vagy − 31 N_{f} = 5, ha D_{f} = −23.

Továbbá végtelen sok olyan reverzibilis forma van, amelyre N_{f} = 2 és 3.

Ha D_{f} > 0, akkor nincs ilyen pontos ismeretünk (1) megoldásai számáról. Evertse [1983a], [1983b] bebizonyította, hogy N_{f} ≤ 12. Feltéve, hogy D_{f} elég nagy A.E. Gel’man 1949–ben megmutatta azt is, hogy N_{f} ≤ 10, lásd Delone and Faddeev [1964] §70.

A 4.–ben leírt lánctört – redukciós algoritmust hatékonyan lehet alkalmazni harmadfokú totálisan valós Thue egyenletek kis megoldásainak megkeresésére. Itt ”kis” megoldás alatt olyan megoldásokat értünk, amelyekre |y| ≤ 10^{40}. A módszert és az eredményeket Pethő [1989a] dolgozata alapján tárgyaljuk.

Lippok [1989] szakdolgozatában megismételte számításaimat, az általam vizsgáltnál nagyobb tartományt tekintve. Számításai sejtéseimet egy kivételével megerősítette.

Először harmadfokú pozitív diszkriminánsú formák egy parametrizációját adjuk meg.

3.5.2. Állítás. Legyen f(x, y) ∈ Z[x, y] egy harmadfokú forma, amelyre D_{f} > 0. Ha (1) megoldható akkor van olyan f_{1}(x, y) = x^{3} + bx^{2}y + cxy^{2} + dy^{3} ∈ Z[x, y] forma, amelyre f_{1} ∼ f; b = 0 vagy 1, c < 0 és

(3.5.2.)  0 < d < [\frac{2}{3}|c|\sqrt{\frac{|c|}{3}}] , ha b = 0

(3.5.3.)  [−\frac{2 − 9c + (2 − 6c)\sqrt{1 − 3c}}{27}] < d < [\frac{(2 − 6c)\sqrt{1 − 3c} − 2 + 9c}{27}] , ha b = 1.

Bizonyítás. Legyen (x, y) = (α, β) ∈ Z^{2} egy megoldása (1)–nek. Akkor (α, β) = 1 és így vannak olyan γ, δ egészek, hogy αγ − βδ = 1, amelyből

f_{2}(x, y) = f(αx + δy, βx + γy) = x^{3} + b_{1}x^{2}y + c_{1}xy^{2} + d_{1}y^{3} ∈ Z[x, y].

Legyenek b_{2} és q olyan egészek, amelyekre b_{1} = 3q + b_{2} és |b_{2}| ≤ 1, valamint legyen f_{1}(x, y) = f_{2}(x − εqy, εy), ahol

ε = \{ \begin{matrix}b_{2}, & ha b_{2} ≠ 0 \\ 1, & ha b_{2} = 0 és f_{2}(−q, 1) > 0 \\ −1, & különben. \end{matrix}

Ilyen választás mellett f_{1}(x, y) = x^{3} + bx^{2}y + cxy^{2} + dy^{3} együtthatóira teljesül, hogy b = ε(b_{1} − 3q) = εb_{2} = 1, ha |b_{2}| = 1 és 0 különben. Továbbá d = ε^{3}f_{2}(−q, 1) > 0, ha b_{2} = 0.

A feltételek szerint az f_{1}(x) = f_{1}(x, 1) polinomnak három valós gyöke van, ezért az f′_{1}(x) = 3x^{2} +2bx+c polinomnak kettő ez viszont csak akkor lehet, ha c ≤ 0.

Tegyük fel, hogy b = 0. Akkor az előbbi miatt c ≠ 0 és f′_{1}(x) két gyöke ±\sqrt{−\frac{c}{3}}. Mivel f_{1}(0) > 0, így f_{1} (\sqrt{−\frac{c}{3}}) = \frac{2c}{3} \sqrt{−\frac{c}{3}} + d < 0, amelyik bizonyítja (2)–t.

Legyen végül b = 1. Akkor f′_{1}(x) gyökei α = \frac{−1+\sqrt{1−3c}}{3} és β = \frac{−1−\sqrt{1−3c}}{3}. Ebből rögtön következik, hogy c ≠ 0. Egyszerű számítással belátható, hogy

\begin{matrix}f_{1}(β) = \frac{2 − 9c + (2 − 6c)\sqrt{1 − 3c}}{27} + d > 0 és \\ f_{1}(α) = \frac{2 − 9c − (2 − 6c)\sqrt{1 − 3c}}{27} + d < 0, \end{matrix}

amelyik bizonyítja (3)–t és így az állítást is.

Most felhasználva a harmadfokú polinomok speciális tuladonságait egy az 1.3. Lemmánál erősebb állítást bizonyítunk.

3.5.3. Tétel. Legyen f(x, y) = x^{3} + bx^{2}y + cxy^{2} + dy^{3} ∈ Z[x, y], amelyre D_{f} > 0 és jelölje α_{1}, α_{2}, α_{3} az f(x, 1) gyökeit. Legyen továbbá (x, y) ∈ Z^{2} az (1) olyan megoldása, amelyre y ≠ 0 és |x−α_{1}y| ≤ |x−α_{i}y| (i = 1, 2, 3). Ha D_{f} > 229, akkor \frac{x}{y} az α_{1} közelítő törtje.

Bizonyítás. Legyen L_{i} = α_{i} − \frac{x}{y} (i = 1, 2, 3), akkor feltehető, hogy |L_{1}| ≤ |L_{2}| ≤ |L_{3}|. Ilyen jelölésekkel

(3.5.4.)  D_{f} = ∏_{1≤i<j≤3}(α_{i} − α_{j})^{2} = L_{3}^{4}L_{2}^{2} (1 − \frac{L_{2}}{L_{3}} )^{2} (1 − \frac{L_{1}}{L_{3}} )^{2} (1 − \frac{L_{1}}{L_{2}} )^{2} .

A g(u, v) = (1 − u)(1 − v)(1 − \frac{v}{u}) függvénynek a −1 ≤ u, v ≤ 1, |\frac{v}{u} | ≤ 1 tartományon a szuprémuma 2. Ha u ≠ 0, akkor g(u, v) –nek léteznek a parciális deriváltjai. Az adott tartomány belsejében ott lehet g(u, v) –nek szélsőértéke, ahol az első parciális deriváltak 0–val egyenlőek, azaz a következő egyenletrendszer megoldásai.

(3.5.5.)  \{ \begin{matrix}\frac{∂g}{∂u} = −1 + v + \frac{v}{u^{2}} (1 − v) & = 0 \\ \frac{∂g}{∂v} = \frac{(u−1)(u+1−2v)}{u} & = 0 \end{matrix}

a tartomány belselyében (5)-nek egyetlen megoldása van, mégpedig (u, v) = (−\frac{1}{3}, \frac{1}{3}) , ahol g(u, v) = \frac{16}{9}, amelyik lokális maximum.

Rögzített v mellett lim_{n→0} g(u, v) = 1 − v^{2} ≤ 1. A tartomány határán a helyzet a következő:

u = 1, akkor g(u, v) = 0
u = −1, akkor g(u, v) = 2(1 − v^{2}) < 2
u = v, akkor g(u, v) = 0
u = −v, akkor g(u, v) = 2(1 − u^{2}) < 2,

tehát g(u, v) szuprémuma valóban 2.

Felhasználva ezt az észrevételt (4)-böl kapjuk, hogy

D_{f} ≤ 4L_{3}^{4}L_{2}^{2}.

Szorozzuk meg ezt az egyenlőtlenséget L_{2}^{2}L_{1}^{4} – el majd használjuk fel, hogy |L_{2}| ≥ |L_{1}| és |L_{1}L_{2}L_{3}| = 1/|y|^{3} akkor azt kapjuk, hogy

|L_{1}| ≤ (\frac{4}{D_{f}} )^{1/6} \frac{1}{y^{2}} .

Ha D_{f} ≥ 256, akkor a jobb oldal kisebb, mint 1/2y^{2} így az 1.1.2. tétel szerint \frac{x}{y} az α_{1} közelítő törtje. A 229 alsó korlát abból következik, hogy nincs olyan harmadfokú forma, amelynek a diszkriminánsa a

(229, 256) intervallumba esik.

Harmadfokú, 1 főegyütthatós, pozitív diszkriminánsú polinomok gyökei lánctörtelőállításának kiszámítására MUSIMP programnyelven írtam programot. Ezzel az alábbiakban ismertetendő polinomok gyökei első 200 részleges hányadosát számoltam ki. Triviális becslés mutatja, hogy a 199 – dik közelítö tört nevezője mindig nagyobb, mint 10^{41}. A gyakorlatban ez az érték 10^{100} körül alakult.

Figyelembe véve azt, hogy a számításaink során talált legnagyobb megoldások (39947, 3758) illetve (39486, 15095), melyek az x^{3} + x^{2}y − 124xy^{2} + 4y^{3} illetve az x^{3} + x^{2}y − 110xy^{2} + 263y^{3} polinomokhoz tartoznak, valószínű, hogy a vizsgált esetekben (1)–nek a megtaláltakon kívül nincs más megoldása.

A 3.4. pontban leírt lánctört redukciós algoritmust Gaál István implementálta TURBO PASCAL nyelven.

Számításaimat a következő egyenletekre végeztem el

(3.5.6)  x^{3} − cxy^{2} + dy^{3} = 1, 0 < c ≤ 30 és 46 ≤ c ≤ 50

(3.5.7)  x^{3} + x^{2}y − cxy^{2} + dy^{3} = 1, 0 < c ≤ 20 és c = 50

(3.5.8)  x^{3} − ax^{2}y − bxy^{2} + y^{3} = 1, 1 ≤ a ≤ 60, 0 ≤ b ≤ a.

Az első két esetben d értéke végigfutott a (2) és (3) által definiált intervallumokon. F. Lippok [1989] számításaimat kiterjesztette (6) és (7)–re a 0 < c ≤ 125 intervallumra, d értékeit az előzőleg leírtnak megfelelően választva. Igy 81821 egyenlet kis megoldásait határozta meg. Rögzített f polinom esetén a számítások során kapott megoldásszámot N′_{f} –vel fogjuk jelölni.

Észrevételeinket a következő sejtésben foglaljuk össze, amelynek szerkezete analóg a negatív diszkriminánsú esetben Delone és Nagell által bizonyított tétellel.

Sejtés. Legyen f egy pozotív diszkriminánsú harmadfokú forma, akkor

N_{f} = 0, 1, 2, 3, 4, ha f nem ekvivalens egy reverzibilis formával N_{f} = 2, 3, 4, 5, ha f ekvivalens egy reverzibilis formával N_{f} = 6, ha D_{f} = 81, 229, 257, 361 N_{f} = 7, 8 nincs ilyen forma N_{f} = 9, ha D_{f} = 49.

A sejtés numerikus evidenciáját a fent leírtakon kívűl Gaál és Schulte [1989] valamint Schulte [1989] számításai is alátámasztják, akik meghatározták (1) összes megoldását D_{f} ≤ 50.000 –re.

Azokat az ismert formákat, amelyekre 6 ≤ N_{f} ≤ 9 az alábbi táblázat tartalmazza. Közöljük itt azokat a forrásokat is, ahol a megfelelő egyenletet megoldották.

f(x, y) D_{f} N_{f}  Hivatkozás
x^{3} + x^{2}y − 2xy^{2} − y^{3} 49 9 Baulin [1960], Pethő und Schulenberg [1987], Steiner [1986]
x^{3} − 3xy^{2} + y^{3} 81 6  Ljunggren [1943], Steiner [1986], Tzanakis [1984]

x^{3} − 4xy^{2} + y^{3} 229 6  Bremner [1985], Pethő und Schulenberg [1987]
x^{3} − 5xy^{2} + 3y^{3} 257 6  Gaál and Schulte [1989]
x^{3} − 2x^{2}y − 5xy^{2} − y^{3} 361 6  Gaál and Schulte [1989], Avanesov [1969].

Most azokat az eredményeket ismertetjük, amelyek a sejtés elméleti megalapozottságát bizonyítják.

3.5.4. Állítás. Az f(x, y) = ax^{3}+bx^{2}y+cxy^{2}+dy^{3} ∈ Z[x, y] forma ekvivalens egy reverzibilis formával akkor és csak akkor, ha (1) –nek van olyan (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) ∈ Z^{2} megoldása, amelyre |x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1}| = 1.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy (1)–nek van az állításban megfogalmazott tulajdonságú két megoldása. Legyen

x = x_{1}X + x_{2}Y
y = y_{1}X + y_{2}Y,

akkor

f(x, y) = f(x_{1}X + x_{2}Y, y_{1}X + y_{2}Y) = f(x_{1}, y_{1})X^{3} + b_{1}X^{2}Y + c_{1}XY^{2} + f(x_{1}, y_{2})Y^{3},

ahol b_{1}, c_{1} ∈ Z. Tehát f(x, y) valóban ekvivalens egy reverzibilis formával. A megfordítás nyilvánvaló.

Az alábbi eredményeket mind a következő fejezetben ismertetendő módszerrel nyerték. Thomas [1989] megmutatta, hogy ha n ≥ 4, 63 · 10^{29}, akkor az

x^{3} − n^{2}x^{2}y + ((n − 1)^{3} + n^{2} − 2)xy^{2} + y^{3} = 1

egyenletnek csak a triviális (1,0), (0,1) megoldásai vannak. Ugyancsak ő [1990] bebizonyította, hogy ha n ≥ 1, 365 · 10^{7}, akkor az

x^{3} + (n − 1)x^{2}y − (n − 2)xy^{2} + y^{3} = 1

egyenletnek csak (1,0), (0,1) és (-1,-1) a megoldásai. Ezt felhasználva Mignotte [1990] megmutatta azt is, hogy az előbbi egyenletnek n > 1 –re nincs a triviálisaktól különböző megoldása.

Ljunggren [1943] rámutatott arra, hogy ha k ≥ 2, akkor az

(3.5.9.)  f_{k}(x, y) = x^{3} − (k + 1)x^{2}y + kxy^{2} + y^{3} = 1

egyenletnek legalább 5 megoldása van, mégpedig (1,0), (1,1), (1, - (k+1)), (0,1) és (k,1). Mignotte és Tzanakis [1989] belátták, hogy ha k ≥ 4, 02 · 10^{32}, akkor (9)–nek nincs több megoldása. Egy másik végtelen polinomosztály, amelyre (1)–nek legalább 5 megoldása van a következőképpen definiálható. Legyen g ≥ 2 és

f_{g}(x, y) = x^{3} − g^{2}x^{2}y + y^{3}.

A triviális megoldások itt: (1, 0), (1, g), (1, −g), (0, 1), (g^{2}, 1).

3.5.5. Állítás. Nem léteznek olyan k, g ≥ 2 egész számok, amelyre f_{g} ∼ f_{k} teljesülne.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy f_{g} ∼ f_{k}, akkor D_{f_{g}} = D_{f_{k}}. Egyszerűen ellenőrizhető, hogy D_{f_{g}} = 4g^{6}−27 és D_{f_{k}} = k^{4} + 2k^{3} − 5k^{2} − 6k − 23 = (k^{2} + k − 3)^{2} − 32 = ℓ^{2} − 32. Így a következő egyenletnek kell teljesülnie

ℓ^{2} − 32 = 4g^{6} − 27, azaz
(ℓ − 2g^{3})(ℓ + 2g^{3}) = 5.

Ez azonban azt jelenti, hogy |g| = 1, azaz D_{f_{g}} = −23, amely esetet kizártuk vizsgálódásaink köréből.

Az 5. Állítás szerint tehát legalább két végtelen polinomcsalád van, amelyre N_{f} ≥ 5. Kérdéses, hogy létezik – e a fentieken kívűl további végtelen polinomcsalád — esetleg több is — amelynek tagjaira (1) megoldásainak száma legalább 5. Számításaink során találtunk öt további ilyen tulajdonságú polinomot. Ezek (8) típusú alakját adjuk meg a nem–triviális megoldásokkal együtt. (A triviális megoldások (1, 0), (0, 1).)

f együtthatói  D_{f}  megoldások

a b

1  3  148  (3,-2); (-14,-45); (-2,-1)
0  7 1345  (1,7); (-19,7); (18,7)
0  5  473  (7,-3); (1,5); (-2-1)
8 20 62501 (-2,1); (-351,172); (10,1)
40 18 810661 (1,-2); (364,9); (1,20).

Irreverzibilis formákkal kapcsolatban megemlítjük Lippok [1989] következő érdekes tételét. Ebből következik, hogy az [1989], 7.b.,–ben megfogalmazott észrevételen általában nem teljesül.

3.5.6. Tétel. Legyen u ∈ Z,

c = −11464 − 3750u − 343u^{2}
d = −6551 − 82392u − 26411u^{2} − 2058u^{3}

és

f(x, y) = x^{3} + x^{2}y + cxy^{2} + dy^{3}.

Akkor, ha u ≡ 2 (mod 7) úgy f(x, y) nem ekvivalens reverzibilis formával és (1) –nek legalább négy megoldása van, mégpedig (1, 0), (−147u − 748, −7), (98u + 751, −7) és (49u + 4, −7).

Bizonyítás. Az állítás második része behelyettesítéssel könnyen ellenőrizhető. Ugyancsak ellenőrizhető, hogy ha u ≡ 2 mod 7, akkor D_{f} ≡ 3 (mod 7).

Ha f ∼ f_{1} teljesülne valamely reverzibilis f_{1} = x^{3} + b_{1}x^{2}y + c_{1}xy^{2} + y^{3} polinommal, akkor ebből

(2.6.10.)  D_{f} = D_{f_{1}} = b_{1}^{2}c_{1}^{2} − 4c_{1}^{3} − 4b_{1}^{3} + 18b_{1}c_{1} − 27 ≡ 3 (mod 7)

következne.

Tegyük fel először, hogy c_{1} ≡ 0 (mod 7), akkor (10)–ből −4b_{1}^{3} ≡ 30 ≡ 16 (mod 7), amelyből b_{1}^{3} ≡ 3 (mod 7), következne, ami természetesen lehetetlen. Szimmetriaokok miatt (10) b_{1} ≡ 0 (mod 7) mellett sem állhat fenn.

A továbbiakban tehát feltehető, hogy b_{1}, c_{1} ≢ 0 (mod 7). Ekkor (10)–ből

(b_{1}c_{1} + 2)^{2} − 4(b_{1}^{3} + c_{1}^{3}) ≡ −1(mod 7).

Mivel b_{1}^{3} + c_{1}^{3} ≡ 0, 2, −2, (mod 7) így, az utolsó kongruenciából

(b_{1}c_{1} + 2)^{2} ≡ −1, 0, 5 (mod 7),

amely lehetőségek közül csak a középső teljesedhet. Így

b_{1}^{3} ≡ c_{1}^{3} ≡ 1 (mod 7) és
b_{1}c_{1} ≡ 5 (mod 7),

ami lehetetlen. Ezzel az első állítást is bebizonyítottuk.

3.6. Negyedfokú parametrizált Thue egyenletcsaládok

Az előző részben láttuk, hogy harmadfokú Thue egyenletekről erős állítások ismertek vagy pedig numerikus számítások alapján erős sejtéseket lehet megfogalmazni. A helyzet egészen más a negyedfokú Thue egyenletekkel.

Legyen F (x, y) = x^{4} +a_{1}x^{3}y +a_{2}x^{2}y^{2} +a_{3}xy^{3} +a_{4}y^{4} ∈ Z[x, y] irreducibilis polinom és legyen K = Q(∂), ahol ∂ az F (x, 1) valamely gyökét jelöli. Ebben a részben az

(3.6.1.)  F (x, y) = ±1

egyenletet fogjuk vizsgálni. A 3.1. részben bemutatott általános eredményektől eltekintve nagyon kevés ismert (1) megoldásairól. Ljunggren [1944] megmutatta, hogy ha a_{1} = a_{3}, a_{4} = 1 és K egységrangja 2 valamint a_{2} ≠ 2|a_{1}| − 3, akkor (1)–nek legfeljebb 8, ha viszont a_{2} = 2|a_{1}| − 3, akkor legfeljebb 10 megoldása van. Nagell [1965], [1968] azt bizonyította, hogy ha a_{3} = 1 és K egységrangja 1, akkor (1)–nek legfeljebb 8 megoldása lehet. Ekvivalenciától eltekintve két polinom létezik, amelyre 8 megoldás van és végtelen sok, amelyre 6. Stroeker [1989] egy egységrangú K test mellett sok polinomról meg tudta mutatni, hogy (1)–nek minden megoldására xy = 0 teljesül. Stroeker és Tzanakis [1988] Skolem p–adikus módszerét alkalmazta 3 egységrangú egyenletek megoldására. Pethő und Schulenberg [1987], Steiner [1986] és Tzanakis and de Weger [1989] a 3.2. részben ismertetett módszert alkalmazták néhány 3 egységrangú egyenlet megoldására.

Thomas [1989], [1990] A. Baker típusú alsó korlátok alkalmazásával harmadfokú, parametrizált Thue egyenletcsaládok összes megoldását meghatározta. [1990]–es munkámban megmutattam, hogy módszere negyedfokú, három egységrangú egyenletcsaládokra is sikerrel alkalmazható. Most ezeket az eredményeket ismertetem.

Legyen a ∈ Z és

f_{a}(x, y) = x^{4} − ax^{3}y − x^{2}y^{2} + axy^{3} + y^{4} = (x − y)x(x + y)(x − ay) + y^{4}

valamint

g_{a}(x, y) = x^{4} − ax^{3}y − 3x^{2}y^{2} + axy^{3} + y^{4}.

A definícióból nyilvánvaló, hogy f_{a}(x, y) = f_{−a}(y, x) és g_{a}(x, y) = g_{−a}(y, x), így a továbbiakban feltehető, hogy a ≥ 0. Továbbá, ha (1)–nek F = f_{a} vagy g_{a} választás mellett (x, y) megoldása, akkor (−x, −y) is az, ezért elegendő csak az y ≥ 0 feltételnek eleget tevő megoldásokat felsorolni.

Könnyen ellenőrizhető, hogy az

(3.6.2.)  f_{a}(x, y) = m

egyenletnek m = 1 –re a (0,1), (1,0), (1,1), (-1,1), (a,1), (-1,a) párok megoldásai, ezeket triviálisnak nevezzük. (2)–nek a = 4 –re vannak nem triviális megoldásai is, mégpedig (8,7) és (-7,8).

Ennek a résznek a fő eredménye a 3.6.1. Tétel. Legyen |a| ≥ 3.

(i) A (2) egyenletnek m = −1 –re nincs megoldása.

(ii) Ha 3 ≤ a ≤ 100 vagy a > 9.9 · 10^{27}, akkor (2) –nek m = 1 –re csak triviális megoldásai vannak, kivéve az a = 4 esetet, amikor is az előbb megadott további négy megoldása van.

Hasonlóképpen, egyszerűen ellenőrizhető, hogy a

(3.6.3.)  g_{a}(x, y) = ±1

egyenletnek (0,1), (1,0), (1,1) és (-1,1) triviális megoldásai. Ha a = 1, akkor vannak további megoldásai is, mégpedig (2,1) és (-1,2).

Az 1. tételhez analóg módon bizonyítható, de a bizonyítást terjedelmi okok miatt nem közöljük az alábbi állítás

3.6.2. Tétel. Ha 0 < a ≤ 100 vagy a > 9.9 · 10^{27}, akkor (3) –nak csak triviális megoldásai vannak, kivéve az a = 1 esetet, amikor is az előbb felsorolt további négy megoldása van.

A bizonyítás során megmutatjuk, hogy f_{a} és g_{a} egységrangja 3. Összehasonlítva az 1. és 2. tételt Ljunggren és Nagell korábban idézett eredményeivel úgy tűnik, hogy a harmadfokú egyenletekhez hasonlóan negyedfokú egyenletek megoldásszámára is befolyással van az egyenlet egységrangja. Erről az összefüggésről azonban ma még nem tudunk közelebbit mondani.

Legyenek a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} ∈ Z és

f(x, y) = (x − a_{1}y)(x − a_{2}y)(x − a_{3}y)(x − a_{4}y) + y^{4}.

Akkor az (1) egyenletnek ezzel az f(x, y) polinommal legalább 10 megoldása van, mégpedig az (a_{1}, ±1), (a_{2}, ±1), (a_{3}, ±1), (a_{4}, ±1) és (±1, 0). Ezt a csaknem triviális korlátot az 1. tétel szerint 12–re növelhetjük. Az f_{4}(x, y) = 1 egyenlet a maga 16 megoldásával egyedi esetnek tűnik.

f_{4} és a hozzátartozó test diszkriminánsa is 10512, így 55–dik Buchmann and Ford [1989] táblázatában. g_{1} diszkriminánsa 725, így az a legkisebb diszkriminánsú totálisan valós testhez tartozik. A 2. tétel szerint (3)–nak a = 1 mellett 12 megoldása van. Negyedfokú Thue egyenleteknek tehát biztosan nem a legkisebb diszkriminánsú esetben van a legtöbb megoldásuk, ellentétben a 3.5. részben a harmadfokú esetről leírtakkal.

Az 1. és 2. tétel egy érdekes alkalmazása a következő. Legyen η valós, másodfokú egység, melynek a konjugáltját η′ jelöli. Legyen továbbá

(3.6.4.)  R_{n} = \frac{η^{n} − η^{′n}}{η − η′}

minden n ∈ Z –re. Az 1.4.1. tétel következtében R_{n} egy másodrendű lineáris rekurzív sorozat Z felett, mely eleget tesz az

R_{n+1} = (η + η′)R_{n} − (ηη′)R_{n−1}

azonosságnak. Ekkor igaz a

3.6.3. Tétel. Tegyük fel, hogy 0 < |η + η′| ≤ 100 vagy |η + η′| > 9.9 · 10^{27} és
(3.6.5.)  4u^{2} + v^{2} = z^{2},

ahol (u, v) = (R_{n}, R_{n+1}) vagy (R_{n+1}, R_{n}) és z ∈ Z. Akkor n = 0, kivéve ha (i) |η + η′| = 4, ηη′ = 1, n = 4, (u, v) = (56, 15) és n = −5, (u, v) = (−56, −15) vagy pedig (ii) |η + η′| = 1, ηη′ = −1, n = 3, (u, v) = (2, 3) és n = −4, (u, v) = (−2, −3).

Az 1. (és természetesen a 2.) tétel bizonyításának gondolatmenete az 1.4. tétel bizonyításáét követi azzal a különbséggel, hogy most a becsléseket az a és ezzel szoros összefüggésben levő paraméterekkel fogjuk megadni. Ezzel válik lehetségessé annak bizonyítása, hogy (2)–nek (illetve (3)–nak) elég nagy a –ra nincs triviálistól különböző megoldása.

Legyen a, b ∈ Z és f_{a,b}(x) = x^{4} − ax^{3} + bx^{2} + ax + 1. Akkor igaz

3.6.4. Lemma. Legyen φ az f_{a,b}(x) egy gyöke és σ : Q(φ) → Q(φ) a σ(φ) = −\frac{1}{φ} által definiált leképezés. Akkor σ a Q(φ) test és a Z[φ] rend automorfizmusa, továbbá a Q(φ) test σ –hoz tartozó maximális invariáns részteste Q(φ − \frac{1}{φ}).

Bizonyítás. Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy −\frac{1}{φ} is gyöke f_{a,b}(x) –nek, így az első állítás igaz. Mivel

−\frac{1}{φ} = φ^{3} − aφ^{2} + bφ + a ∈ Z[φ],

így a második állítás is igaz.

Ha φ = 1, akkor σ rendje egy és Q(φ) = Q(φ − \frac{1}{φ}) = Q. Különben σ rendje kettő és így Q(φ) foka a σ –hoz tartozó maximális invariáns résztest felett szintén kettő. Így elég megmutatni, hogy [Q(φ) : Q(η)] = 2, ahol 0 ≠ η = φ − \frac{1}{φ}. Ez ekvivalens azzal, hogy φ ∉ Q(η).

Mivel

f_{a,b}(x) = x^{2} ((x − \frac{1}{x})^{2} − a (x − \frac{1}{x}) + b + 2) ,

így η az y^{2} − ay + (b + 2) polinom gyöke. Ha η ∈ Q, akkor egész szám. A

φ^{2} − ηφ − 1 = 0

egyenletből következik, hogy φ = ^{\frac{η+\sqrt{η^{2}+4}}{2}}. Ha tehát 0 ≠ η ∈ Z, akkor \sqrt{η^{2} + 4} ∉ Z és ebben az esetben a bizonyítással készen vagyunk.

Tegyük fel tehát, hogy [Q(η) : Q] = 2 és φ ∈ Q(η). Akkor van olyan u, v ∈ Q, hogy φ = u + vη. Behelyettesítve ezt a φ –t definiáló polinomba a következő egyenletrendszert kapjuk

(3.6.6.)  u^{2} − 1 − v(v − 1)(b + 2) = 0
(3.6.7.)  u(2v − 1) = −av(v − 1).

Legyen u = \frac{u_{1}}{u_{2}} , v = \frac{v_{1}}{v_{2}} , ahol u_{1}, u_{2}, v_{1}, v_{2} ∈ Z és (u_{1}, u_{2}) = (v_{1}, v_{2}) = 1. Ezekkel a jelölésekkel (7)–ből következik, hogy

\frac{v_{1}^{2}}{u_{2}} u_{1}(2v_{1} − v_{2}) = −av_{1}(v_{1} − v_{2}),

ami maga után vonja, hogy v_{1}(v_{1} − v_{2})|u_{1}. Ebből és (6)–ból következik, hogy v_{1}(v_{1} − v_{2})|v_{2}^{2}, ami lehetetlen. Ezzel a lemmát teljesen bebizonyítottuk.

A definícióból nyilvánvaló, hogy f_{a} = f_{a,−1} és g_{a} = f_{a,−3}. Legyen a ≥ 0 és jelölje α az f_{a} legnagyobb gyökét, valamint legyen ε = α − \frac{1}{α}. Akkor ε az y^{2} − ay + 1 polinom gyöke, melynek a másik gyökét jelölje ε′, így

(3.6.8.)  ε = \frac{a + \sqrt{a^{2} − 4}}{2} és α = \frac{ε + \sqrt{ε^{2} + 4}}{2} > ε,

(3.6.9.)  ε′ = \frac{a − \sqrt{a^{2} − 4}}{2} és β = \frac{ε′ + \sqrt{ε^{′2} + 4}}{2} < 1 + ε′.

Az f_{a} gyökei tehát α, −\frac{1}{α}, β, −\frac{1}{β} és nyilvánvaló, hogy ha a ≥ 3, akkor α ∈ (a − 1, a), β ∈ (1, 2) és −\frac{1}{α}, −\frac{1}{β} ∈ (−1, 0).

A g_{a} gyökei hasonló megfontolások alapján α_{1}, −\frac{1}{α_{1}} , β_{1}, −\frac{1}{β_{1}} , ahol

ε_{1} = \frac{a + \sqrt{a^{2} + 4}}{2} és α_{1} = \frac{ε_{1} + \sqrt{ε_{1}^{2} + 4}}{2},

ε′ = \frac{a − \sqrt{a^{2} + 4}}{2} és β_{1} = \frac{ε′_{1} + \sqrt{ε_{1}^{′2} + 4}}{2}.

Ha a > 1, akkor α_{1} ∈ (a, a + 1), β_{1} ∈ (0, 1), −\frac{1}{α_{1}} ∈ (−1, 0) és −\frac{1}{β_{1}} ∈ (−2, −1), míg α_{1} ∈ (2, 3), amennyiben a = 1.

A következő lépésben Z[φ] egy alapegységrendszerét keressük meg, ahol φ az f_{a}(x, 1) vagy g_{a}(x, 1) egy gyökét jelöli.

3.6.5. Tétel. Jelölje φ az f_{a}(x, 1) polinom valamely gyökét. Ha a = 3, akkor φ − 1, φ, (φ − \frac{1}{φ})^{1/2} ha pedig a > 3, akkor φ − 1, φ, φ + 1 a Z[φ] rend egy alapegységrendszere.

3.6.6. Tétel. Jelölje ψ az g_{a}(x, 1) polinom valamely gyökét és legyen a > 0. Akkor ψ − 1, ψ, ψ + 1, a Z[ψ] rend egy alapegységrendszere.

Megjegyzés. A < φ − 1, φ, φ + 1 > illetve a < ψ − 1, ψ, ψ + 1 > csoport általában nem egyezik meg a Q(φ) illetve Q(ψ) maximális rendje egységcsoportjának torziómentes részével. Példaként szolgál a = 6 az első, míg a = 4 a második esetben.

Csak az 5. tétel bizonyítását részletezzük, mert a 6.–é lényegében megegyezik az 5. tételével. Előbb azonban két további lemmát bizonyítunk.

3.6.7. Lemma. Az ε > 1 valós, másodfokú egység alapegység Z[ε] –ban, kivéve, ha ε = \frac{3+\sqrt{5}}{2}, amikor

is ε = 1 + \frac{1+\sqrt{5}}{2} = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{2} .

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz, vagyis van olyan ω ∈ Z[ε] és k > 1 egész, amelyekre

(3.6.10.)  ε = ω^{k}.

Felcserélve, ha szükséges ω –t, −ω –val feltehető, hogy ω > 1.

Minden n ≥ 0 egészhez vannak olyan x_{n}, y_{n} egész számok, hogy

(3.6.11.)  ω^{n} = x_{n} + y_{n}ε.

Jelölje γ′ a γ ∈ Q(ε) konjugáltját. Akkor ω^{′n} = x_{n} + y_{n}ε′ és így

y_{n} = \frac{ω^{n} − ω^{′n}}{ε − ε′} = y_{1} \frac{ω^{n} − ω^{′n}}{ω − ω′} .

Az \frac{ω^{n}−ω^{′n}}{ω−ω′} számok egészek minden n ≥ 0 –ra minthogy, ω algebrai egész. Ha tehát (10)–nek van k > 1 megoldása, akkor y_{k} = y_{1} = 1, ezért

y_{n} = \frac{ω^{n} − ω^{′n}}{ω − ω′}

és így {y_{n}}_{n=0}^{∞} egy rekurzív sorozat az

(3.6.12.)  y_{n+1} = (ω + ω′)y_{n} − (ωω′)y_{n−1}

rekurzióval.

Ha ωω′ = 1, akkor ω + ω′ ≥ 3 és így y_{n+1} ≥ 2y_{n} ≥ 2^{n}, ami azt jelenti, hogy (10) nem teljesülhet ebben az esetben.

A másik eset az, amikor ωω′ = −1. A (12) rekurzióból most

y_{n+1} > (ω + ω′)y_{2} ≥ y_{2} = ω + ω′ ≥ 1

következik minden n ≥ 2 –re. (10) tehát csakis akkor teljesülhet, ha ω + ω′ = 1 és k = 2. Ehhez pedig pontosan a lemmában szereplő kivételes eset tartozik. Ezzel a lemmát bebizonyítottuk.

3.6.8. Lemma. Legyen a ≥ 3, φ az f_{a}(x) polinom egy gyöke és ε = φ − \frac{1}{φ}. Akkor

Z[ε] = Q(ε) ∩ Z[φ].

Bizonyítás. Az

(3.6.13.)  ε = φ − \frac{1}{φ} = φ + (φ − 1)(φ + 1)(φ − a) = φ^{3} − aφ^{2} + a ∈ Z[φ]

azonosságból közvetlenül következik, hogy Z[ε] ⊆ Q(ε) ∩ Z[φ].

Legyen γ ∈ Q(ε) ∩ Z[φ]. Akkor vannak olyan b_{i} ∈ Z (i = 0, …, 3) és a_{1}, a_{2} ∈ Q, amelyekre

a_{1} + a_{2}ε = b_{0} + b_{1}φ + b_{2}φ^{2} + b_{3}φ^{3}.

Ebből (13) alkalmazásával

a_{1} + aa_{2} − aa_{2}φ^{2} + a_{2}φ^{3} = b_{0} + b_{1}φ + b_{2}φ^{2} + b_{3}φ^{3}

következik, amely maga után vonja, hogy a_{1}, a_{2} ∈ Z. A lemmát bebizonyítottuk.

A továbbiakban az α konjugáltjait a következő sorrendben fogjuk tekinteni α^{(1)} = α, α^{(2)} = σ(α) = −\frac{1}{α}, α^{(3)} = β, α^{(4)} = σ(β) = −\frac{1}{β} . Ez maga után vonja minden δ ∈ Q(α) = K konjugáltjainak sorrendjét is.

3.6.9. Lemma. Legyen ω ∈ Z[α] olyan, hogy ω^{(i)} > 0, i = 1, …, 4 és
(3.6.14.)  ω^{(1)}ω^{(2)} = ω^{(3)}ω^{(4)} = 1.

Legyen továbbá minden n ∈ Z –re

(3.6.15.)  W_{n} = ω^{(1)n} + ω^{(2)n} = b_{n}ε + c_{n},

ahol b_{n}, c_{n} ∈ Z. Akkor (i) Minden n ≠ 0 –ra

(3.6.16.)  b_{2n} = b_{n}(ω^{(1)n} + ω^{(2)n} + ω^{(3)n} + ω^{(4)n})

teljesül.

(ii) Ha max{ω^{(i)}|i = 1, …, 4} = max{ω^{(3)}, ω^{(4)}}, akkor b_{n} < 0, ha pedig max{ω^{(i)}|i = 1, …, 4} = max{ω^{(1)}, ω^{(2)}}, akkor b_{n} > 0 minden n > 0 –ra.

Bizonyítás. A 8. lemmából világos, hogy W_{n} ∈ Z[ε], így (15) teljesül alkalmas b_{n}, c_{n} ∈ Z számokkal. Alkalmazzuk K –ra a ψ : α → β izomorfizmust. Akkor minden γ ∈ K –ra ψ(γ^{(1)}) = γ^{(3)} és ψ(γ^{(2)}) = γ^{(4)}

teljesül, továbbá ψ(ε) = ε′. Ezek felhasználásával kapjuk, hogy

(3.6.17.)  ψ(W_{n}) = ω^{(3)n} + ω^{(4)n} = b_{n}ε′ + c_{n}.

Kivonva most (17)–et (15)–ből b_{n} –re a következő analitikus formulát kapjuk

b_{n} = \frac{ω^{(1)n} + ω^{(2)n} − ω^{(3)n} − ω^{(4)n}}{ε − ε′} .

Felhasználva (14)–et kapjuk, hogy

b_{2n} = \frac{W_{n}^{2} − ψ(W_{n})^{2}}{ε − ε′} = b_{n}(W_{n} + ψ(W_{n})),

ami pontosan (16).

A (ii) feltételből és a b_{n} –re vonatkozó analitikus formulából következik, hogy van olyan n_{0}, hogy b_{n} < 0 minden n ≥ n_{0} –ra. Mivel W_{n} + ψ(W_{n}) > 0 minden n > 0 –ra, így (16)–ból kapjuk (ii) bizonyítását.

Az 5. tétel bizonyítása. a = 3 –ra a φ−1, φ, (φ − \frac{1}{φ})^{1/2} egységrendszer regulátora megegyezik a 1125 diszkriminánsú Q(φ) test regulátorával, így a továbbiakban ezzel a kivételes esettel nem kell foglalkoznunk.

Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy φ = α, az f_{a}(x, 1) legnagyobb gyöke. Legyen ε = α − \frac{1}{α} = \frac{(α−1)(α+1)}{α}. Az α − 1, α, α + 1 tehát pontosan akkor alapegységrendszer Z[α] –ban, ha α − 1, α, ε az. Az 1.2.3. tétel szerint elegendő bebizonyítanunk azt, hogy az

ε = ω^{k} (3.6.18a.) ε = α^{h}ω^{k} (3.6.18b.) ε = (α − 1)^{ℓ}α^{h}ω^{k} (3.6.18c.)

egyenletek nem oldhatóak meg ω ∈ Z[α], 0 ≤ ℓ, h < k, k ≥ 2 egész számokban.

Tegyük fel, hogy az első egyenlet megoldható. Akkor abból ε = ω^{(2)k} következik, azaz ε^{2} = (ω^{(1)}ω^{(2)})^{k}. A 7. lemma felhasználásával ebből arra következtethetünk, hogy ω^{(1)}ω^{(2)} = ±ε és k = 2. Az

0 = ω^{(1)^{2}} − ω^{(2)^{2}} = (ω^{(1)} − ω^{(2)})(ω^{(1)} + ω^{(2)})

egyenlőségből ismét csak a 7. lemmát használva arra jutunk, hogy ω^{(1)} = −ω^{(2)}. A másik két konjugáltra is hasonló tulajdonságok érvényesek, azaz ω^{(3)}ω^{(4)} = −ε′ és ω^{(3)} = −ω^{(4)}.

Az általánosság csorbítása nélkül feltehető, hogy ω^{(1)} = −ω^{(2)} = \sqrt{ε} és ω^{(3)} = −ω^{(4)} = \sqrt{ε}′. Ezekkel a jelölésekkel

(ω^{(1)} + ω^{(3)})^{2} = ω^{(1)^{2}} + ω^{(3)^{2}} + 2 = ε + ε′ + 2 = a + 2

azaz ω^{(1)} + ω^{(3)} = \sqrt{a + 2}. Hasonlóképpen látható be, hogy ω^{(1)} + ω^{(4)} = \sqrt{a − 2} és ω^{(2)} + ω^{(3)} = −\sqrt{a − 2}. Az f_{a}(x, 1) polinom felbontási testjének van olyan automorfizmusa, amelyet a gyökei (β, −\frac{1}{β} ) vagy pedig

(α, β, −\frac{1}{α}, −\frac{1}{β} ) permutációjával lehet megadni. Ezek a fentiek miatt \sqrt{a + 2} –t \sqrt{a − 2} vagy −\sqrt{a − 2} –be vinnék át, ami lehetetlen.

A (18b) egyenletből az előbbiekhez hasonló megfontolásokkal k = 2 –re következtethetünk, ami a legutóbbi eredményt is figyelembe véve h = 1 –et vonja maga után. Ez a válsztás azonban a második konjugáltak előjelét összehasonlítva nem adhat megoldást.

Most már csak azt kell megmutatnunk, hogy (18c) nem megoldható. Megvizsgálva először (18c) első és második konjugáltjának szorzatát rögtön belátható, hogy ℓ = 2 és ω^{(1)}ω^{(2)} = ±1.

A k kitevő páros nem lehet, mert ilyen esetben, összevonások után (18b) típusú egyenletet nyerhetnénk, amiről már beláttuk, hogy megoldhatatlan.

Amennyiben h páros, akkor (18c) első és második konjugáltjának szorzatát vizsgálva látható, hogy

ω^{(1)}ω^{(2)} = ω^{(3)}ω^{(4)} = 1,

és ω^{(1)}, ω^{(2)}, ω^{(3)}, ω^{(4)} > 0. Az ellenkező esetben, azaz amikor h is páratlan (18c) átírható

ε = (α − 1)^{2}α^{h−k}ω^{k}

egyenletté, ahol már h − k páros és így az előbbi egyenlőségek teljesednek.

Elegendő tehát megmutatnunk, hogy (18c) nem teljesedhet az ℓ = 2, −k < h < k, h páros, k ≥ 3 páratlan egész kitevőkre.

Az egyenletből

ω^{(1)k} = \frac{α + 1}{(α − 1)α} \frac{1}{α^{h}} < \frac{1}{α^{h}}

és

ω^{(2)k} = \frac{α − 1}{α + 1}α^{h+1} < α^{h+1}

következik. Ezekből az egyenlőtlenségből α < a miatt

ω^{(1)} < \{ \begin{matrix}1, & ha h ≥ 0, \\ a, & ha h < 0, \end{matrix}

illetve

ω^{(2)} < \{ \begin{matrix}a, & ha h ≥ 0, \\ 1, & ha h < 0, \end{matrix}

relációkat kapjuk, amelyekből ω^{(1)}, ω^{(2)} > 0 és ω^{(1)}ω^{(2)} = 1 felhasználásával

(3.6.19.)  1 < ω^{(1)} + ω^{(2)} < a + 1

következik.

Most belátjuk, hogy ha h = 0 vagy -2, akkor

(3.6.20.)  max{ω^{(i)k}|i = 1, …, 4} = ω^{(3)k},

különben minden páros h ∈ Z –re

(3.6.21.)  max{ω^{(1)k}, ω^{(2)k}} > max{ω^{(3)k}, ω^{(4)k}}.

Tegyük fel először, hogy h ≥ 0, akkor ω^{(2)k} > 1 > ω^{(1)k}. Továbbá, egyszerű átalakításokkal látható, hogy

(\frac{ω^{(2)}}{ω^{(3)}} )^{k} = [(α − 1)(β − 1)α^{h/2}β^{h/2}]^{2}.

Ha most h = 0, akkor (9) felhasználásával

(α − 1)(β − 1) < \frac{a − 1}{ε} < 1,

így ebben az esetben ω^{(3)} > ω^{(2)}. Ellenben, ha h > 0, akkor a ≥ 4 –et is kihasználva

αβ(α − 1)(β − 1) > \frac{α(α − 1)ε′}{2} = \frac{α^{2}}{2(α + 1)} ≥ 1,

így most ω^{(2)} > ω^{(3)}. Hasonlóképpen

(\frac{ω^{(2)}}{ω^{(4)}} )^{k} = [\frac{(α − 1)(β + 1)α^{h/2}}{β^{\frac{h+2}{2}}} ]^{2} ,

ezért mivel

(\frac{α}{β})^{h/2} \frac{(α − 1)(β + 1)}{β} > 1

nyilvánvalóan teljesül, így ω^{(2)} > ω^{(4)}, ezzel h ≥ 0 –ra beláttuk (20) és (21)–et. A h < 0 eset hasonlóképpen kezelhető.

A (18c) megoldásával, ω –val, definiáljuk a

B_{n} = ω^{(1)n} + ω^{(2)n}

sorozatot n ≥ 0 –ra. Mint a 9. lemmában megmutattuk, van olyan b_{n}, c_{n} ∈ Z, hogy

B_{n} = b_{n}ε + c_{n}.

Tegyük fel továbbá először, hogy h ≠ 0, −2. Akkor, mint megmutattuk, (21) teljesül, így a 9. lemma (ii) szerint b_{n} > 0 minden n > 0 –ra. (19)–ből most közvetlenül következik, hogy c_{1} ≤ 0. A ψ(B_{n}) = b_{n}ε′+c_{n} > 1 –ből és (19)–ből következik, hogy c_{1} ≤ −2, így ismét csak az a ψ(B_{n}) –re vonatkozó egyenlőtlenség miatt b_{1} > (1 − c_{1})ε teljesül. Ezt ismét (19)–be helyettesítve az

a + 1 > b_{1}ε + c_{1} > (1 − c_{1})ε^{2} + c_{1} = −c_{1}(ε^{2} − 1) + ε^{2} ≥ ε^{2},

egyenlőtlenségláncot kapjuk, ami ellentmondás.

Egyszerű számolássa ellenőrizhető, hogy

\frac{(α − 1)α}{α + 1} + \frac{α + 1}{(α − 1)α} = −3ε + 4a − 2

és

\frac{(α − 1)}{α(α + 1)} + \frac{(α + 1)α}{α − 1} = −3ε + 4a + 2.

Tekintettel arra, hogy 1, ε a Z[ε] modulus bázisa, így h = 0 és -2–re is b_{k} = −3 kell teljesüljön, ahol k ≥ 3. A jelen esetben, mint megmutattuk (20) teljesül, így a 9. lemma (ii) szerint b_{1} < 0. Figyelembe véve (16)–ot ezekből arra következtethetünk, hogy b_{1} = −1 vagy -3.

(19) bal oldali egyenlőtlenségéből c_{1} > 1 − b_{1}ε következik, amely maga után vonja, hogy

ω^{(1)} + … + ω^{(4)} = b_{1}a + 2c_{1} > −b_{1}(2ε − a) + 2 > 4.

Ezt és (16)–ot felhasználva b_{2} < −4 teljesülne. Egyszerűen belátható, hogy a {b_{n}} sorozat most monoton csökkenő, így b_{n} < −4 teljesül minden n > 1 –re, tehát b_{k} = −3 nem állhat fenn. Ezzel az 5. tétel bizonyítását befejeztük.

Legyen (x, y) ∈ Z^{2} a (2) egy megoldása és γ = x − αy ∈ Z[α]. (2) tehát azt jelenti, hogy γ egység Z[α] – ban. Így, ha a > 3, akkor az 5. tétel szerint vannak olyan egyértelműen meghatározott a_{0} ∈ {0, 1}, a_{1}, a_{2}, a_{3} ∈ Z számok, hogy

(3.6.22.)  γ = (−1)^{a_{0}}(α − 1)^{a_{1}}α^{a_{2}}(α + 1)^{a_{3}}

Mivel a jobb oldalon álló minden egyes egység normája 1, így a γ normája is az. Ez azt jelenti, hogy (2) jobb oldalán csak 1 lehetséges, ami az 1. tétel első állítása.

A 3.1.3. lemmából következik, hogy ha (x, y) ∈ Z^{2}, y ≠ 0 a (2) egy megoldása, akkor \frac{x}{y} az α valamelyik konjugáltját jól approximálja. Az alábbi lemmából kiderül, hogy elegendő csak az α –t, illetve a β –t jól közelítő megoldásokat meghatározni a többi ezekből már egyszerűen meghatározható. Így négy helyett csak két approximációs problémát kell megoldanunk.

3.6.9. Lemma. Legyen (x, y) ∈ Z^{2} a (2) egy olyan megoldása, amelyre x, y ≠ 0, akkor (−y, x) is megoldás. Továbbá

a, ha

(3.6.23.)  |\frac{x}{y} + \frac{1}{α}| = min_{1≤i≤4} \{|\frac{x}{y} − α^{(i)}|\}

akkor

| − \frac{y}{x} − α| = min_{1≤i≤4} \{| − \frac{y}{x} − α^{(i)}|\} ,

b, ha pedig

|\frac{x}{y} + \frac{1}{β} | = min_{1≤i≤4} \{|\frac{x}{y} − α^{(i)}|\}

akkor

| − \frac{y}{x} − β| = min_{1≤i≤4} \{| − \frac{y}{x} − α^{(i)}|\} .

Bizonyítás. Egyszerű számolással ellenőrizhető, hogy f_{a}(x, y) = f_{a}(−y, x), ami az első állítást máris bizonyítja.

Most megmutatjuk, hogy

(3.6.24.)  −1 ≤ \frac{x}{y} ≤ a.

Valóban, (2)–ből következik, hogy

y^{4} (\frac{x}{y} − α) (\frac{x}{y} + \frac{1}{α}) (\frac{x}{y} − β) (\frac{x}{y} + \frac{1}{β} ) = y^{4}f_{a} (\frac{x}{y}, 1) = 1.

Ha \frac{x}{y} < −1 teljesülne, akkor

1 = y^{4}f_{a} (\frac{x}{y}, 1) > y^{4}(−1 − α) (−1 + \frac{1}{α}) (−1 − α) (−1 + \frac{1}{β} ) = y^{4}N_{K/Q}(α + 1) = y^{4}

kapnánk, ami természetesen nem lehet igaz. Hasonlóképpen látható be a jobb oldali egyenlőtlenség.

Ha (23) teljesül, akkor \frac{x}{y} − α, \frac{x}{y} − β < 0 és \frac{x}{y} + \frac{1}{β} > 0, így (22) miatt \frac{x}{y} > −\frac{1}{α}. Másrészt, ha \frac{x}{y} > 0 teljesülne, akkor (23) miatt \frac{x}{y} < 1 teljesülne, amelyből −\frac{y}{x} < −1 következne, ami (24) miatt lehetetlen. Tehát −\frac{1}{α} < \frac{x}{y} < 0, vagyis α < −\frac{y}{x}. Tekintettel arra, hogy α az f_{a}(x, 1) legnagyobb gyöke, így a legutolsó egyenlőtlenség bizonyítja a második állítást.

A lemma harmadik b, állítása hasonlóképpen látható be.

A (2) egyenlet (x, y) megoldásai közül tehát elegendő csak azokat meghatározni, amelyekre x, y > 0 és amelyek

I. típus  0 < \frac{x}{y} − α = min_{1≤i≤4} \{\frac{x}{y} − α^{(i)}\}

vagy

II. típus  0 < β − \frac{x}{y} < min \{α − \frac{x}{y}, \frac{x}{y} + \frac{1}{α}, \frac{x}{y} + \frac{1}{β} \}

tulajdonságúak.

Ha (x, y) ∈ Z^{2} a (2) megoldása, akkor ehhez (22) egyértelműen meghatároz a_{0} ∈ {0, 1}, a_{1}, a_{2}, a_{3} egész számokat. A továbbiakban következetesen ezt a jelölést fogjuk használni, ezért külön nem említjük.

Az I. és II. típusú megoldásokkal párhuzamosan fogunk foglalkozni, az állításokat mindkettőre kimondjuk, de amikor a bizonyításban nincs lényeges különbség csak az I. típusúakra vonatkozó állítást bizonyítjuk.

3.6.10. (I) Lemma. Legyen (x, y) ∈ Z^{2} a (2) egyenlet I. típusú megoldása. Akkor a_{0} = 0, a_{1} + a_{2} = u páros, a_{1} + a_{3} = −v < −1,

(3.6.25.)  xy = \frac{ε^{v} − ε^{′v}}{ε − ε′}

és

(3.6.26.)  x^{2} − y^{2} = \frac{ε^{v+1} − ε^{′v+1}}{ε − ε′} .

3.6.10. (II) Lemma. Legyen (x, y) ∈ Z^{2} a (2) egyenlet II. típusú megoldása. Akkor a_{0} = 0, a_{1} +a_{2} = u páratlan, a_{1} + a_{3} = v > 0,

(3.6.27.)  xy = \frac{ε^{v} − ε′v}{ε − ε′}

és

(3.6.27a.)  x^{2} − y^{2} = \frac{ε^{v−1} − ε^{′v−1}}{ε − ε′} .

Bizonyítás. Mivel γ = x − αy > 0, így a_{0} = 0. (22)–ből következik, hogy

γσ(γ) = (−1)^{u}ε^{−v} = x^{2} − εxy − y^{2} > 0,

így u páros. Továbbá (x^{2} − εxy − y^{2})(x^{2} − ε′xy − y^{2}) = 1 és x^{2} − ε′xy − y^{2} = (x − βy) (x + \frac{1}{β} y) > 1, ezért

x^{2} − εxy − y^{2} < 1 és így v > 0. Tehát

(3.6.28.)  x^{2} − εxy − y^{2} = ε^{′v}

és

x^{2} − ε′xy − y^{2} = ε^{v},

amelyekből (25) és (26) közvetlenűl következik.

Amennyiben v = 1, akkor (25)–ből x = y = 1 –et kapnánk, ami (26)–nak nem megoldása. Ezzel a lemmát bebizonyítottuk.

3.6.11. (I) Lemma. Legyen (x, y) ∈ Z^{2} a (2) egyenlet I. típusú megoldása. Akkor

(3.6.29.)  \frac{a − 1}{a + 1}ε^{− \frac{3}{2} v} < x − αy < ε^{− \frac{3}{2} v},

(3.6.30.)  \frac{a − 2}{a}ε^{v/2} < \frac{α − β}{a} ε^{v/2} < x − βy < ε^{v/2},

(3.6.31.)  ε^{v/2} < x + \frac{1}{β} y < \frac{a + 1}{a}ε^{v/2}.

3.6.11. (II) Lemma. Legyen (x, y) ∈ Z^{2} a (2) egyenlet II. típusú megoldása. Akkor

\frac{\sqrt{a − 1}}{2}ε^{−3v/2} < βy − x < ε^{−(3v−1)/2},

\frac{a − 2}{\sqrt{a}}ε^{v/2} < αy − x < \sqrt{a − 1}ε^{v/2},

\frac{a + 1}{\sqrt{a}}ε^{v/2} < x + \frac{1}{α}y < \frac{a + 1}{\sqrt{a − 1}}ε^{v/2}.

Bizonyítás. (8)–ból és abból, hogy (x, y) I típusú következik, hogy a − 1 < α < \frac{x}{y} ≤ a. Most (25)–t és (8)–at felhasználva kapjuk az

(a − 1)y^{2} < \frac{ε^{v} − ε^{′v}}{ε − ε′} < \frac{ε^{v}}{a − 1}

egyenlőtlenséget. Másrészt a 10.(I) lemma szerint v ≥ 2, amely feltétel mellett egyszerű számítással ellenőrizhető, hogy

ay^{2} > \frac{ε^{v} − ε^{′v}}{ε − ε′} > \frac{ε^{v}}{a} .

A két utóbbi egyenlőtlenséget összefoglalhatjuk

(3.6.32.)  \frac{ε^{v/2}}{a} < y < \frac{ε^{v/2}}{a − 1}

alakba.

(28)–ból egyszerű átalakításokkal kapható

(3.6.33.)  x − αy = \frac{1}{y (\frac{x}{y} + \frac{1}{α})}ε^{−v}.

Mivel

a + 1 > \frac{x}{y} + \frac{1}{α} > α + \frac{1}{α} = \sqrt{ε^{2} + 4} > a,

így (32) és (33)–ból következik (29). (30) bizonyításához először megmutatjuk, hogy

a − 2 < \frac{x}{y} − β < a − 1,

amelyből (32) felhasználásával közvetlenül kapjuk az állítást. A jobb oldal az \frac{x}{y} ≤ a, β > 1 egyenlőtlenségek következménye. A bal oldalt a következőképpen láthatjuk be

\frac{x}{y} − β = \frac{x}{y} − α + α − β > α − β > ε − ε′ − 1 > a − 2.

Végezetül

a + 1 > \frac{x}{y} + \frac{1}{β} = \frac{x}{y} − α + α − β + β + \frac{1}{β} > a − 2 + \sqrt{ε^{′2} + 4} > a,

amelyből ismét (32) felhasználásával kapjuk (31)–et. Ezzel a lemmát bebizonyítottuk.

3.6.12. (I) Lemma. Legyen (x, y) ∈ Z^{2} a (2) egyenlet I típusú megoldása. Akkor

(3.6.34.)  a_{1} + a_{3} + 2a_{2} = −2\frac{log ε log \frac{β+1}{β−1}}{A} v + δ_{2},

(3.6.35.)  a_{3} − a_{1} = 2\frac{log ε log β}{A} v + δ_{3},

ahol A = log α log \frac{β+1}{β−1} − log β log \frac{α+1}{α−1}, −1.26 < δ_{2} < 0.27 és −1 < δ_{3} < 1.32.

3.6.12. (II) Lemma. Legyen (x, y) ∈ Z^{2} a (2) egyenlet II típusú megoldása. Ha a ≥ 30, akkor

(3.6.36.)  a_{1} + a_{3} + 2a_{2} = 2\frac{log ε log \frac{α+1}{α−1}}{A} v + δ_{4},

(3.6.37.)  a_{3} − a_{1} = −2\frac{log ε log α}{A}v + δ_{5},

ahol 0.95 < δ_{4} < 1 és 0.4 < δ_{5} < 1.

Bizonyítás. (22), (29), (30) és v definíciójából következik az

log \frac{a − 1}{a + 1} − \frac{3}{2}v log ε < a_{1} log(α − 1) + a_{2} log α + a_{3} log(α + 1) < −\frac{3}{2}v log ε

log \frac{a − 2}{a} + \frac{v}{2} log ε < a_{1} log(β − 1) + a_{2} log β + a_{3} log(β + 1) < \frac{v}{2} log ε

a_{1} + a_{3} = −v

egyenlőtlenségrendszer, melyből

log \frac{a − 1}{a + 1} log β < −Aa_{3} − V_{1}v < − log \frac{a − 2}{a} log α

log \frac{a − 1}{a + 1} log \frac{β + 1}{β − 1} < Aa_{2} − V_{2}v < − log \frac{a − 2}{a} log \frac{α + 1}{α − 1},

vezethető le, ahol

V_{1} = log(α − 1) log β − \frac{3}{2} log ε log β − log(β − 1) log α − \frac{1}{2} log ε log α

és

V_{2} = log(α − 1) log \frac{β + 1}{β − 1} − \frac{3}{2} log ε log \frac{β + 1}{β − 1} − log(β − 1) log \frac{α + 1}{α − 1} − \frac{1}{2} log ε log \frac{α + 1}{α − 1}.

Egyszerű átalakításokkal ellenőrizhető, hogy

V_{1} = \frac{1}{2}A − log ε log β

V_{2} = \frac{1}{2}A − log ε log \frac{β + 1}{β − 1}.

Így

a_{1} + a_{3} + 2a_{2} = −v + 2 (\frac{1}{2} − \frac{log ε log \frac{β+1}{β−1}}{A} ) v + δ_{2} = −2\frac{log ε log \frac{β+1}{β−1}}{A} v + δ_{2},

ahol

\frac{2}{A} log \frac{a − 1}{a + 1} log \frac{β + 1}{β − 1} < δ_{2} < \frac{2 log^{2} 2}{A}

Ebből következik, hogy ha a ≥ 4, akkor

−1.26 < δ_{2} < 0.27.

Hasonlóképpen

a_{3} − a_{1} = v + 2a_{3} = v + 2 (−\frac{1}{2} + \frac{log ε log β}{A} ) v + δ_{3} = 2\frac{log ε log β}{A} v + δ_{3},

ahol

\frac{2}{A} [log \frac{a − 2}{a} log α] < δ_{3} < \frac{3}{A} log \frac{a + 1}{a − 1} log β,

így

−1 < δ_{3} < 1.32.

3.6.13. (I) Lemma. Legyen (x, y) ∈ Z^{2} a (2) egyenlet I típusú megoldása és

∧_{1} = log \frac{α + \frac{1}{β}}{α − β} + (a_{1} + a_{3} + 2a_{2}) log β + (a_{3} − a_{1}) log \frac{β + 1}{β − 1}.

Akkor

(3.6.38.)  0 < | ∧_{1} | < 3.1 · ε^{−2v−1}.

3.6.13. (II) Lemma. Legyen (x, y) ∈ Z^{2} a (2) egyenlet II típusú megoldása és

∧_{2} = log \frac{β + \frac{1}{α}}{α − β} + (a_{1} + a_{3} + 2a_{2}) log α + (a_{3} − a_{1}) log \frac{α + 1}{α − 1}.

Akkor

(3.6.39.)  0 < | ∧_{2} | < 1.1 · ε^{−2v}.

Bizonyítás. Az

(α + \frac{1}{β} ) (x − βy) − (α − β) (x + \frac{1}{β} y) = (β + \frac{1}{β} ) (x − αy)

azonosságból (29), (30) és (31) felhasználásával kapjuk, hogy

0 < \frac{α + \frac{1}{β}}{α − β} \frac{x − βy}{x + \frac{1}{β} y} − 1 = \frac{β + \frac{1}{β}}{α − β} \frac{x − αy}{x + \frac{1}{β} y} < \frac{\sqrt{ε^{′2} + 4}}{α − β}ε^{−2v} < 3ε^{−2v−1}.

Ha v ≥ 1, akkor 3 · ε^{−2v−1} < 0.06 és így az 1.3.5. lemmából

0 < | log \frac{α + \frac{1}{β}}{α − β} + log(x − βy) − log (x + \frac{1}{β} y) | < 3.1 · ε^{−2v−1}

következik, amelyik (22) következtében ekvivalens (38)–cal. A következő lemma kulcsfontosságú az 1. tétel bizonyításánál.

3.6.14. Lemma. Legyen (x, y) a (2) egyenlet egy megoldása. Ha ez I típusú és a_{1} ≠ a_{3}, ha pedig II típusú, a ≥ 30 és a_{1} + a_{3} + 2a_{2} ≠ 1, akkor

(3.6.40.)  v > \frac{1}{5}ε log ε.

Bizonyítás. Tegyük fel először, hogy (x, y) I. típusú megoldás, akkor (35) és a_{1} ≠ a_{3} következtében a_{3}−a_{1} ≥ 1. ∧_{1} első és harmadik összeadandója pozitív, míg a második negatív, továbbá log \frac{β+1}{β−1} > 3.1ε^{−2v−1}. Ezért (38) csakis akkor teljesülhet, ha

(a_{1} + a_{3} + 2a_{2}) log β + (a_{3} − a_{1}) log \frac{β + 1}{β − 1} ≤ 0,

azaz

−(a_{1} + a_{3} + 2a_{2}) log β ≥ log \frac{1}{β − 1} + log 2.

Másrészt log β = log(1 + (β − 1)) < β − 1, mivel β − 1 < \frac{1}{2}, így (9)–et is felhasználva

−(a_{1} + a_{3} + 2a_{2}) > \frac{1}{β − 1} log \frac{1}{β − 1} + \frac{1}{β − 1} log 2 > ε log ε + ε log 2.

(34)–ből következik, hogy −(a_{1} + a_{3} + 2a_{2}) < 2v + 1.26. A két utolsó egyenlőtlenségből kapjuk (40)–et.

A második részben tegyük fel, hogy (x, y) II. típusú megoldás. Ebben az esetben v ≥ 2, mert v = 0 –hoz xy = 0 tartozik, ami nem II. típusú, v = 1 –hez pedig x = y = 1 tartozik, amikor a_{1} +a_{3} +2a_{2} = 1, ami a lemma feltételei között ki van zárva. Így tehát (36) és (37)–et is felhasználva a_{1} − a_{3}, a_{1} + a_{3} + 2a_{2} > 0.

Tekintettel arra, hogy log \frac{αβ+1}{α−β} > 1.1 · ε^{−4}, ezért (39) csakis akkor teljesülhet, ha

(a_{1} + a_{3} + 2a_{2} − 1) log α + (a_{3} − a_{1}) log \frac{α + 1}{α − 1} < 0.

Mivel \frac{α+1}{α−1} = 1 + \frac{2}{α−1} és \frac{2}{α−1} < \frac{2}{29} ezért az utolsó egyenlőtlenségből

a_{1} − a_{3} > \frac{α − 1}{2.08} log α

következik. Ismételten felhasználva (37)–et kapjuk ebből a lemma bizonyítását.

Az 1. tétel bizonyítása. Korábban rámutattunk már arra, hogy (22)–ből következik (i). A következő lépésben az a > 9.9 · 10^{27} paraméterértékekre vonatkozó állítást bizonyítjuk. Az 1.3.2. tételt alkalmazva alsó becslést adunk | ∧_{1} | és | ∧_{2} | –re. Esetünkben n = 3, D = 8,

h(α), h(β), h (\frac{α + 1}{α − 1}) , h (\frac{β + 1}{β − 1}) < \frac{1}{2} log a,

valamint

h (\frac{α + \frac{1}{β}}{α − β} ) , h (\frac{β + \frac{1}{α}}{α − β} ) < \frac{9}{2} log a.

Ezért V_{1} = V_{2} = \frac{1}{2} log a, V_{3} = \frac{9}{2} log a választás megfelelő. (34), (35), (36) és (37)–ből következik, hogy |a_{3} − a_{1}|, |a_{1} + a_{3} + 2a_{2}| < 2v + 1.26, így az 1.3.2. tételből

| ∧_{1} |, | ∧_{2} | > exp {−2^{48}3^{5}e^{6} log^{3} a log (2^{40}3^{3} log^{3} a) [log(2v + 1.26) + 12 log log a + 90](log 4)^{−4}}

következik. Ha a > 10^{20} és a 14. lemma feltételei teljesülnek, akkor (40)–ből, (38)–ból és (39)–ből

(3.6.41.)  v < 1.52 · 2^{68} log^{2} a log (2^{40}3^{3} log^{3} a) log(2v + 1.26)

következik.

Legyen H_{a}(x) = x − 3 · 10^{19} log^{2} a log (2^{40}3^{3} log^{3} a) log(2x + 1.26) és jelölje M_{a} az H_{a}(x) = 0 egyenlet gyökét rögzített a –ra. Akkor v < M_{a}. Másrészt (40) miatt a > 10^{20} –ra v > a. Ezért, ha a′ jelöli a H_{a}(a) = 0 egyenlet gyökét, akkor a > a′ –re (41) nem teljesülhet. Egyszerű számítással ellenőrizhető, hogy a′ < 1.5 · 2^{92} ≈ 9.9 · 10^{27}.

Ezért, ha a > 9.9 · 10^{27}, akkor (2) csakis abban az esetben teljesülhet, ha az I. típusú megoldásokra a_{3} = a_{1}, a II. típusú megoldásokra pedig a_{1} + a_{3} + 2a_{2} = 1.

Amennyiben a_{3} = a_{1}, akkor (22)–ből

x − αy = (α − 1)^{a_{1}}α^{a_{2}}(α + 1)^{a_{3}} = (\frac{α^{2} − 1}{α})^{a_{1}} α^{a_{1}+a_{2}} = ε^{a_{1}}α^{a_{1}+a_{2}}

és

x − βy = ε^{′a_{1}}β^{a_{1}+a_{2}}.

Felhasználva (29)–et és (30)–at azt kapjuk, hogy

log \frac{α − β}{a} / log β < a_{1} + a_{2} < 2a_{1} \frac{log ε}{log α},

azaz

2a_{1} > \frac{log α}{log ε} \frac{log \frac{α−β}{a}}{log β} .

Egyszerű számítással ellenőrizhető, hogy a jobb oldal > −6 és így a_{1} > −3. Az a_{1} = 0 –hoz xy = 0 és a_{1} = −1 –hez x = a, y = 1 a (2) triviális megoldásai tartoznak. Amennyiben a_{1} = −2 –re (2)–nek lenne megoldása, akkor (25) miatt xy = a^{3} − 2a teljesedne, melyből (24) felhasználásával x ≤ a^{2} − 2, y ≥ a következik, ami ellentmond (26)–nak.

Legyen most (x, y) II. típusú megoldás és a_{1} + a_{3} + 2a_{2} = 1. Akkor a 10 (II) lemma következtében 2a_{2} = 1 − v ≤ 0. Az a_{2} = 0 esethez x = y = 1 tartozik. (22)–ből a_{1} + a_{3} + 2a_{2} = 1 figyelembe vételével és a 11.(II) Lemma első egyenlőtlenségének felhasználásával

(3.6.42.)  (\frac{β + 1}{β − 1})^{a_{3}−a_{1}} β = \frac{βy − x}{\frac{1}{β} y + x} < ε^{4a_{2}−1}

következik. Hasonlóképpen

αy − x = (α − β)y + (βy − x) > (α − β)y

és

\frac{1}{α}y + x = (\frac{1}{α} + \frac{x}{y}) y < \frac{αβ + 1}{α}y.

Így (22)–ből

(\frac{α + 1}{α − 1})^{a_{3}−a_{1}} α = \frac{αy − x}{\frac{1}{α}y + x} > \frac{α(α − β)}{αβ + 1}

egyenlőtlenséget kapjuk. Ezt összehasonlítva (42)–vel

−4a_{2} + 1 < \frac{log \frac{β+1}{β−1}}{log ε} \begin{matrix}log & \frac{αβ+1}{α−β} \\ log & \frac{α+1}{α−1} \end{matrix}

következik. A jobb oldalon álló egyik tényező sem nagyobb 2–nél, így a_{2} > −1.

Ezzel a tétel (ii) állításának második részét beláttuk.

Az első rész bizonyításához értelemszerű módosításokkal a 3.2.1. algoritmust használtuk. Először (38) és (39)–ből (34), (35), (36), (37) és az 1.3.2. tételből felső korlátot számítunk ki

max{|a_{1} + a_{3} + 2a_{2}|, |a_{3} − a_{1}|} = N_{1} − re.

Ez a ≤ 100 esetén 10^{32}. A 2.3.1. Algoritmust ∧_{1} majd ∧_{2} –re a = 4, 5, …, 100 mellett végrehajtva az I. típusú megoldásoknál N_{1} –re a ≤ 4 esetén 7, különben 6 felső korlátot kapunk. Hasonlóképpen a II. típusú megoldásoknál N_{1} –re a ≤ 4 esetén 8, kölönben 4 felső korlátot kapunk. Ezekből (34), (35) felhasználásával v ≤ 4 következik, amely értékekre már (25) és (26) egyszerűen megoldható. A II. típusú megoldásokra (36) és (37)–ből v ≤ 5 –öt kapunk (a ≥ 5 –re már v ≤ 3 –at), ezekre pedig (27) és (27a)–t oldjuk meg. Ekkor kapjuk az egyetlen nem triviális megoldást a = 4, v = 5 –re, amikor is xy = 56 és x^{2} − y^{2} = 15. Ekkor a_{1} = 4, a_{2} = −1 és a_{3} = 0.

Hasonlóképpen járhatunk el az a = 3 esetben, de akkor (22) helyett az

x − αy = (−1)^{a_{0}}(α − 1)^{a_{1}}α^{a_{2}} [\frac{(α − 1)(α + 1)}{α}]^{a_{3}/2}

egyenletet használjuk.

Az eljárás során a = 4 –re kiszámított értékeket az alábbi táblázat tartalmazza. Az α és β jeleket a jelen részben, a többit a 2.2 részben definiált értelemben használjuk.

I. eset c_{1} = 0.758, c_{4} = 0.83 C = log((β + 1)/(β − 1)) = 2.707 70965 00686 67811 28177 45167 96163 90128 66971 86710 41923 98469 97736 72645 65694 17954 91834 69948 15705 A = log(β) = 0.13357 70099 74381 15593 76388 51013 57905 03568 18909 04799 75822 88619 13278 84749 38916 53313 14161 39021 42562 δ_{1} = A/C = 0.04933 21024 91488 93362 09368 42496 76729 04089 32691 39448 72087 50924 51175 29161 94309 21552 58375 69091 26421 71310 B = log((α + 1/β)/(α − β)) = 0.53676 64059 32115 76107 25006 69132 63747 90610 64170 76916 93482 75407 65212 90360 96029 81189 61517 79973 72351 δ_{2} = B/C = 0.19823 63234 25040 53439 64251 00012 04372 03165 54351 01567 54550 99339 42719 62477 29469 52589 82082 85353 31588 07137

1. iteráció

N_{1} = 10^{32}, Q_{1} = 11, Q_{2} = 1, Q_{3} = 10^{32}, q = 17 68869 03191 52994 42294 49594 54309 ||qδ_{1}|| < 0.335x10^{−33} ||qδ_{2}|| > 0.145 (2.2.6) és (2.2.7) teljesülnek, így az új N_{1} = 59.

2. iteráció

N_{1} = 59, Q_{1} = 8, Q_{2} = 1, Q_{3} = 59, q = 223 ||qδ_{1}|| < 1.06x10^{−3} ||qδ_{2}|| > 0.2 (2.2.6) és (2.2.7) teljesülnek, így az új N_{1} = 6.

3. iteráció

N_{1} = 6, Q_{1} = 27, Q_{2} = 1, Q_{3} = 6, q = 81 ||qδ_{1}|| < 4.1x10^{−3} ||qδ_{2}|| > 0.057 (2.2.6) és (2.2.7) teljesülnek, de (2.2.4)–ből most ismét N_{1} = 6 –ot kapunk, tehát a redukciót befe-

jezhetjük.

II. eset c_{1} = 0.758, c_{4} = 2.412 C = log((α + 1)/(α − 1)) = 0.45615 16535 12024 13259 83984 38748 75048 72683 95610 64425 76796 00085 85181 63022 81556 58981 23517 21406 86830 A = log(α) = 1.49520 92278 97884 08512 57495 62877 54436 61061 91780 29092 80154 37610 32123 29444 42993 23403 72894 96193 64994 δ_{1} = A/C = 3.27787 74698 85068 50120 74580 01686 39386 12937 05858 03368 52010 35553 43225 69179 61782 04322 38559 37962 00459 B = log((β + 1/α)/(α − β)) = −1.16578 94068 36425 42586 19406 55833 32570 24623 78617 90889 28056 19049 99890 30229 96790 26295 98402 98419 89563 δ_{2} = B/C = −2.55570 57567 60334 27106 75149 82596 26109 75081 11693 56303 58730 66439 15657 97511 22870 80662 80680 72749 34345

1. iteráció

N_{1} = 10^{32}, Q_{1} = 4, Q_{2} = 1, Q_{3} = 10^{32}, q = 35 40651 05915 00360 16778 49538 75831 ||qδ_{1}|| < 1.068x10^{−33} ||qδ_{2}|| > 0.4876 (2.2.6) és (2.2.7) teljesülnek, így az új N_{1} = 58

2. iteráció

N_{1} = 58, Q_{1} = 27, Q_{2} = 1, Q_{3} = 58, q = 1112 ||qδ_{1}|| < 3.32x10^{−4} ||qδ_{2}|| > 0.0553 (2.2.6) és (2.2.7) teljesülnek, így az új N_{1} = 8.

3. iteráció

N_{1 8, Q_{1}} = 52, Q_{2} = 1, Q_{3} = 11, q = 547 ||qδ_{1}|| < 1.06x10^{−3} ||qδ_{2}|| > 0.0289 (2.2.6) és (2.2.7) teljesülnek, de (2.2.4)–ből most ismét N_{1} = 8 –at kapunk, tehát a redukciót befe-

jezhetjük.

A felső korlát csökkenése a 2.3.1 Algoritmus végrehajtása során a 4 ≤ a ≤ 100 intervallum felett vizsgált (2) egyenletek esetén:

I. eset  II. eset
a  1.  2. 3. iteráció  1.  2.  3. 4. iteráció
4  59  6  58  8
5  49  7  6  48  5  3
6  44  5  43  5  3
7  40  6  40  4  3
8  37  6  38  4  3
9  37  5  36  4  3
10  34  7  6  34  3
11  32  6  33  4
12  31  6  5  32  3  2
13  30  7  31  3
14  29  6  5  30  3  2
15  28  6  5  29  4  2
16  29  6  28  4  2
17  27  6  28  4  2

18  27  5  27  4  2
19  26  5  27  3  2
20  26  5  28  3  2
21  25  6  26  4  3  2
22  25  5  26  3  2
23  24  5  25  3  2
24  24  5  25  3  2
25  24  6  5  25  3  2
26  23  5  24  2
27  25  5  24  4  2
28  24  5  24  2
29  23  6  5  24  3  2
30  22  5  23  3  2
31  22  5  23  3  2
32  22  5  23  2
33  22  6  5  23  3  2
34  22  6  5  23  3  2
35  21  5  22  3  2
36  21  5  22  3  2
37  21  5  22  2
38  21  5  22  2
39  21  5  22  2
40  21  6  5  22  2
41  20  6  21  2
42  20  5  21  2
43  20  5  21  2
44  20  5  21  2
45  20  5  21  2
46  20  5  21  3
47  20  5  21  2
48  20  5  21  2
49  19  6  5  20  2
50  19  5  20  2
51  19  6  20  2
52  19  5  20  2
53  19  5  20  2
54  19  5  20  2
55  19  6  20  2
56  19  5  20  2
57  19  5  20  4  2
58  19  5  20  2  1
59  19  5  20  2
60  18  5  19  4  2  1
61  18  5  19  2
62  18  5  19  2
63  18  5  19  2
64  18  6  19  2
65  18  5  19  2
66  18  5  19  2
67  18  5  19  2
68  18  5  20  2  1
69  18  5  19  2
70  18  5  19  2

71  18  6  5  19  2
72  18  5  19  2
73  18  5  19  2
74  18  5  19  3  2
75  17  5  18  2
76  17  5  18  2
77  17  5  18  2
78  17  5  18  2
79  17  5  18  2
80  17  6  5  18  2
81  17  5  18  2
82  17  5  18  2
83  17  5  18  2  1
84  17  5  18  2  1
85  17  6  5  18  2
86  17  5  18  2
87  17  5  18  2
88  17  5  18  2
89  17  5  18  2
90  18  5  18  2  1
91  17  5  18  2  1
92  17  5  18  2
93  17  5  18  2  1
94  17  5  18  2
95  17  5  18  2
96  17  5  19  2
97  16  5  17  2
98  16  5  17  2
99  18  5  17  2  1
100  16  5  17  2

A 3. tétel bizonyítása. Legyen n ∈ Z olyan, hogy (u, v) = (R_{n}, R_{n+1}) vagy (R_{n+1}, R_{n}) a (4)–nek megoldása. Az 1.4.3. tételt az aktuális esetben alkalmazva kapjuk, hogy

R_{n+1}^{2} − (η + η′)R_{n+1}R_{n} + (ηη′)R_{n}^{2} = (ηη′)^{n} = (±1)^{n},

amelyből következik, hogy (R_{n}, R_{n+1}) = (u, v) = 1.

Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy η > 1. Ha n < 0, akkor, ha ηη′ = 1 úgy R_{−n} = R_{n} különben R_{n} = (−1)^{n}R_{−n}, így az is feltehető, hogy n ≥ 0.

A Pithagoraszi számhármasok tulajdonságából ismert, hogy (4) megoldásai előállíthatók

2u = 2xy
v = x^{2} − y^{2}

alakban, ahol x, y ∈ Z olyanok, hogy (x, y) = 1 és x ≢ y (mod 2). Így

(3.6.43.)  xy = \frac{η^{n} − η^{′n}}{η − η′} vagy \frac{η^{n+1} − η^{′n+1}}{η − η′}

és

(3.6.44.)  x^{2} − y^{2} = \frac{η^{n+1} − η^{′n+1}}{η − η′} vagy \frac{η^{n} − η^{′n}}{η − η′} .

Az első esetben megszorozva (43)–at η –val és kivonva (44)–ből kapjuk az

x^{2} − ηxy − y^{2} = η^{′n}

egyenletet. Ennek a konjugáltját véve és a két egyenletet összeszorozva

x^{4} − ax^{3}y − (2 − ηη′)xy^{2} + axy^{3} + y^{4} = (ηη′)^{n} = ±1

következik, ahol a = η + η′. A bal oldalon álló polinom ηη′ = 1 esetén éppen f_{a}(x, y), különben g_{a}(x, y). Ugyanezeket az egyenleteket vezethetjük le az alternatív esetben is.

Így az 1. és a 2. tétel alkalmazásával kapjuk a 3. tétel bizonyítását.

4. Polinomértékek rekurzív sorozatokban

Az 5. fejezetben látni fogjuk, hogy bizonyos bikvadratikus számtestek feletti indexforma egyenletek megoldása visszavezethető

G_{n} = mx^{2} + c

alakú egyenletre, ahol G_{n} egy másodrendű rekurzív sorozat Z – felett és m, c ∈ Z. Hasonló típusú egyenleteket lehet kapni, hogy ha az

y^{2} = ax^{3} + bx^{2} + cx

elliptikus görbére illeszkedő egész pontokat kívánjuk meghatározni. A fenti problémák közös általánosításaként a következő egyenletet fogjuk vizsgálni.

Legyen {G_{n}} egész számok k –ad rendű nem elfajuló lineáris rekurzív sorozata és T (x) = t_{m}x^{m} + … + t_{0} ∈ Z[x]. A T (x) polinom együtthatói abszolút értékének maximumát H(T) –vel fogjuk azonosítani. Jelölje α_{1}, …, α_{t} a {G_{n}} karakterisztikus polinomjának gyökeit és legyen K = Q(α_{1}, …, α_{t}). Legyen S = {p_{1}, …, p_{s}} prímszámok véges — esetleg üres — halmaza; P = max{p_{i}}, ha S ≠ Øés P = 1 különben. Jelölje a továbbiakban Z_{S} azon egész számok halmazát, melyek csak az S –be tartozó prímszámokkal oszthatóak.

Ebben a fejezetben a

(4.1.1.)  G_{n} = wx^{q} + T (x)

egyenlet n, x, q ∈ Z, w ∈ Z_{S} megoldásaival fogunk foglalkozni, és különböző élességű tételeket bizonyítunk a {G_{n}} –re illetve a T (x) –re vonatkozó feltételek mellett.

4.1. Az általános eset

Ebben a részben fel fogjuk tételezni, hogy α_{1} egyszeres gyöke a {G_{n}} karakterisztikus polinomjának. Ekkor az 1.4.1. tétel szerint

(4.1.2.)  G_{n} = λ_{1}α_{1}^{n} + λ_{2}(n)α_{2}^{n} + … + λ_{t}(n)α_{t}^{n},

ahol λ_{i}(x) ∈ K[x] fokszáma kisebb, mint α_{i} multiplicitása i = 2, …, t, ahol K a {G_{n}} karakterisztikus polinomjának a felbontási testét jelöli.

4.1.1. Tétel. Legyen δ > 0 valós és tegyük fel, hogy |α_{1}| > |α_{j}| (j = 2, …, t). Akkor van olyan c_{0} effektíven kiszámítható konstans, mely csak δ, P és {G_{n}} –től függ úgy, hogy ha w ∈ Z_{S}, x, q és n olyanok, hogy |x| > 1, q > c_{0}, n > 0 és wx^{q} ≠ λ_{1}α_{1}^{n} akkor

(4.1.3.)  |wx^{q} − G_{n}| > |α_{1}|^{n(1−δ)}.

Ezt a tételt Shorey és Stewart [1987] bizonyították be. Kiss [199?] bizonyította, hogy ha a tételben megfogalmazott feltételeken kívűl α_{2} > α_{j}, j = 3, … t és |α_{2}| > 1 és w ≠ 0 egy rögzített egész, akkor

|wx^{q} − u_{n}| > e^{cn}

teljesül.

Az 1. tételből levezetjük a következő Nemes és Pethő [1984] eredményénél valamivel erősebb

4.1.2. Tétel. Tegyük fel, hogy |α_{1}| > |α_{2}| > |α_{j}| (j = 3, …, t) — |α_{1}| > |α_{2}| ≠ 1, ha t = 2 –, és H(T) < H_{1} ahol H_{1} egy valós szám. Akkor vannak olyan c_{1} és c_{2} csak P, H_{1} és {G_{n}} –től függő, effektíven kiszámítható konstansok, hogy ha deg T ≤ c_{1}q, akkor az (1) minden x ∈ Z_{S}, n, |x| > 1, q ≥ 2 megoldására q < c_{2} teljesül.

Megjegyezzük, hogy Lang [1983] nem effektív approximációs tételét felhasználva Shorey és Stewart [1987] megmutatta, hogy rögzített T (x) egyebekben pedig a 2. tétel feltételei mellett (1)–nek csak véges sok n, x, q megoldása lehet, ahol n ≥ 0, |x| > 1 és

q > max \{\frac{k log |α_{1}|}{log |α_{1}|/ max\{1, |α_{2}|\}}, [Q(α_{1}) : Q] + deg T \} .

Az |α_{1}α_{2}| = 1 feltétel mellett másodrendű rekurzív sorozatokra, a 2. tétel állítása tovább élesíthető. Erre a kérdésre a 2. részben térünk vissza. lásd 4.2.5. tételt.

A 2. tétel abban az esetben is élesíthető, ha T (x) = 0, azaz a

(4.1.4.)  G_{n} = wx^{q}

egyenletre. A következő tétel ugyancsak Shorey és Stewarttól [1987] származik.

4.1.3. Tétel. Legyen P egy olyan prímideál Z_{K} –ból, amelyik a p prím felett van, és tegyük fel, hogy ord_{P}α_{1} < ord_{P}α_{j} j = 2, …, t. Ha w ∈ Z_{S}, |x| > 1, q ≥ 2, (p, q) = 1 és n ≥ 0 olyan megoldásai (4) –nek, amelyekre wx^{q} ≠ λ_{1}α_{1}^{n}, akkor q < c_{3}, ahol c_{3} csak P, p és {G_{n}} –től függő effektíven kiszámítható konstans.

Másodrendű rekurzív sorozatokra Pethő [1982b] – (A_{1}, A_{2}) = 1 – valamint tőle függetlenül Shorey és Stewart [1983] −S = Ø– feltételek mellett bizonyították az alábbi eredményt

4.1.4. Tétel. Legyen G_{n} egy másodrendű nem elfajuló sorozat, és tegyük fel, hogy w ∈ Z_{S}, |x| > 1, n ≥ 0, q ≥ 2 a (4) egész megoldásai. Akkor van olyan c_{4} csak P és {G_{n}} –től függő effektíven kiszámítható konstans, hogy

max{|w|, |x|, n, q} < c_{4}.

Ha |x| = 1, akkor

max{|w|, n} < c′_{4}.

A 4. tétel akkor is igaz marad, ha konstans együtthatós lineáris rekurzív sorozat helyett olyan sorozatot választunk, amelyre

(4.1.5.)  G_{n} = a_{n}G_{n−1} + b_{n}G_{n−2}  n ≥ 2,

ahol {a_{n}} és {b_{n}} egész számok periodikus sorozatai, Pethő [1981].

Az ellenkező irányban Pethő [1982a] és [1981] bármely K ≥ 2 –re példákat konstruált olyan sorozatokra, amelyekre {b_{n}} = {1}, {a_{n}} korlátos és az ezekkel (5) által definiált sorozatban végtelen sok K –dik hatvány és nem K –dik hatvány van.

Van der Poorten [1988] ugyanakkor bebizonyította, hogy ha |α_{1}| > |α_{j}| j = 2, …, t és G_{n} = x^{h} teljesül minden n –re, akkor G_{n} = (H_{n})^{h}, ahol H_{n} is egy rekurzív sorozat. Ezt az állítást nem lehet minden további nélkül gyengíteni például úgy, hogy G_{n} = x^{h} teljesüljön végtelen sok n –re, lásd a következő részben tárgyalandó kérdéseket.

Az első tétel bizonyítása előtt, a továbbiak szempontjából kulcsfontosságú lemmát bizonyítunk, amelyet Shorey és Stewart [1987] cikkéből vettünk át.

4.1.5. Lemma. Legyen α ∈ L, |α| ≥ 1, egy valós algebrai szám, ahol L egy Q felett ℓ –ed fokú számtest. Legyenek továbbá a, b ∈ L; a, b ≠ 0, δ > 0 valós szám. Amennyiben

(4.1.6.)  wx^{q} = aα^{n} + b, |b| < |α|^{n(1−δ)}

teljesül n, |x| > 1, q > 1, w ∈ Z_{S} számokra, akkor

(4.1.6a.)  q < c_{5},

ha |x| = 1, akkor

(4.1.6b.)  max{n, |w|} < c_{6},

végül ha x = 0, akkor n < c_{7} ahol c_{5} és c_{6}, c_{7} csak P, ℓ, a, α és δ –tól függő effektíven kiszámítható konstansok.

Terjedelmi okok miatt bizonyítás nélkül közöljük a következő Kotovtól [1976] származó

4.1.6. Lemma. Legyen K egy k –ad fokú algebrai számtest és 2 ≤ m < n egészek. Legyen G(x, y) = αx^{m} + βy^{n}, ahol α, β ∈ Z_{K} nullától különbözőek. Ha x, y ∈ Z_{K} relatív prímek és a N_{K/Q}(G(x, y)) legnagyobb prímosztója kisebb, mint c, akkor max{N_{K/Q}(x)|, |N_{K/Q}(y)|} < c_{1}, ahol c_{1} egy c, α, β, m, n és K paramétereitől függő effektíven kiszámítható konstans.

Az 5. Lemma bizonyítása. Legyenek n, x, q, w, (6) megoldásai. Akkor

|\frac{|w||x|^{q}}{|a||α|^{n}} − 1| = \frac{|b|}{|a||α|^{n}} < |α|^{−nδ} < \frac{1}{2}.

Az utolsó egyenlőtlenség természetesen csak minden elég nagy n –re teljesül. Ebből az 1.3.5. Lemma alkalmazásával kapjuk, hogy

(4.1.7.)  | log \frac{|w|}{|a|} − n log |α| + q log |x|| < 2 log 2|α|^{−nδ}.
Legyenek r_{1}, …, r_{s} ∈ Z_{≥0} olyanok, hogy w = p_{1}^{r_{1}} · . . . · p_{s}^{r_{s}}. Akkor (6)–ból
(4.1.8.)  r_{i} ≤ c_{8}n

következik.

A bizonyítás további részében különbséget kell tennünk az |x| > 1 és |x| ≤ 1 esetek között.

x = 0 –ra az állítás nyilvánvaló.

Ha |x| = 1, akkor (7)–ből

| ∧_{1} | = |r_{1} log p_{1} + … + r_{s} log p_{s} − log |a| − n log |α|| < 2 log 2|α|^{−nδ}

következik. b ≠ 0 miatt ∧_{1} ≠ 0, így az 1.3.2. tétel és (8) következtében

| ∧_{1} | > exp(−c_{9} log n),

melyet összevetve a | ∧_{1} | –re vonatkozó felső becsléssel n < c_{10} –et kapjuk, melyből ismét csak (8) miatt következik (6b).

Maradt tehát az |x| > 1 eset. Ekkor (7)–ből kapjuk, hogy

| ∧_{2} | = |r_{1} log p_{1} + … + r_{s} log p_{s} − log |a| − n log |α| + q log |x|| < 2 log 2|α|^{−nδ}.

Ismét látjuk, hogy ∧_{2} ≠ 0. Most az 1.3.3. tételből B′ = q, B = max{r_{1}, …, r_{s}, n} választással

| ∧_{2} | > exp \{−c_{11} (log q log x + \frac{n}{q})\}

következik. Összevetve a | ∧_{2} | –re vonatkozó alsó és felső becslést látható, hogy

c_{12}n < log q log x + \frac{n}{q}.

Nyilvánvalóan feltehető, hogy q > \frac{c_{12}}{2} n, így

(4.1.9.)  (c_{12} − \frac{2}{c_{12}} ) n < log q log |x|.

Másrészt (6)–ból q log |x| ≤ log |w| + q log |x| < c_{13} n. Ezt összevetve (9)–el

q < c_{13} (c_{12} − \frac{2}{c_{12}} )^{−1} log q

következik, amelyből közvetlenül kapjuk (6a)–t.

Az 1. tétel bizonyítása. A feltételek miatt α_{1}, …, α_{t} algebrai egész számok és mivel |α_{1}| > |α_{j}| (j = 2, …, t) ezért α_{1} valós. Mivel a sorozat nem elfajuló |α_{1}| = 1 nem lehetséges.

Ha t ≥ 3, akkor feltehető, hogy |α_{2}| ≥ |α_{j}| (j = 3, …, t) is teljesül. Legyen d_{1} = max{deg λ_{i}(x)|i = 2, …, t}, akkor

(4.1.10.)  |B_{1}(n)| = |λ_{2}(n)α_{2}^{n} + … + λ_{t}(n)α_{t}^{n}| ≤ c_{8}n^{d_{1}}|α_{2}|^{n}.
Tegyük fel, hogy n, |x| > 1, w ∈ Z_{S} olyanok, hogy wx^{q} ≠ λ_{1}α_{1}^{n} és
(4.1.11.)  |wx^{q} − G_{n}| ≤ |α_{1}|^{n(1−δ)}.

Belátjuk, hogy ekkor q ≤ c_{0}.

A nyilvánvaló

|wx^{q} − λ_{1}α_{1}^{n}| ≤ |wx^{q} − G_{n}| + |B_{1}(n)|

egyenlőtlenségből (10), (11) felhasználásával

|wx^{q} − λ_{1}α_{1}^{n}| ≤ α_{1}^{n(1−δ)} + c_{8}n^{d_{1}}|α_{2}|^{n}

következik. Legyen δ = 0, ha |α_{2}| ≤ 1 és δ = (log |α_{2}|/ log |α_{1}|) különben, valamint δ_{1} = min{δ/2, (1−δ)/2}, akkor azt kapjuk, hogy

(4.1.12.)  |wx^{q} − λ_{1}α_{1}^{n}| ≤ α_{1}^{n(1−δ_{1})},

hacsak n > c_{9}.

Ha n < c_{9}, akkor |x| > 1 miatt (11)–ből q < c_{0} következik. Ellenkező esetben (12)–ből az 5. lemma felhasználásával kapjuk, hogy q < c_{0}. Ezzel a tételt bebizonyítottuk.

A 2. tétel bizonyítása. Tegyük fel, hogy valamely T (x) ∈ Z[x] polinom mellett, amelyre H(T) ≤ H_{1} és deg T = m < qc_{1} teljesül, n, |x| > 1, q és w ∈ Z_{S} megoldása (1)–nek, amelyet írjunk át

(4.1.12a.)  wx^{q} = λ_{1}α_{1}^{n} + B_{1}(n) − T (x)

alakba. Tegyük fel először, hogy

(4.1.13.)  B_{1}(n) = T (x),

amikor is

(4.1.14.)  wx^{q} = λ_{1}α_{1}^{n}.

Ha α_{1} ∉ Q teljesülne, akkor (14) miatt α_{1} konjugáltjai között szerepelni kellene α_{1}ξ –nek, ahol ξ egy 1–től különböző n –dik egységgyök. Ez viszont gyöke lenne {G_{n}} karakterisztikus polinomjának ellentétben az |α_{1}| > |α_{j}| (j = 2, …, t) feltétellel. Tehát (14)–nek n ≥ 2 mellett vagy nincs megoldása, amikor is a bizonyítással készen vagyunk, vagy α_{1} ∈ Z. Az utóbbi esetben |α_{2}| > |α_{j}| miatt α_{2} is valós és |α_{2}| > 1.

Ekkor igaz, hogy

B_{1}(n) = λ_{2}(n)α_{2}^{n} (1 + ∑_{i=2}^{t} \frac{λ_{i}(n)}{λ_{2}(n)} (\frac{α_{i}}{α_{2}} )^{n})

minden olyan n –re, amelyre λ_{2}(n) ≠ 0. Az utóbbiakból azonban csak véges sok van. |α_{2}| > |α_{j}| (j = 3, …, t) miatt a zárójelben levő kifejezés 1–hez tart és így n > c_{8} –ra |B_{1}(n)| > \frac{1}{2}|λ_{2}(n)||α_{2}|^{n} > c_{9}|α_{2}|^{n}.

Másrészt (14)–ből |x| = (|λ_{1}/w| |α_{1}|^{n})^{1/q} így

|T (x)| ≤ (m + 1)H_{1}(|λ_{1}/w||α_{1}|^{n})^{m/q} ≤ mc_{10}|α_{1}|^{nm/q}.

Felhasználva most (13)–at kapjuk, hogy

c_{9}|α_{2}|^{n} < c_{10}m|α_{1}|^{nm/q},

amelyből m > c_{11} \frac{log |α_{2}|}{log |α_{1}|}q. Ezért, amennyiben c_{1} ≤ c_{11} \frac{log |α_{2}|}{log |α_{1}|}, akkor esetünkben n ≤ c_{8} és így q, |x| és |w| is effektíven felülről korlátozható.

A továbbiakban tehát feltehető, hogy wx^{q} ≠ λ_{1}α_{1}^{n}. Felhasználva (10)–et kapjuk, hogy

(4.1.15.)  |B_{1}(n)| < min \{\frac{1}{2}|α_{1}|^{n(1−δ)}, |λ_{1}||α_{1}^{n}|\}

hacsak n > c_{12}. Válasszuk meg c_{13} –at olyan nagyra, hogy

(4.1.16.)  |x|^{c_{13}} > 2|λ_{1}| + 1

teljesüljön. Ha c_{1} < 1−δ, akkor van olyan effektíven kiszámítható és csak a tételben felsorolt paraméterektől függő c_{14} > 0 konstans, hogy minden q > c_{14} –re

\frac{2|T (x)|}{|x|^{(q−c_{13})(1−δ)}} < \frac{2(m + 1)H_{1}|x|^{m}}{|x|^{(q−c_{13})(1−δ)}} < 1.

Elosztva (12a)–t |x|^{q−c_{13}} –mal kapjuk a

2|λ_{1}| + 1 < w|x|^{c_{13}} ≤ \frac{|λ_{1}α_{1}^{n} + B_{1}(n)|}{|x|^{q−c_{13}}} + 1

egyenlőtlenséget. Ebből (15) felhasználásával

2|λ_{1}||x|^{q−c_{13}} < 2|λ_{1}||α_{1}|^{n},

azaz

|x| < |α_{1}|^{n/(q−c_{13})}

következik. Így

|T (x)| < \frac{1}{2}|x|^{(q−c_{13})(1−δ)} < \frac{1}{2}|α_{1}|^{n(1−δ)},

amelyet (15)–tel kombinálva kapjuk az

|wx^{q} − λ_{1}α_{1}^{n}| < |α_{1}|^{n(1−δ)}

egyenlőtlenséget. Ha most q > max{c_{0}, c_{14}}, ahol c_{0} az 1. tételben definiált konstans, akkor ellentmondást kapunk. Ez bizonyítja a 2. tétel állítását.

A 3. tétel bizonyítása. A c_{8}, c_{9}, … számok pozitív, csak P és {G_{n}} –től függő effektíven kiszámítható konstansokat jelölnek.

Először is nyilvánvaló, hogy

(4.1.17.)  |G_{n}| < e^{c_{8}n}.

(4) és (2)–ből kapjuk, hogy

wx^{q} = λ_{1}α_{1}^{n} + λ_{2}(n)α_{2}^{n} + … + λ_{t}(n)α_{t}^{n}.

A feltevésünk szerint ord_{P}(α_{j}/α_{1}) > 1 (j = 2, …, t), így

(4.1.18.)  ord_{P}(wx^{q}/(λ_{1}α_{1}^{n}) − 1) = ord_{P}(λ_{1}^{−1}λ_{2}(n)(α_{2}/α_{1})^{n} + … + λ_{1}^{−1}λ_{t}(n)(α_{t}/α_{1})^{n})
≥ n − c_{9} log n.

Legyen w = (−1)^{r_{0}}p_{1}^{r_{1}} … p_{s}^{r_{s}}, ahol r_{i} ≥ 0, akkor (17) és (4)–ből nyilvánvaló, hogy r_{i} ≤ c_{10}n. Mivel wx^{q} ≠ λ_{1}α_{1}^{n} és (p, q) = 1 alkalmazhatjuk az 1.3.4. tételt B′ = q választás mellett, melynek következtében

ord_{P}(wx^{q}/(λ_{1}α_{1}^{n}) − 1) < c_{11}(log q log x + n/q).

Összehasonlítva ezt az egyenlőtlenséget (18)–al kapjuk, hogy

(4.1.19.)  n − c_{9} log n − c_{11} \frac{n}{q} < c_{11} log q log x.

Feltehető, hogy q > 3c_{11}, hiszen különben az állításunk teljesül. Hasonlóképpen feltehető az is, hogy c_{1} log n < \frac{n}{3}. Ellenkező esetben n < c_{12} és így (17) és (4) miatt q < c_{13} teljesülne. Ezek szerint (19) átírható

n < 3c_{11} log q log |x|

alakba. Most (17), (4) és az utolsó egyenlőtlenségből

q log |x| < c_{14} log q log |x|

következik, így tehát q < c_{3}, amint állítottuk.

4.1.7. Lemma. Tegyük fel, hogy vagy |α_{1}| > |α_{j}|, (j = 2, …, t) teljesül, vagy van olyan P prímideál Z_{K} –ból, amelyik a p prímszám felett van és amelyre ord_{P}α_{1} < ord_{P}α_{j}, (j = 2, …, t) teljesül. Akkor a

(4.1.20.)  G_{n} = w

minden n ∈ Z_{≥0}, w ∈ Z_{S}, w ≠ λ_{1}α_{1}^{n} megoldására

max{|w|, n} < c

igaz, ahol c csak P és {G_{n}} –től, illetve csak P, p és {G_{n}} –től függő, effektíven kiszámítható konstans.

Bizonyítás. Először vizsgáljuk azt az esetet, amikor |α_{1}| > |α_{j}|. Ha n és w a (20) megoldásai, akkor (11)–et felhasználva

|w − λ_{1}α_{1}^{n}| = |B_{1}(n)| ≤ |α_{1}|^{n(1−δ)}

következik valamely δ > 0 számmal. A w ≠ λ_{1}α_{1}^{n} feltétel miatt B_{1}(n) ≠ 0, így az 5. lemmából közvetlenül következik lemmánk állítása.

Most tekintsük azt az esetet, amikor az alternatív feltétel áll fenn. Legyen c_{3} a 3. tételben leírt konstans és q ≥ c_{3} a legkisebb olyan szám, amelyik p –hez relatív prím. Ekkor w prímfelbontásában minden prímszám q –nál kisebb kitevővel fordul elő, hiszen különben ellentmondásba kerülnénk a 3. tétellel. Tehát |w| < c.

Feltehető tehát, hogy h(α_{1}) > h(w/λ_{1}) esetleg nem az eredeti α_{1} –el, hanem valamelyik hatványával. A w ≠ λ_{1}α_{1}^{n} feltétel miatt (18) bal oldalára most is használható az 1.3.4. tétel B′ = n választással. Ebből és (18)–ból az

n − c_{9} log n ≤ c_{10} log n + \frac{c_{11}}{n}

egyenlőtlenséget kapjuk alkalmas c_{10} és c_{11} konstansokkal, amelyből n < c következik, így a lemmát ebben az esetben is bebizonyítottuk.

A 4. tétel bizonyítása. A c_{8}, c_{9}, … jelek csak P és {G_{n}} –től függő effektíven kiszámítható konstansokat jelölnek.

Legyen G_{n} = λ_{1}α_{1}^{n} + λ_{2}α_{2}^{n}, n ≥ 0. Tegyük fel, hogy w, x, n, q, |x| > 1 megoldása (4)–nek. wx^{q} = λ_{1}α_{1}^{n} most nem állhat fenn, hiszen akkor {G_{n}} elsőrendű rekurzív sorozat lenne.

Ha α_{1} és α_{2} valósak, akkor {G_{n}} nem elfajuló tulajdonsága miatt feltehető, hogy |α_{1}| > |α_{2}|. (4)–ből következik, hogy ha n elég nagy, akkor

|wx^{q} − λ_{1}α_{1}^{n}| = |λ_{2}||α_{2}|^{n} < |α_{1}|^{nδ},

ahol log |α_{2}|/ log |α_{1}| < δ < 1. Ebből az egyenlőtlenségből az 1. tétel szerint q < c_{8} következik.

Tegyük fel most, hogy α_{1} nem valós, akkor persze α_{2} sem az. Ekkor |α_{1}|/|α_{2}| = 1, így a valós esetben alkalmazott gondolatmenet nem használható. Most azonban α_{1}/α_{2} nem lehet egység. Legyen K = Q(α_{1}), akkor van olyan P prímideál Z_{K} –ban, hogy ord_{P}α_{1} > ord_{P}α_{2}. Tegyük fel, hogy p a P fölött levő prímszám Z –ben. Ha (4) megoldható és q p –nél nagyobb prímszám, akkor a 3. tételből következik, hogy q < c_{8}.

Ha (4)–nek |x| = 1 –re van w, n megoldása, akkor w ≠ λ_{1}α_{1}^{n} a fent leírtak szerint. A valós esetben beláttuk, hogy |α_{1}| > |α_{2}|, a komplexben pedig, hogy van olyan P prímideál Z_{K} –ban, amelyre ord_{P}α_{1} > ord_{P}α_{2}. Így a 7. lemma feltételei teljesülnek, következésképpen a tétel második állítása igaz.

Jelölje [x] az x által generált ideált Z_{K} –ban és legyen

([α^{2}], [β^{2}]) = [k],

ahol k ∈ Z. Akkor minden n ≥ 1 –re

G_{2n} = k^{n} (λ_{1} (\frac{α_{1}^{2}}{k} )^{n} + λ_{2} (\frac{α_{2}^{2}}{k} )^{n}) és

G_{2n+1} = k^{n} (λ_{1}α_{1} (\frac{α_{1}^{2}}{k} )^{n} + λ_{2}α_{2} (\frac{α_{2}^{2}}{k} )^{n})

teljesül. Ha G_{2n} vagy G_{2n+1} egyenlő wx^{q} –al akkor k^{n} osztja wx^{q} –t és ekkor wx^{q}k^{−n} = w_{1}x_{1}^{q}, ahol 0 < w_{1} ≤ w. Mivel q korlátos és w_{1} –nek csak véges sok prímosztója lehet, ezért w_{1} –re csak véges sok lehetőség van. Ha x_{1} = 1, akkor a 4. tétel második állításából |w_{1}|, n < c_{9}, amelyből q, |x| < c_{9} következik, és így a tételt bebizonyítottuk. Feltehető tehát, hogy x_{1} > 1.

Legyen tehát

(4.1.21.)  wx^{q} = λ_{1}α_{1}^{n} + λ_{2}α_{2}^{n},

ahol |x| > 1 és ([α_{1}], [α_{2}]) = 1. Alkalmas r ∈ Z –vel megszorozva (21)–et elérhető, hogy rλ_{1} és rλ_{2} algebrai egész szám legyen. Ez az r korlátos. Így feltehető az is, hogy λ_{1} és λ_{2} algebrai egész számok. Mivel ([x], [α_{1}])/[λ_{2}], ezért w –t alkalmasan megváltoztatva azt látjuk, hogy ([x], [α_{1}]) = 1 is feltehető.

Ha q ≥ 3 ekkor legyen n = 2m + δ, ahol δ = 0 vagy 1. Ekkor (21)–ből

wx^{q} − λ_{1}α_{1}^{δ}(λ_{1}^{m})^{2} = λ_{2}α_{2}^{2}

következik. Ha pedig q = 2, akkor n = 3m + δ, 0 ≤ δ ≤ 2 –t választva

wx^{2} − λ_{1}α_{1}^{δ}(λ_{1}^{m})^{3} = λ_{2}α_{2}^{n}.

A 6. lemmából következik, hogy |x| < c_{10}, így tehát

|G_{n}| < c_{11},

amelyből a 6. lemma, illetve a 3. tétel bizonyításának gondolatmenetét követve n < c_{12} következik. Ezzel a tétel bizonyítását befejeztük.

4.2. Végtelen sok polinomérték rekurzív sorozatokban

Az előző részben láttuk, hogy az (1.1) egyenletnek általános feltételek mellett csak véges sok megoldása lehet. Legyen a továbbiakban P (x) = a_{k}x^{k} + … + a_{0} ∈ Z_{K}[x]; ahol K egy algebrai számtest és a_{k} ≠ 0. Most azt a problémát vizsgáljuk, hogy mikor lehet a

(4.2.1.)  G_{n} = P (x)

egyenletnek végtelen sok n ∈ Z, x ∈ Z_{K} megoldása.

A Lucas sorozatok, melyeket az L_{n} = α^{n} + β^{n}, n ≥ 0 definiál, ahol α egység egy valós, másodfokú számtestben és β az α konjugáltja, egyik egyszerű tulajdonsága, hogy L_{2n} = L_{n}^{2}+2(−1)^{n}. Így az L_{n} = x^{2}+2, illetve L_{n} = x^{2} − 2 egyenletnek végtelen sok n, x ∈ Z megoldása van, tehát a problémafelvetés nem triviális.

Jelölje T_{n}(x), n ≥ 0 az n –dik Csebisev polinomot (pontosabban elsőfajú Csebisev polinomot), azaz legyen T_{0}(x) = 2, T_{1}(x) = x és

T_{n+1}(x) = xT_{n}(x) − T_{n−1}(x), n ≥ 1 − re.

A cos(n arccos x) = \frac{1}{2}T_{n}(2x) reláció a klasszikus Csebisev polinom és az általunk definiált T_{n}(x) polinomok között egyszerűen ellenőrizhető. Egyszerűen látható az is, hogy T_{n}(x) fokszáma n és n ≥ 1 –re 1 főegyütthatós, továbbá teljesül rá az

(4.2.2.)  x^{n} + x^{−n} = T_{n}(x + x^{−1})

azonosság.

Ebben a részben {G_{n}} másodrendű rekurzív sorozatot jelöl Z_{K} felett G_{0}, G_{1} kezdőtagokkal és G_{n+1} = AG_{n} − BG_{n−1}, n ≥ 1 rekurzióval. {G_{n}} diszkriminánsát – A^{2} − 4B –t – D –vel, míg karakterisztikus polinomjának gyökeit α és β –val jelöljük. Használni fogjuk még az

a = G_{1} − βG_{0}, b = G_{1} − αG_{0}

és

C = ab = G_{1}^{2} − AG_{1}G_{0} + BG_{0}^{2}

jelöléseket.

A bizonyítandó fő eredmények az alábbiak:

4.2.1. Tétel. Legyen {G_{n}} másodrendű rekurzív sorozat Z_{K} felett, amelyre B m –edik egységgyök és P (x) ∈ Z_{K}[x]. Tegyük fel, hogy (1) –nek végtelen sok n ∈ Z, x ∈ Z_{K} megoldása van. Ha {G_{n}} nem elfajuló, és k ≥ 2, akkor van olyan egyértelműen meghatározott 0 ≤ h ≤ m, hogy

(4.2.3a.)  P (x) = ε\sqrt{q}T_{k} (\frac{2k|a_{k}|}{η\sqrt{E}}x + \frac{2a_{k−1}}{η\sqrt{E}} ) ,

ahol ε, η = 1 vagy −1; q = B^{h}C/D; E = 2(k − 1)a_{k−1}^{2} − 4ka_{k}a_{k−2} ≠ 0 és

(4.2.3b.)  ε\sqrt{q} (\frac{2k|a_{k}|}{η\sqrt{E}})^{k} = a_{k}

Ezt a tételt K = Q –ra Nemes and Pethő [1986] bizonyították. Ugyanezen feltétel mellett az előbbi, illetve Pethő [1986a] dolgozatokban a megoldások halmazának struktúráját is le tudtuk írni.

4.2.2. Tétel. Legyen {G_{n}} olyan másodrendű rekurzív sorozat Z felett, melyre |B| = 1 és P (x) ∈ Z[x]. Tegyük fel, hogy (1) –nek végtelen sok n, x ∈ Z megoldása van. Akkor

(i) Ha α ≠ β, akkor azon n ∈ Z –k halmaza, amelyek megoldásai (1) –nek egy véges halmaznak és véges sok számtani sorozatnak az uniója.

(ii) Ha k > 1, akkor a k|a_{k}|x + a_{k−1} egész számok halmaza, ahol x végigfut (1) megoldásain egy véges halmaznak és véges sok olyan {G_{i,n}} másodrendű, D_{i} diszkriminánsú rekurzív sorozatnak az uniója, melyekre D/D_{i} négyzetszám.

Legyen α egység egy valós másodfokú számtestben és jelölje β az α konjugáltját valamint legyen n ≥ 0 –ra

(4.2.4.)  R_{n} = \frac{α^{n} − β^{n}}{\sqrt{D}} , L_{n} = α^{n} + β^{n},

ahol D = (α − β)^{2}. Ezekre a sorozatokra a 2. tételnél erősebb állítást is bizonyítani tudtunk (Pethő [1986a]).

4.2.3. Tétel. Tegyük fel, hogy D négyzetmentes, és (1) –nek {G_{n}} = {R_{n}} –re végtelen sok n, x ∈ Z megoldása van. Akkor k páratlan, k|n és vannak olyan ℓ_{0}, ℓ_{1} ∈ Z, hogy ℓ_{1}x + ℓ_{0} = R_{n/k} teljesül (1) összes n, x megoldására.

4.2.4. Tétel. Tegyük fel, hogy D négyzetmentes, és (1) –nek {G_{n}} = {L_{n}} –re végtelen sok n, x ∈ Z megoldása van. Akkor k|n és vannak olyan ℓ_{0}, ℓ_{1} ∈ Z, hogy vagy ℓ_{1}x + ℓ_{0} = R_{n/k} vagy ℓ_{1}x + ℓ_{0} = L_{n/k} teljesül (1) összes n, x megoldására.

Példák. Legyenek α = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, β = \frac{1−\sqrt{5}}{2} és \{R_{n}\} illetve \{L_{n}\} (4)–el definiálva. Ekkor D = 5 és \{R_{n}\} a Fibonacci, míg {L_{n}} a Lucas sorozat. A 3. és 4. tételnek a sorozatokra vonatkozó feltételei teljesülnek. Legyen először k = 3. Akkor egyszerűen ellenőrizhető, hogy

R_{3n} = 5R_{n}^{3} − 3(αβ)^{n}R_{n}.

Így az

R_{n} = 5x^{3} ± 3x

egyenletnek végtelen sok megoldása van. A jobb oldalon álló polinom a 3. tétel szerint lineáris transzformáció erejéig egyértelműen meg van határozva.

A bevezetésben rámutattunk arra, hogy {L_{n}} –re (1) páros k –ra is megoldható. Példánk a 4. tételben leírt második esetnek felel meg. Mivel

L_{2n} = 5R_{n}^{2} + 2(αβ)^{n}

is egyszerűen belátható, így az első eset is előfordulhat.

Megjegyzés. Fenti tételeinkben mindvégig feltétel, hogy B egységgyök. A bizonyításokban ezt lényegesen kihasználjuk. Érdekes megoldatlan probléma a következő: Legyenek u, v multiplikatívan független egész számok. Bizonyítandó, hogy bármely legalább másodfokú egész együtthatós P (x) polinomra az

u^{n} − v^{n} = P (x)

egyenletnek véges sok n, x ∈ Z megoldása van.

Az 1. Tétel felhasználásával a |B| = 1 feltételnek eleget tevő másodrendű rekurzív sorozatokra tovább tudjuk élesíteni az 1.2. Tételt.

4.2.5. Tétel. Legyen {G_{n}} nem elfajuló másodrendű rekurzív sorozat, amelyre |B| = 1. Legyen továbbá P (x) ∈ Z[x] és 0 ≠ d ∈ Z. Ekkor létezik olyan csak A, G_{0}, G_{1}, d és P (x) együtthatóitól függő effektíven kiszámítható c konstans, hogy a

(4.2.5.)  G_{n} = dx^{q} + P (x)

egyenlet minden n, |x| > 1, q > deg P + 2 megoldására

max{n, |x|, q} < c.

teljesül.

A tételek bizonyításához az alábbi két lemmára van szükségünk.

4.2.6. Lemma. (Schinzel [1982, Lemma 6, 26. old]) Legyen K egy 2 –től különböző karakterisztikájú test; Q(x), R(x) ∈ K[x] valamint q_{1}, q_{2}, ξ_{1}, ξ_{2} ∈ K olyanok, hogy q_{1} ≠ q_{2} és ξ_{1} ≠ ξ_{2}. Akkor a

(4.2.6.)  (Q(x) − q_{1})(Q(x) − q_{2}) = (x − ξ_{1})(x − ξ_{2})R^{2}(x)

polinomegyenletből következik, hogy

(4.2.7.)  Q(x) = L(T_{deg Q}(M(x))),

ahol

L(x) = \frac{q_{1} − q_{2}}{4} x + \frac{q_{1} + q_{2}}{2} és M(x) = \frac{4}{ξ_{1} − ξ_{2}} x − 2\frac{ξ_{1} + ξ_{2}}{ξ_{1} − ξ_{2}} .

Bizonyítás. Jól ismert, hogy K[x] euklideszi gyűrű, így benne érvényes az egyértelmű prímfaktorizáció tétele. Ezért az (5) egyenletből következik, hogy vagy

(4.2.8.)  Q(x) − q_{i} = (x − ξ_{i})R_{i}^{2}(x) i = 1, 2

vagy

(4.2.9.)  Q(x) − q_{1} = (x − ξ_{1})(x − ξ_{2})R_{3}^{2}(x) és Q(x) − q_{2} = R_{4}^{2}(x),

ahol R_{i}(x) ∈ \overline{K}[x].

Legyen

S(x) = L^{−1}(Q(M^{−1}(x))).

Egyszerű számolással belátható, hogy

L^{−1}(x) = \frac{4}{q_{1} − q_{2}} x − 2\frac{q_{1} + q_{2}}{q_{1} − q_{2}}

és

M^{−1}(x) = \frac{ξ_{1} − ξ_{2}}{4} x + \frac{ξ_{1} + ξ_{2}}{2} .

Felhasználva ezeket (8)–ból következik,

(4.2.10.)  \frac{q_{1} − q_{2}}{4} (S(x) ± 2) = \frac{ξ_{1} − ξ_{2}}{4} (x ± 2)R2_{\frac{3±1}{2}} (M_{′}^{−1}(x))

továbbá (9)–ből következik

(4.2.11.)  \frac{q_{1} − q_{2}}{4} (S(x) − 2) = (\frac{ξ_{1} − ξ_{2}}{4} )^{2} (x^{2} − 4)R_{3}^{2}(M^{−1}(x)) és

\frac{q_{1} − q_{2}}{4} (S(x) + 2) = R_{4}(M^{−1}(x))^{2}.

Alkalmazzuk most (10) és (11)–re az x = z + z^{−1} helyettesítést. Mindkét esetben azt kapjuk, hogy

S(z + z^{−1}) − 2 = z^{− deg S}S_{1}(z)^{2}és (4.2.12.)

S(z + z^{−1}) + 2 = z^{− deg S}S_{2}(z)^{2},

ahol S_{i}(z) ∈ \overline{K}[z], deg S_{i} = deg S = deg Q (i = 1, 2) és S_{1}(1) = 0. Kivonva a második egyenletből az elsőt és beszorozva z^{deg S} –el azt kapjuk, hogy

(4.2.13.)  4z^{deg S} = (S_{2}(z) − S_{1}(z))(S_{2}(z) + S_{1}(z)).

Mivel K karakterisztikája 2–től különbözik, így a fokszámokra vonatkozó fenti egyenlőség miatt max{deg(S_{2}− S_{1}), deg(S_{2} + S_{1})} = deg S, akkor viszont (12) szerint min{deg(S_{2} − S_{1}), deg(S_{2} + S_{1})} = 0. Az általánosság csorbítása nélkül feltehető, hogy deg(S_{2} − S_{1}) = 0, azaz S_{2} − S_{1} = s ∈ \overline{K}. Ezen ismeretünkkel (13)–at átalakítva kapjuk, hogy

4z^{deg S} = s(2S_{1}(z) + s),

amelyből z = 1 helyettesítéssel kapjuk, hogy s^{2} = 4. Az utolsó egyenlőségből

S_{1}(z) = \frac{4z^{deg S} − s^{2}}{2s} = \frac{2}{s}(z^{deg S} − 1).

Visszahelyettesítve ezt (12)–be

S(z + z^{−1}) − 2 = z^{− deg S} \frac{4}{s^{2}} (z^{deg S} − 1)^{2} = z^{deg S} − 2 + z^{− deg S},

azaz

S(z + z^{−1}) = z^{deg S} + z^{− deg S},

így (2) szerint

S(x) = T_{deg S}(x)

és ezzel a lemmát bebizonyítottuk.

4.2.7. Lemma. Legyen {G_{n}} olyan másodrendű rekurzív sorozat, hogy G_{0}, G_{1}, A, B ∈ Z_{K} és ezen felül még B egységgyök. Legyen továbbá P (x) ∈ Z_{K}[x]. Ha (1) –nek végtelen sok n ∈ N, x ∈ Z_{K} megoldása van, akkor van olyan R(x) ∈ K[x] másodfokú négyzetmentes polinom és egyértelműen meghatározott B_{1} = B^{h}, hogy

(4.2.14.)  DP^{2}(x) + 4B_{1}C = P′(x)^{2}R(x)

polinomazonosság teljesül, ahol P′(x) a P (x) deriváltját jelöli.

Bizonyítás. A bevezetőben használt jelölésekkel

G_{n} = \frac{aα^{n} − bβ^{n}}{\sqrt{D}}

teljesül minden n ≥ 0 –ra. Legyen H_{n} = aα^{n} + bβ^{n} n ≥ 0 –ra. Akkor H_{n} ∈ Z_{K} és

DG_{n}^{2} + 4CB^{n} = H_{n}^{2}

teljesül minden n ≥ 0 –ra. Legyen B rendje m. Mivel (1)–nek végtelen sok megoldása van n –ben, van olyan mod m maradékosztály Z –ben, amely végtelen sok megoldást tartalmaz. Legyen egy ilyen maradékosztály reprezentánsa h. Így a

(4.2.15.)  DP (x)^{2} + 4CB_{1} = H_{n}^{2}

egyenletnek végtelen sok H_{n}, x ∈ Z_{K} megoldása van. (15) egy elliptikus egyenlet, amelynek Le Vegue [1964] tétele szerint véges sok megoldása van, ha a Q(x) = DP (x)^{2} +4CB_{1} polinomnak van három egyszeres gyöke. Legyen S(x) = (Q(x), Q′(x)). Mivel S(x)|Q′(x) = 2DP (x)P′(x) és S(x)|DP (x)^{2} + 4CB_{1} továbbá C ≠ 0 így (S(x), P (x)) = 1. Tehát S(x)|P′(x), azaz deg S(x) ≤ k − 1. Ha deg S(x) < k − 1 teljesül, akkor Q(x)

–nek legalább három egyszeres gyöke van és így (15)–nek csak véges sok megoldása. Tehát szükségképpen deg S(x) = k − 1, ami azt jelenti, hogy Q(x) gyökei pontosan kettő kivételével egyszeresek, így (14) teljesül.

Tegyük fel, hogy van olyan B′_{1} = B^{h_{1}} ≠ B_{1}, hogy a h_{1} reprezentánsú mod m maradékosztály is tartalmazza (1) végtelen sok megoldását. Akkor a fentiek alapján van olyan R_{1}(x) ∈ K[x], hogy

DP^{2}(x) + 4B′_{1}C = P′(x)^{2}R_{1}(x).

Összehasonlítva ezt (14)–el és felhasználva, hogy deg P′ ≥ 1 ellentmondásra jutunk. Így h egyértelműen van meghatározva és a lemmát bebizonyítottuk.

4.2.8. Tétel. Legyenek {G_{n}} és P (x) ugyanolyanok, mint a 7. lemmában. Ha P (x) –re nem teljesül (14) B egyetlen hatványára sem, akkor van olyan csak A, B, G_{0}, G_{1}, H(P) és K –tól függő effektíven kiszámítható c_{1} konstans, hogy (1) minden n, x ∈ Z, G_{n} ≠ 0, ±1 megoldására

max{n, |x|} < c_{1}.

Bizonyítás. A 7. lemma bizonyítása során megmutattuk, hogy (1)–ből következik (15), ahol most B_{1} = B^{h} valamely h ≤ m –re. Mivel (14) nem teljesül, ezért a Q(x) = DP (x)^{2} + 4CB_{1} polinomnak legalább három egyszeres gyöke van. Ekkor pedig Baker [1969] tételéből következik, hogy (15)–nek és így (1)–nek is csak véges sok effektíven kiszámítható megoldása van.

Az 1. tétel bizonyítása Tegyük fel tehát, hogy (1)–nek végtelen sok megoldása van. Akkor a 7. lemma szerint van olyan egyértelműen meghatározott 0 ≠ B_{1} ∈ Z_{K} és R(x) = r_{2}x^{2} + r_{1}x + r_{0} másodfokú, négyzetmentes polinom K felett, hogy

(4.2.16.)  DP^{2}(x) + 4B_{1}C = P′(x)^{2}R(x)

teljesül. A bal oldalon álló polinom legalább negyedfokú. Összehasonlítva x^{2k}, x^{2k−1} és x^{2k−2} együtthatóit (16) bal és jobb oldalán kapjuk, hogy

(4.2.17.)  r_{2} = \frac{D}{k^{2}} , r_{1} = \frac{2Da_{k−1}}{k^{3}a_{k}} , r_{0} = \frac{D}{k^{4}a_{k}^{2}} [a_{k−1}^{2}(3 − 2k) + 4ka_{k}a_{k−2}].

Legyenek ξ_{1} − ξ_{2} ∈ \overline{K} az R(x) gyökei. Elosztva (16)–ot D –vel

(P (x) − 2\sqrt{q})(P (x) + 2\sqrt{q}) = (P′(x)/k)^{2}(x − ξ_{1})(x − ξ_{2}),

következik, ahol q = −\frac{B_{1}C}{D} ≠ 0. Az 6. lemma szerint tehát

P (x) = ε\sqrt{q}T_{k}(M(x)),

ahol ε = 1 vagy -1 és M(x) = \frac{4}{ξ_{1}−ξ_{2}} x − 2\frac{ξ_{1}+ξ_{2}}{ξ_{1}−ξ_{2}} . Végül (17) alapján ξ_{1} + ξ_{2} = −\frac{2a_{k−1}}{ka_{k}} és ξ_{1} − ξ_{2} =

η\sqrt{\frac{4a_{k−1}^{2}}{k^{2}a_{k}^{2}} − \frac{4}{k^{2}a_{k}^{2}} [a_{k−1}^{2}(3 − 2k) + 4ka_{k}a_{k−2}]} = \frac{2η}{k|a_{k}|} \sqrt{2a_{k−1}^{2}(k − 1) − 4ka_{k}a_{k−1}} = \frac{2η}{k|a_{k}|} \sqrt{E}, így

M(x) = \frac{2k|a_{k}|}{η\sqrt{E}}x − \frac{2}{η\sqrt{E}} · a_{k−1}

= \frac{2k|a_{k}|}{η\sqrt{E}}x − \frac{2a_{k−1}}{η\sqrt{E}} .

Emiatt P (x) –nek a tételben megadott alakúnak kell lennie. Felhasználva, hogy T (x) = x^{k} − kx^{k−2} + … és összehasonlítva (3a) bal és jobb oldalán x^{k}, x^{k−1} és x^{k−2} együtthatóit kapjuk, hogy

ε\sqrt{q} (\frac{2k|a_{k}|}{η\sqrt{E}})^{k} = a_{k},

és ezzel az állítást bebizonyítottuk.

A 2. tétel bizonyítása Legyen {G_{n}} egész számokból álló másodrendű rekurzív sorozat. A (15) és (16)–os egyenlőségekből

P′(x)^{2}R(x) = H_{n}^{2}

következik. (17) alapján k^{4}a_{k}^{2}R(x) ∈ Z minden x ∈ Z –re, így ha x az (1) egy megoldása, akkor vagy P′(x) = 0 vagy

k^{4}a_{k}^{2}R(x) = z^{2}

teljesedik valamely z ∈ Z –vel. Ezt az egyenletet tovább alakítva (17) felhasználásával a

(4.2.18.)  D(ka_{k}x + a_{k−1})^{2} − z^{2} = DE

egyenletet kapjuk, amelyből rögtön látható, hogy D|z^{2}. Legyen D = d_{1}d_{2}^{2}, ahol d_{1} négyzetmentes. Akkor a z = d_{1}d_{2}u jelöléssel

(4.2.19.)  (ka_{k}x + a_{k−1})^{2} − d_{1}u = E

közvetlenül adódik.

Legyen most K = Q(\sqrt{d_{1}}) és M a K –nak azon modulusa, amelyet 1 és \sqrt{d_{1}} generálnak. Legyen továbbá γ az M multiplikátorgyűrűje 1 normájú egységei csoportjának egy generátora. Feltehető nyilván, hogy γ > 1. Jelölje δ = δ^{(1)}, δ^{(2)} a δ ∈ K elem konjugáltjait. Az M modulusban, a 3.1.1. lemma szerint, csak véges sok páronként nem asszociált E normájú elem van, legyenek ezek δ_{1}, …, δ_{t}.

Legyen az x, u pár (19) egy megoldása, akkor vannak olyan egyértelműen meghatározott i, h egészek (1 ≤ i ≤ t) úgy, hogy

(4.2.20.)  2ka_{k}x + 2a_{k−1} = δ_{i}^{(1)}γ^{(1)^{h}} + δ_{i}^{(2)}γ^{(2)^{h}}.

Az 1. tétel, (2) és a δ_{i}^{(1)}γ^{(1)^{h}}δ_{i}^{(2)}γ^{(2)^{h}}/(η\sqrt{E})^{2} = 1 miatt

G_{n} = P (x) = ε\sqrt{q}T_{k} (\frac{δ_{i}^{(1)}γ^{(1)^{h}} + δ_{i}^{(2)}γ^{(2)^{h}}}{η\sqrt{E}} ) ,

azaz

(4.2.21.)  \frac{aα^{n} − bβ^{n}}{\sqrt{D}} = ε\sqrt{q} (\frac{δ_{i}^{(1)}}{η\sqrt{E}} )^{k} γ^{(1)^{kh}} + ε\sqrt{q} (\frac{δ_{i}^{(2)}}{η\sqrt{E}} )^{k} γ^{(2)^{kh}}.

Így van olyan 1 ≤ i ≤ t, hogy (21)–nek végtelen sok megoldása van. A feltételek alapján α ∈ K és β = α^{(2)}. Legyen τ > 1 a K alapegysége, akkor vannak olyan U, V > 0 egészek, hogy α = τ^{U} és γ = τ^{V} , így (21)–ből

\frac{aτ^{(1)Un} − bτ^{(2)Un}}{\sqrt{D}} = ε\sqrt{q} (\frac{δ_{i}^{(1)}}{η\sqrt{E}} )^{k} τ^{(1)^{V kh}} + ε\sqrt{q} (\frac{δ_{i}^{(2)}}{η\sqrt{E}} )^{k} τ^{(2)^{V kh}}.

Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy végtelen sok n –re 0 ≤ Un ≤ V kh, ekkor

τ^{(1)Un} (\frac{a}{\sqrt{D}} − ε\sqrt{q} (\frac{δ_{i}^{(1)}}{η\sqrt{E}} )^{k} τ^{(1)^{V kh−Un}} ) = \frac{bτ^{(2)^{Un}}}{\sqrt{D}} + ε\sqrt{q} (\frac{δ_{i}^{(2)}}{η\sqrt{E}} )^{k} τ^{(2)^{V kh}}.

A jobb oldalon álló szám a bal oldalinak a konjugáltja, ezek egyenlősége maga után vonja, hogy a szám racionális. A definíciók alapján ezen szám nevezője nem lehet tetszőlegesen nagy. Ha tehát a jobb oldali szám ≠ 0, akkor az abszolút értéke alulról korlátos. Ez ellentmondásban áll azzal, hogy ha n és így h is elég nagy, akkor |τ^{(2)}| < 1 miatt a szám tetszőlegesen kicsivé tehető. Tehát

\frac{a}{ε\sqrt{Dq}} (\frac{η\sqrt{E}}{δ_{i}^{(1)}} )^{k} = τ^{(1)^{V kh−Un}}

teljesül végtelen sok n, k párra, így van olyan W ∈ Z, hogy

(4.2.22.)  V kh − Un = W.

Legyen most (n, h) ∈ Z^{2} (22) egy megoldása, akkor gondolatmenetünket visszefelé követve található olyan x ∈ Z, hogy (n, x) ∈ Z^{2} az (1) megoldása. Mivel rögzített ε, η, q és i mellett W egyértelműen meghatározott és (22) megoldásai n –ben egy számtani sorozat elemei, ezért (i)–et bebizonyítottuk feltéve, hogy {G_{n}} nem elfajuló és deg P ≥ 2.

Ha {G_{n}} elfajuló, akkor {G_{n}} egy periódikus sorozat, amely rögtön maga után vonja (i)–et. Végül ha P elsőfokú, azaz P (x) = a_{1}x + a_{2}, akkor 1.4.2. tételből {(G_{n} mod a_{1})} periódikus amelyből (i) következik.

(22) megoldásai h –ban is számtani sorozatot alkotnak, így (20)–ból közvetlenül kapjuk (ii)-t.

A 3. tétel bizonyítása A definíció alapján R_{0} = 0, R_{1} = 1, így C = 1, q = \frac{1}{D} vagy −\frac{1}{D} és \{R_{n}\} nem elfajuló. Ha k páros, akkor (3b) nem teljesülhet. Tegyük fel tehát, hogy k páratlan, akkor (3b)–ből E = ε_{0}DF^{2} –et kapunk, ahol ε_{0} = sgn (q) és F ∈ Z, megállapíthatjuk továbbá, hogy \frac{2ka_{k}}{η\sqrt{E}} egy algebrai egész szám.

Így

\frac{2ka_{k}}{η\sqrt{E}} = \sqrt{ε_{0}D} \frac{2ka_{k}}{ηε_{0}DF} = \sqrt{ε_{0}D} \frac{ℓ_{1}}{ηε_{0}}

teljesül valamely ℓ_{1} egész számmal, amelyből 2ka_{k} = ℓ_{1}DF.

Összehasonlítva (3a) konstans tagját a fentiekhez hasonlóan adódik, hogy 2a_{k−1} = ℓ_{0}DF egy ℓ_{0} egész számmal. Felhasználva ezeket az eredményeket (18)–ból

D^{3}F^{2}(ℓ_{1}x + ℓ_{0})^{2} − z^{2} = 4ε_{0}D^{2}F^{2}

következik. Így DF |z azaz z = DF y, ekkor

D(ℓ_{1}x + ℓ_{0})^{2} − y^{2} = 4ε_{0},

amely azt jelenti, hogy ℓ_{1}x + ℓ_{0} = R_{m} valamilyen m ∈ Z –re. Most felhasználva (3a)–t

R_{n} = εT_{k}(\sqrt{ε_{0}D}R_{m})/\sqrt{ε_{0}D} − t

kapjuk, amelyből rögtön következik, hogy k|n és m = n/k.

A 4. tétel bizonyítása A definíció alapján L_{0} = 2, L_{1} = A és így C^{⋆} = −D^{⋆} valamint q = ε_{0}, ahol ε_{0} = 1 vagy -1. Ha E = F^{2} vagy −F^{2}, ahol F ∈ Z, akkor az állítást pontosan úgy bizonyíthatjuk, mint a 2. tételt.

Tegyük fel, hogy E = eF^{2}, ahol e, F ∈ Z, e négyzetmentes, és |e| ≠ 1. Akkor (3b)–ből

\frac{2ka_{k}}{η\sqrt{e}F} = \sqrt{e}\frac{2ka_{k}}{ηeF} = \sqrt{e}ℓ_{1}

és hasonlóan

\frac{2a_{k−1}}{η\sqrt{e}F} = \sqrt{e}ℓ_{0},

ahol ℓ_{0}, ℓ_{1} ∈ Z. Felhasználva (19)-et és végigosztva a kapott egyenletet F^{2} –el azt kapjuk, hogy

D^{⋆}e^{2}(ℓ_{1}x + ℓ_{0})^{2} − y^{2} = 4D^{⋆}e.

Nyilvánvaló ebből, hogy nem lehet e –nek olyan p prímosztója, amely nem osztja D^{⋆} –ot, így e = D^{⋆} vagy −D^{⋆}, de akkor ℓ_{1}x + ℓ_{0} = R_{m}, amelyből az előzőekhez hasonlóan k|n és m = n|k következik. Ezzel a tételt bebizonyítottuk.

Az 5. tétel bizonyítása Legyen k = deg P és H(P) = max{|a_{i}|, d}. Akkor az 1.2 tétel szerint az (5) minden n, |x| > 1, q ≥ 2 megoldására q ≤ max{c_{2}, k/c_{1}} = q_{1} teljesül, ahol c_{1} és c_{2} csak A, G_{0}, G_{1}, k és H(P) –től függő effektíven kiszámítható konstansok.

Tehát, amennyiben (5)–nek végtelen sok olyan megoldása volna, amelyekre q > k + 2, akkor volna olyan rögzített k + 2 < q_{0} < max{c_{2}, k/c_{1}} is, amelyikre ugyanez teljesül. Az 1. tétel szerint ekkor dx^{q_{0}} + P (x) (3a) alakú. Ez viszont lehetetlen, mert most E = 0.

4.3. A (2.1) egyenlet összes megoldásának meghatározása

Legyenek {G_{n}} Z – lineáris rekurzív sorozat, és P (x) ∈ Z[x] k –ad fokú. Ebben a részben módszert adunk a

(4.3.1.)  G_{n} = P (x)

egyenlet n, x ∈ Z megoldásainak megkeresésére. Az ismertetendő módszert először Wunderlich [1963] használta négyzetszámok keresésére Fibonacci sorozatban. Azóta többször is újrafelfedezték. A szerző [1983],

[1981] alkalmazta a Fibonacci sorozatban előforduló köbszámok és ötödik hatványok meghatározására. Erről a 4. részben részletesen írunk. Wall [1985] meghatározta n ≤ 10^{9} –ig ugyanebben a sorozatban a trianguláris számokat. Pinch [1988] szimultán Pell egyenletek megoldására alkalmazta. A módszert általános esetben Nemes [1989] fogalmazta meg.

Rokon módszert használt Mignotte [1984a], [1984b] és Pethő [1986a] a G_{n} = p^{z} típusú diofantoni egyenletek megoldására, ahol p egy prímszám, valamint Buchmann és társai [1990] az x^{3} + 1 polinom azon értékeinek meghatározására, amelyek véges sok rögzített prímszámmal oszthatóak.

Legyenek r = {r_{i}}_{i=0}^{ℓ_{r}−1} és s = {s_{i}}_{i=0}^{ℓ_{s}−1} 0, 1 sorozatok. Ezekre értelmezzük a következő müveletet:

r ∘ s = t, ahol (4.3.1.)

t_{i} = r_{i mod ℓ_{r}} s_{i mod ℓ_{s}} i = 0, …, [ℓ_{r}, ℓ_{s}] − 1.

Világos, hogy t is 0, 1 sorozat és hossza [ℓ_{r}, ℓ_{s}].

Ezzel a jelöléssel megfogalmazhatjuk a következő

4.3.1. Algoritmus.

Bemenet : G_{0}, …, G_{k−1}, A_{1}, …, A_{k} ∈ Z a {G_{n}} –t definiáló paraméterek P (x) ∈ Z[x] legalább másodfokú. m_{1}, …, m_{t} ∈ Z, amelyekre (m_{i}, A_{k}) = 1, i = 1, …, t

Kimenet : {s_{i}}_{i=0}^{ℓ_{s}−1} 0, 1 sorozat.
1. s ← {1}, ℓ_{s} ← 1, h ← 1
2. while h ≤ t do

for i ← 0 to k − 1 do G′_{i} ← G_{i} mod m_{h} H_{i} ← H_{i} Ha G_{i} ≡ P (x) (mod m_{h}) megoldható, akkor r_{i} ← 1 különben r_{i} ← 0.

H_{−1} ← m_{h}, i ← k

repeat H_{k} ← A_{1}H_{k−1} + … + A_{k}H_{0} mod m_{h} Ha H_{k} ≡ P (x) (mod m_{h}) megoldható, akkor r_{i} ← 1, különben r_{i} ← 0 for j ← 0 to k − 1 do H_{j} ← H_{j+1} j ← k repeat

j ← j − 1 until H_{j} ≠ G′_{j}

until j ≠ −1

ℓ_{r} ← i − k + 1

ℓ_{s} ← [ℓ_{r}, ℓ_{s}] (4.3.2.)

s ← s ∘ r
h ← h + 1

3. Output s. return.

4.3.2. Tétel. Legyen s = {s_{i}}_{i=0}^{ℓ_{s}−1} az 1. Algoritmus kimenete és jelölje ℓ_{i} a {G_{n} mod m_{i}}; i = 1, …, t sorozat periódushosszát. Akkor ℓ_{s} = [ℓ_{1}, …, ℓ_{t}] a {G_{n} mod [m_{1}, …, m_{t}]} sorozat periódushossza és a

(4.3.3.)  G_{n} ≡ P (x) (mod m_{i}) i = 1, …, t

kongruenciarendszer akkor és csakis akkor megoldható, ha s_{n mod ℓ_{s}} = 1.

Bizonyítás. Az algoritmus bemenetére vonatkozó feltételek és az 1.4.2. tétel miatt {G_{n} mod m_{i}} minden i = 1, …, t –re tisztán periodikus. Az algoritmusban ℓ_{r} az aktuális modulushoz tartozó periódushosszat jelöli, így az ℓ_{s} = [ℓ_{1}, …, ℓ_{t}] összefüggés (2) miatt nyilvánvalóan teljesül.

Most belátjuk, hogy az adott feltételek mellett a {G_{n}mod[m_{1}, m_{2}]} periódushossza ℓ_{12} megegyezik [ℓ_{1}, ℓ_{2}] –vel, amelyből az első állítás teljes indukcióval nyilvánvalóan következik. Mivel m_{1}|[m_{1}, m_{2}] így ℓ_{1}|ℓ_{12} és hasonlóan ℓ_{2}|ℓ_{12} ezért

(4.3.4.)  [ℓ_{1}, ℓ_{2}]|ℓ_{12}.

Másrészt

G_{[ℓ_{1},ℓ_{2}]+i} ≡ G_{i}(mod m_{j}) j = 1, 2; i = 0, …, k − 1,

amelyből

G_{[ℓ_{1},ℓ_{2}]+i} ≡ G_{i}(mod [m_{1}, m_{2}])

következik. Minthogy a k kezdőérték egyértelműen meghatározza a sorozatot, így ℓ_{12} ≤ [ℓ_{1}, ℓ_{2}] ez pedig (4)–el együtt implikálja az ℓ_{12} = [ℓ_{1}, ℓ_{2}] összefüggést.

Az algoritmusból valamint (1)–ből következik, hogy 0 ≤ n < ℓ_{s} –re (3) pontosan akkor megoldható, ha s_{n} = 1. Az általános eset abból következik, hogy

G_{n} ≡ G_{n mod ℓ_{s}} (mod m_{i}) i = 1, …, t

teljesül az állítás következtében.

Az algoritmus hatékonyságáról csak gyakorlati tapasztalatok állnak rendelkezésre, melyek azt támasztják alá, hogy jól alkalmazható a (3) egyenlet kis megoldásainak megkeresésére. Sőt bizonyos esetekben az összes megoldáséra is, de ez a következő rész témája lesz.

Néhány észrevételt azonban megfogalmazhatunk a modulusok megválasztására vonatkozóan.

Először is az m modulust célszerű úgy megválasztani, hogy a P (x) : Z_{m} → Z_{m} polinomfüggvény ne legyen bijektív, hiszen különben a

G_{n} ≡ P (x) (mod m)

minden n –re megoldható.

Második megjegyzésünk az, hogy az m_{1}, …, m_{t} modulusokat úgy válasszuk meg, hogy [ℓ_{1}, …, ℓ_{t}] ne legyen túl nagy ℓ_{1}, …, ℓ_{t} –hez képest, ugyanakkor [m_{1} …, m_{t}] nagy legyen m_{1}, …, m_{t} –hez képest, hiszen ekkor a szita hatékonyan működik.

Végezetül a túl nagy periódushossz elkerülése érdekében célszerű a modulusokat több részhalmazra osztani, ezekre külön – külön végrehajtani az algoritmust, majd a potenciális megoldások indexeit a kínai maradéktétellel meghatározni. Ez különösen akkor ésszerű, ha az egyes sziták végén kevés olyan index marad, amelyikhez a (3) megoldása tartozik.

Az 1. Algoritmus egy variánsát kapjuk, ha nem a szitáláshoz használt modulusokat adjuk meg, hanem egy olyan korlátot M –et, hogy az (1) egyenlet n < M megoldásaira vagyunk kíváncsiak. Ezt a szituációt írja le a következő

4.3.2. Algoritmus

Bemenet : G_{0}, …, G_{k−1}, A_{1}, …, A_{k} ∈ Z a {G_{n}} –t definiáló paraméterek P (x) ∈ Z[x]

legalább másodfokú, M > 0.

Kimenet : {s_{i}}_{i=1}^{ℓ_{s}−1} 0, 1 sorozat a 2. tételben leírt tulajdonságú ℓ_{s} ≥ M vagy {0}, amikor az (1) egyenletnek nincs megoldása.

1. s ← {1}, ℓ_{s} ← 1, h ← 1

2. m ← p_{h}{a h.prímszám}

3. Ha m|A_{k} vagy P (x) : Z_{m} → Z_{m} bijektív, akkor h ← h + 1 goto 2.

4. Hajtsuk végre az 1. Algoritmus 2. utasításának magját m_{h} = m –mel.

5. Ha s = 0^{ℓ_{s}}, akkor output {0} return

6. Ha ℓ_{s} < M, akkor goto 2

7. Output s. return.

Nyilvánvaló, hogy ez az algoritmus véges sok lépésben megszakad, hiszen a {G_{n}(mod p)} sorozat periódushossza, ahol p prímszám tetszőleges nagy lehet.

Az algoritmusok alkalmazására példákat mutatunk a 4. és az 5.4. részben.

4.4. Hatványok 0, 1 kezdőtagú másodrendű rekurzív sorozatokban

Legyenek A, B ∈ Z, |B| = 1, R_{0} = 0, R_{1} = 1 és
(4.4.1.)  R_{n+1} = AR_{n} − BR_{n−1},  (n ≥ 1).

Jelölje D = A^{2} − 4B az \{R_{n}\}_{n=0}^{∞} sorozat diszkriminánsát, valamint α = \frac{A+\sqrt{D}}{2} illetve β = \frac{A−\sqrt{D}}{2} a karakterisztikus polinomjának gyökeit.

Mint az előzőekben, most is feltesszük, hogy {R_{n}} nem elfajuló, ami esetünkben azt jelenti, hogy (A, B) ≠ (±1, 1), (±2, 1). Ezen feltételek mellett D > 0 és

(4.4.2.)  R_{n} = \frac{α^{n} − β^{n}}{\sqrt{D}} ,  n ≥ 0.

A fejezet befejezéseként az

(4.4.3.)  R_{n} = x^{q}

egyenletet vizsgáljuk.

A = 1 és B = −1 választással {R_{n}} a Fibonacci sorozat, így a (3) egyenlet megoldásai speciális esetben a Fibonacci sorozatban előforduló hatványokat jelentik.

A Fibonacci sorozatban előforduló négyzetszámok meghatározásának problémája Ogilvy [1962, 100. old.] könyvében jelent meg majd az Amer. Math. Monthly 70 (1963), 216 feladatként tűzte ki. A feladatot Wyler [1964] és tőle függetlenül Cohn [1964] két különböző módon oldotta meg. Valamivel korábban Wunderlich [1963] lényegében a 3.1. Algoritmussal meghatározta az n ≤ 10^{6} indexű négyzetszámokat.

A Fibonacci sorozatban előforduló köbszámokat London és Finkelstein [1969], [1973]; egy másik módszerrel Lagarias és Weisser [1981] valamint egy harmadikkal a szerző [1983] határozta meg. Eljárásomat, amelyik (3) megoldását visszavezeti egy Thue egyenlet megoldására, felhasználtam az ötödik hatványok meghatározására is [1981]. Robbins [1978] megmutatta, hogy ha x > 1, n > 2 páros és q prím, akkor (3)–nak {R_{n}} = {F_{n}} esetén csak két megoldása van (n, q) = (6, 3) illetve (12, 2).

Wolfskill [1989] a hipergeometrikus polinomok tulajdonságainak felhasználásával megmutatta, hogy az {R_{n}} sorozatban legfeljebb 25 négyzetszám fordulhat elő, sőt ha α elég nagy akkor csak 15.

Ebben a részben lényegében Pethő [1983] dolgozatának gondolatmenetét követve a következő fő eredményeket bizonyítjuk.

4.4.1. Tétel. Ha a (3) egyenlet n ≥ 1 –re megoldható, akkor vagy van olyan m|n, m > 1 páratlan szám, hogy R_{m} egy páratlan szám q –dik hatványa vagy pedig

a. ha A páros, úgy n = 2^{α}

b. ha A páratlan, úgy n = 2^{α}3^{β}.

Az {R_{n}} sorozat ismeretében a 2^{α} illetve 2^{α}3^{β} indexű q –dik hatványokat általában könnyű meghatározni. Erről szól a következő

4.4.2. Állítás. Ha A páros és valamely α > 0 –ra R_{2^{α}}, illetve ha A páratlan és valamely α, β ≥ 0, α + β > 0 –ra R_{2^{α}3^{β}} kanonikus felbontásában előfordul olyan p > 2, illetve p > 3 prímszám, amelyiknek a kitevője q –val nem osztható, akkor bármely α_{1} ≥ α –ra, illetve α_{1} ≥ α, β_{1} ≥ β számokra R_{2^{α_{1}}} , illetve R_{2^{α_{1}} 3^{β_{1}}} nem lehet q –dik hatvány.

Az 1. tétel első alternatívájának eleget tevő hatványok meghatározása általában sokkal nehezebb. A következő tételben megmutatjuk, hogy ez a probléma bizonyos esetekben visszavezethető egy Thue egyenlet megoldására.

4.4.3. Tétel. Legyen q ≥ 3 páratlan, B = −1 és D = p vagy 4p, ahol p prímszám. Ha (3) –nak van páratlan n, x megoldása, akkor vannak olyan y, z ∈ Z, (y, z) = 1 számok, hogy x^{2} = y^{2} + z^{2} és

(4.4.4.)  \frac{2 − Ai}{4}(y − zi)^{q} + \frac{2 + Ai}{4}(y + zi)^{q} = ±1,

továbbá z páros, hogyha A > 2.

Megjegyzés. A 3. tétel analogonja B = 1 –re két esetet foglalna magába, ezért ezzel külön nem foglalkozunk. Valóban, ha B = 1, akkor D = A^{2} − 4 = (A − 2)(A + 2), így D = p vagy 4p pontosan akkor, ha A = 3, illetve A = 4. Mindkét esetben belátható, hogy ha (3) megoldható páratlan n, x –ben, akkor vannak olyan y, z ∈ Z, (y, z) = 1 páratlan számok, hogy

(4.4.5.)  |py^{2q} − z^{2q}| = p − 1.

Mivel a Fibonacci sorozat diszkriminánsa 5, azaz prímszám alkalmazható rá a 3. tétel, amelynek felhasználásával bizonyítjuk a

4.4.4. Tétel. A Fibonacci sorozat n –dik tagja köbszám, illetve ötödik hatvány akkor és csakis akkor, ha n = 0, 1, 2, 6 illetve n = 0, 1, 2.

Fibonacci sorozat esetén q = 3 és 5–re a (4) bal oldalán álló polinom irreducibilis. Érdekes módon, A = 2 mellett, amikor is az ugynevezett Pell–sorozatot {P_{n}} kapjuk, a szóbanforgó polinom minden q > 2 prímszámra reducibilis, így a (4) összes megoldását könnyebb meghatározni.

4.4.5. Tétel. Legyen q = 4k + 3 alakú prímszám. Ha a Pell sorozat n –dik tagja q –dik hatvány, akkor n = 0 vagy 1.

A tételek bizonyítása előtt az {R_{n}} sorozat néhány tulajdonságát bizonyítjuk. Ehhez, mint azt már a 3. részben is tettük bevezetjük az

(4.4.6.)  S_{n} = α^{n} + β^{n},  n ≥ 0

sorozatot.

4.4.6. Lemma.

a. Bármely n, r ≥ 0 és m ≥ 1 –re

(4.4.7.)  R_{nm+r} = R_{n}R_{n(m−1)+r+1} − BR_{n−1}R_{n(m−1)+r}.

b. Bármely n, m ≥ 0 –ra (R_{n}, R_{m}) = R_{(n,m)}.

c. Legyen az m ∈ Z olyan, hogy (R_{n}, m) = 1. Akkor (\frac{R_{nm}}{R_{n}} , R_{n}) = 1.

d. Bármely n ≥ 0 –ra

(4.4.8.)  S_{n}^{2} − DR_{n}^{2} = 4B^{n}.

Bizonyítás. Az 1.4.1. tétel a. pontja szerint

\binom{R_{n}}{R_{n−1}} = \binom{A −B}{1 0}^{n−1}\binom{1}{0},

amelyből következik, hogy minden n ≥ 1 –re

(4.4.9.)  \binom{A −B}{1 0}^{n−1} = \binom{R_{n} −BR_{n−1}}{R_{n−1} −BR_{n−2}}.

Ezt az összefüggést n helyett nm + r –rel alkalmazva rövid számolás után kapjuk (7)–et.

(7)–ben r = 0 –t választva teljes indukcióval következik, hogy R_{n}|R_{nm} teljesül minden m ≥ 1 –re. A determinánsok szorzástételét (9)–re alkalmazva kapjuk, hogy

R_{nm−1}^{2} − R_{nm}R_{nm−2} = B^{nm}

teljesül minden nm ≥ 2 –re. Így (R_{nm}, R_{nm−1}) = 1, amelyből R_{n}|R_{nm} –et felhasználva (R_{n}, R_{nm+1}) = 1 következik minden n, m ≥ 1 –re.

Legyen most n ≥ m és n = ms + r, ahol 0 ≤ r < m. (9)–ből a (7)–hez hasonló módon

R_{n} = R_{ms+r} = R_{ms}R_{r+1} − BR_{ms−1}R_{r}

is levezethető. Mivel R_{m}|R_{ms} és (R_{m}, R_{ms−1}) = 1, ezért (R_{n}, R_{m}) = R_{r}, így az euklideszi algoritmust folytatva következik b.

A c. bizonyításához először megmutatjuk, hogy minden m ≥ 1 –re

(4.4.10.)  R_{nm+1} ≡ (−BR_{n−1})^{m} (mod R_{n})

teljesül. Valóban, (10) igaz (1) következtében m = 1 –re. Tegyük fel, hogy igaz m –re. Akkor (7)–ből r = 1 választással

R_{n(m+1)+1} = R_{n}R_{nm+2} − BR_{n−1}R_{nm+1} ≡ (−BR_{n−1})^{m+1} (mod R_{n})

következik.

Most belátjuk, hogy

\frac{R_{nm}}{R_{n}} ≡ m(−BR_{n−1})^{m−1} (mod R_{n}).

Ez nyilván igaz m = 1 –re. Feltéve, hogy m ≥ 1 –re teljesül, akkor ismét csak (7)–ből (10) felhasználásával

\begin{aligned}\frac{R_{n(m+1)}}{R_{n}} & = R_{nm+1} − BR_{n−1} \frac{R_{nm}}{R_{n}} ≡ (−BR_{n−1})^{m} + m(−BR_{n−1})^{m} \\ & = (m + 1)(−BR_{n−1})^{m} (mod R_{n}). \end{aligned}

Így

(\frac{R_{nm}}{R_{n}} , R_{n}) = (m(−BR_{n−1})^{m−1}, R_{n}) = 1, hiszen (m, R_{n}) = 1

a feltevés szerint és (R_{n}, R_{n−1}) = 1 a b. szerint. Ezzel c.–t bebizonyítottuk.

d. az S_{n} és R_{n} definíciójának egyszerű következménye.

Az 1. tétel bizonyítása. Legyen n = 2^{α}k, ahol k > 1 páratlan. A definícióból nyilvánvaló R_{2k} = R_{k}S_{k} egyenlőségből következik, hogy

(4.4.11.)  R_{n} = R_{k}S_{k}S_{2k} · . . . · S_{2^{α−1}k}.

Amennyiben A páros, akkor R_{2} = A páros és így a 6. lemma b. szerint R_{k} páratlan. Ugyancsak a 6. lemma b. szerint R_{k}|R_{2^{i}k}, így (R_{k}, S_{2^{i}k})|(R_{2^{i}k}, S_{2^{i}k}) teljesül. Azonban (8) következtében (R_{2^{i}k}, S_{2^{i}k}) = 1 vagy 2 és mivel R_{k} páratlan, így (R_{k}, S_{2^{i}k}) = 1 igaz i = 0, …, α − 1 –re. Tehát, ha R_{n} q –dik hatvány, akkor R_{k} is az, ami az állítás a. pontját bizonyítja m = k választással.

Legyen most A páratlan, k = 3^{β}m, azaz n = 2^{α}3^{β}m és tegyük fel, hogy m > 1 sem 2–vel sem 3– mal nem osztható. Ekkor ismét teljesül, hogy R_{m}|R_{n} és az előző esetben alkalmazott gondolatmenettel (R_{m}, S_{2^{i}k}) = 1, i = 0, …, α − 1 is bizonyítható.

Írjuk a (11) egyenlőséget

R_{n} = R_{m} \frac{R_{3^{β}m}}{R_{m}} S_{k}S_{2k} · . . . · S_{2^{α−1}k}

alakba. Belátjuk, hogy (R_{m}, \frac{R_{3^{β} m}}{R_{m}} ) = 1 és így R_{m} q –dik hatvány, ami a b. részt bizonyítja.

Valóban, R_{2} = A, R_{3} = A^{2} − B és R_{4} = A^{3} − 2AB. Amennyiben 3|A, akkor 3|R_{2}. Ha 3 |̸A

és B = 1, akkor 3|R_{3} ha pedig B = −1, akkor 3|R_{4}. Így (R_{m}, 3) = 1 és a 6. Lemma c. szerint

(R_{m}, \frac{R_{3^{β} m}}{R_{m}} ) = 1, amit bizonyítani akartunk.

A 2. Állítás bizonyítása. A 6. Lemma c. szerint p pontosan azon a kitevőn fordul elő R_{2^{α_{1}}} illetve R_{2^{α_{1}} 3^{β_{1}}} kanonikus felbontásában, mint R_{2^{α}} illetve R_{2^{α}3^{β}} –éban, így az állítás igaz.

A 3. tétel bizonyítása előtt még egy lemmát fogalmazunk meg.

4.4.7. Lemma. Legyen D = A^{2} − 4B = b^{2}p, ahol b, p ∈ Z és p prímszám. Ha (3) valamely páratlan n –re megoldható, akkor van olyan u ∈ Z, hogy

(4.4.12.)  b^{4}x^{2q} = (b^{2} ± Au)^{2} − 4Bu^{2}.

Bizonyítás. Mivel n páratlan, így (8)–ból látjuk, hogy

(4.4.13.)  pb^{2}R_{n}^{2} = S_{n}^{2} − 4B.

Ebből következik, hogy

S_{n}^{2} ≡ 4B (mod p).

Másrészt D definíciójából látható, hogy A^{2} ≡ 4B (mod p) is teljesül, következésképpen

S_{n} ≡ ±A (mod p).

Így van olyan u ∈ Z, hogy S_{n} = up ± A az előjel megfelelő megválasztásával. Ezt beírva (13)–ba kapjuk, hogy

pb^{2}x^{2q} = u^{2}p^{2} ± 2Aup + A^{2} − 4B.

Végigosztva az utóbbi egyenletet p –vel és megszorozva b^{2} –tel egyszerű átalakításokkal kapjuk (12)–t.

A 3. tétel bizonyítása. A 7. lemma szerint van olyan u ∈ Z, hogy

b^{4}x^{2q} = (b^{2} ± Au)^{2} + 4u^{2}

teljesül, ahol most b = 1 vagy 2. Az első esetben

(4.4.13.)  x^{2q} = (1 ± Au)^{2} + (2u)^{2},

míg a másodikban

16x^{2q} = (4 ± Au)^{2} + 4u^{2}

egyenleteket kapjuk. Ha b = 2, akkor A páros, azaz A = 2A_{1} és az egyenlet csakis úgy állhat meg, ha u maga is páros, azaz u = 2u_{1}. Ezekkel a jelölésekkel az

(4.4.14.)  x^{2q} = (1 ± A_{1}u_{1})^{2} + u_{1}^{2}

egyenletet kapjuk.

A (13) és (14) egyenlet is

(4.4.15.)  x^{2q} = v^{2} + w^{2}

alakú, ahol v, w ∈ Z, (v, w) = 1 és a b = 2, A_{1} = 1 eset kivételével w páros. A Gauβ egészek Z[i] gyűrűjében (15) jobb oldala faktorizálható. Z[i] egységei 1, −1, i és −i és ezek q páratlansága miatt maguk is q –dik hatványok. Továbbá (v + wi, v − wi)|(2v, 2wi) = 2, így mivel x páratlan (v + wi, v − wi) = 1. Tehát az x^{2} = y^{2} + z^{2} jelöléssel

v + wi = (y + zi)^{q},

amelyből

v = \frac{1}{2}[(y + zi)^{q} + (y − zi)^{q}]

és

w = \frac{1}{2i}[(y + zi)^{q} − (y − zi)^{q}].

Ha b = 1, akkor (13)–ból világos, hogy u páros, azaz u = 2u_{1}, ezzel a jelöléssel az utóbbi eredményt felhasználva

u_{1} = \frac{1}{8i}[(y + zi)^{q} − (y − zi)^{q}]

és

(4.4.15.)  ±1 + 2u_{1}A = \frac{1}{2}[(y + zi)^{q} + (y − zi)^{q}].

Ezekből az összefüggésekből közvetlenül kapjuk (4)–et.

Megjegyezzük még, hogy mivel y és z közül pontosan egy páros és (15) szerint y|2u_{1}A±1, így y páratlan, következésképpen z páros.

Ha b = 2, akkor D = 4p, így ha A_{1} > 1, akkor A_{1} –nek párosnak kell lennie. Ekkor a (14) egyenletből a fentiekkel megegyező módon vezethető le (4) sőt az is igaz marad, hogy z páros. Végül az A_{1} = 1 esetben u_{1} lehet páros, de páratlan is. Ha az utóbbi igaz, akkor v lesz páros és w páratlan. Elvégezve az átalakításokat ismét csak (4)–et nyerjük, de most nem z hanem y lesz páros. Ezzel a 3. tétel bizonyítását befejeztük.

A (4) bal oldalán álló polinom egy tulajdonságát bizonyítjuk be most.

4.4.8. Lemma. Legyen

f_{q}(x) = \frac{2 − Ai}{4}(x − i)^{q} + \frac{2 + Ai}{4}(x + i)^{q},

akkor f_{q}(x) –nek q különböző valós gyöke van.

Bizonyítás. Jelölje α az f_{q}(x) egy gyökét, akkor

(\frac{α + i}{α − i})^{q} = −\frac{2 − Ai}{2 + Ai} = cos φ + i sin φ

írható valamely 0 ≤ φ < 2π –vel. Tehát van olyan 0 ≤ k ≤ q − 1, hogy

\frac{α + i}{α − i} = cos \frac{φ + 2kπ}{q} + i sin \frac{φ + 2kπ}{q} = β.

Ebből következik, hogy

(4.4.16.)  α = i\frac{β + 1}{β − 1}

és így β\overline{β} = 1 miatt

\overline{α} = −i\frac{\overline{β} + 1}{\overline{β} − 1} = −i\frac{1 + \frac{1}{\overline{β}}}{1 − \frac{1}{\overline{β}}} = −i\frac{1 + β}{1 − β} = α,

tehát α valós.

Minthogy β –ra q különböző értékünk van és (16) ezekhez egy 0–tól különböző racionális tört transzformációval határozza meg az α –kat, így f_{q}(x) –nek q különböző gyöke van.

A 4. tétel bizonyítása. Tegyük fel, hogy a Fibonacci sorozat n –dik tagja F_{n} q –dik hatvány, ahol q = 3 vagy 5. A szóban forgó sorozatra A = 1, B = −1, így az 1. tétel szerint vagy n = 2^{α} · 3^{β} alakú vagy van olyan m|n, m > 1 páratlan szám, hogy F_{m} maga is q –dik hatvány.

Mivel F_{8} = 3 · 7 és F_{9} = 2 · 17, így a 2. Állítás miatt α < 3 és β < 2. Végül F_{3} = 2 és F_{4} = 3 miatt ezek nem lehetnek q –dik hatványok, míg a többi eset – F_{0}, F_{1}, F_{2} és F_{6} hatvány tulajdonsága közvetlenül ellenőrizhető.

Marad tehát a második alternatíva vizsgálata. Ehhez a 3. tétel szerint elegendő meghatározni az

(4.4.17.)  f_{q}(y, z) = \frac{2 − i}{4}(y − 2zi)^{q} + \frac{2 + i}{4}(y + 2zi)^{q} = ±1

egyenletek megoldásait q = 3 illetve 5–re. A polinomok aktuális alakja a következő

f_{3}(y, z) = y^{3} − 3y^{2}z − 12yz^{2} + 4z^{3}

illetve

f_{5}(y, z) = y^{5} − 5y^{4}z − 40y^{3}z^{2} + 40y^{2}z^{3} + 80yz^{4} − 16z^{5}.

Az első esetben az y → y−1, a másodikban pedig az y → y+1 transzformációt végrehajtja a Schöneman – Eisenstein irreducibilitási tételt felhasználva egyszerűen látható, hogy f_{3}(y, 1) és f_{5}(y, 1) is irreducibilisek.

A (17) egyenletet q = 3 és 5–re a 3.2.1. Algoritmussal meg lehet oldani. Itt azonban egy másik megközelítést ismertetünk, ami a rekurzív sorozatok tulajdonságait jobban kiaknázza.

A (17) egyenleteket ugyanis a 4.3.2. Algoritmus felhasználásával is meg tudjuk oldani. Ezt a megközelítést ismertetjük a továbbiakban. Az alapadatokat a harmadfokú testre Ennola és Turunen [1985] táblázatából vettük, az ötödfokúra a KANT programcsomaggal számítottuk ki.

f_{3}(y, 1) = y^{3} − 3y^{2} − 12y + 4 gyökei

α =α^{(1)} ∼ 5.171029785
α^{(2)} ∼ 0.3115831337
α^{(3)} ∼ −2.482612919.

A K = Q(α) egy egészbázisának koordinátái az 1, α, α^{2} bázisban:

1  0  0
0  1  0
1  1/2  1/2.

Z_{K} egy alapegységrendszerének koordinátái az egészbázisban:

\begin{matrix}1  1  − 1 \\ − 59  22  8. \end{matrix}

Az egységek konjugáltjai abszolút értékeinek logaritmusa:

\begin{matrix}− 4.54675 3.133096 1.40262 \\ 0.98917 − 5.171861 4.185014. \end{matrix}

D_{K} = 2700, R_{K} ≈ 20.369.

A 3.1.4. és 1.3.2. tételekből következő felső korlát az egységek kitevőire : N = 3.665 · 10^{23}.

Felső korlát |y|, |z| –re :

|y| < 362 · e^{N}, |z| < 70 · e^{N}.

Felső korlát |x| –re :

|x| = (y^{2} + 4z^{2})^{1/2} < 389 · e^{N}.

Felső korlát n –re az

x^{3} = F_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} [(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n} − (\frac{1 − \sqrt{5}}{2})^{n}]

összefüggésből :

n < 2.3 · 10^{24}.
f_{5}(y, 1) = y^{5} − 5y^{4} − 40y^{3} + 40y^{2} + 80y − 16 gyökei :
α =α^{(1)} ≈ 8.8841056281
α^{(2)} ≈ −4.6410468899
α^{(3)} ≈ 1.7578477430
α^{(4)} ≈ −1.1868989324
α^{(5)} ≈ 0.1859924512.

A K = Q(α) egy egészbázisának koordinátái az 1, α, …, α^{4} bázisban :

1  0  0  0  0
0  1  0  0  0
0  1/2  1/2  0  0
− 1/4  − 1/4  3/16  1/16  0
1/4  1/8  3/16  1/32  1/32.

Z_{K} egy alapegységrendszerének koordinátái az egészbázisban:

0  3  − 5  − 9  3
0  3  23  23  − 10
5  3  − 4  15  − 3
− 4  8  2  − 7  1.

Az egységek konjugáltjai abszolút értékeinek logaritmusa :

− 4.02808  − 0.261539 1.47226  1.57813  1.23922
− 0.59259  − 1.21689  3.93433  − 3.97583  1.85098
− 2.43502  4.67704 − 0.62954  1.08668  − 2.69917
1.69390  − 2.90341  2.69612  2.66322  − 4.14982.

D_{K} = 31250000, R_{K} ≈ 414.89.

A 3.1.4. és 1.3.2. tételekből következő felső korlát az egységek kitevőire : N = 3.51 · 10^{44} Felső korlát |y|, |z| –re :

|y| < 9491 · e^{N}, |z| < 1783 · e^{N}.

Felső korlát |x| –re :

|x| = (y^{2} + 4z^{2})^{1/2} < 10.139 · e^{N}.

Felső korlát n –re az

x^{5} = F_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} [(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n} − (\frac{1 − \sqrt{5}}{2})^{n}]

öszefüggésből :

n < 7.3 · 10^{45}.

Miután meghatároztuk a felső korlátokat a Fibonacci sorozatban előforduló harmadik, illetve ötödik hatványok indexére alkalmazható a 4.3.2. Algoritmus. Ez azonban a sorozat tulajdonságainak részletesebb vizsgálatával lényegesen felgyorsítható.

Legyen p egy prímszám és jelölje r(p) azt a legkisebb pozitív számot, amelyre p|F_{r(p)} teljesül. Legyen továbbá q egy páratlan prímszám. Az a ∈ Z –t q –dik (hatvány) maradéknak nevezzük modulo p, ha az x^{q} ≡ a(mod p) kongruencia megoldható. Legyen

(\frac{a}{p})_{q} = \{ \begin{matrix}1, & ha a q –dik maradék modulo p \\ 0, & különben. \end{matrix}

Legyen végül

F_{q}^{⋆}(n, p) = (\frac{F_{n}}{p} )_{q} , n = 0, 1, ….

Ezekkel a jelölésekkel teljesül

4.4.9. Lemma. Az {F_{q}^{⋆}(n, p)}_{n=0}^{∞} sorozat periodikus minden p prímszámra és periodushossza legfeljebb r(p). Továbbá

F_{q}^{⋆}(k, p) = F_{q}^{⋆}(r(p) − k, p)

teljesül minden k = 0, …, r(p) − 1 –re.

Bizonyítás. Ha p ≢ 1 (mod q), akkor (p − 1, q) = 1. Euler tétele szerint a^{p−1} ≡ 1(mod p) minden p –hez relatív prím a egész számra. Továbbá 0 mindig q –dik maradék mod p, így F_{q}^{⋆}(n, p) = 1 minden n –re, tehát a lemma állításai ezekre a prímekre nyilvánvalóan igazak.

A továbbiakban tegyük fel, hogy p ≡ 1(mod q), azaz (q, p − 1) = q. Először megmutatjuk, hogy

(4.4.18.)  F_{r(p)−k} ≡ (−1)^{k−1}F_{k}F_{r(p)−1} (mod p)

teljesül minden k = 0, …, r(p) − 1 –re. Valóban, (18) nyilvánvalóan igaz k = 0 és 1–re. Tegyük fel, hogy igaz k ≥ 0 és k + 1 –re. Akkor

F_{r(p)−(k+2)} = F_{r(p)−k} − F_{r(p)−(k+1)} ≡ (−1)^{k−1}F_{r(p)−1}[F_{k} + F_{k+1}]
≡ (−1)^{k+1}F_{k+2}F_{r(p)−1} (mod p),

amelyből következik (18).

Válasszuk (18)–ban k = r(p) − 1 –et, akkor látjuk, hogy

F_{r(p)−1}^{2} ≡ ±1 (mod p).

Mivel q páratlan, így 1 és -1 is, következésképpen F_{r(p)−1} is q –dik maradék modulo p.

Alkalmazzuk most (7)–et a Fibonacci sorozatra n = r(p), m = 1, r = k válsztással, akkor

F_{r(p)+k} = F_{r(p)}F_{k+1} + F_{r(p)−1}F_{k} ≡ F_{r(p)−1}F_{k} (mod p).

Így a q –dik maradék multiplikatív tulajdonsága miatt

F_{q}^{⋆}(r(p) + k, p) = F_{q}^{⋆}(r(p) − 1, p)F_{q}^{⋆}(k, p) = F_{q}^{⋆}(k, p)

teljesül minden k ≥ 0 –ra. Ezzel az első állítást bebizonyítottuk. A második állítás (18)–ból és a q –dik maradék multiplikatív tulajdonságából következik.

A 4.3.2. Algoritmus futási részeredményeit a mellékletben közöljük. A periódushosszakat a 9. lemma előtt definiált értelemben használjuk. Ezeket úgy választottuk meg, hogy eredményül mindig 10–el osztható szám jöjjön ki és egy–egy szita végén csak az 1. és a 9. lemma szerint így az r(p) − 1 indexű tag lehessen csak q –dik hatvány. A periódushosszak megválasztása miatt az összefésült periódusban is csak a második és utolsó elem lehet q –dik hatvány. Mivel

2^{5} · 3^{2} · 5^{2} · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 29 · 41 · 43 · 47 · 53 · 61 · 67 · 71 · 79 · 83 · 89 · 103 > 2.3 · 10^{24},

illetve

2^{8}·3^{3}·5^{3}·11^{2}·13^{2}·7^{2}·17·19·23·29·31·37·41·43·47·53·59·61·67·71·79·97·101·103·107·127·137·149 > 7.3·10^{45},

ezért igaz a tétel állítása.

Az 5. tétel bizonyítása. A Pell sorozatra A = 2, így az 1. tétel szerint először a 2^{α} indexű elemeket vizsgáljuk abból a szempontból, hogy lehetnek–e hatványok. Mivel P_{4} = 12 és P_{2} = 2, így a 2. Állítás következtében a 2–hatvány indexű elemek közül csak P_{1} lehet q –dik hatvány.

Legyen a továbbiakban n páratlan, és tegyük fel, hogy a

P_{n} = x^{q}

egyenlet megoldható. Akkor a 3. tétel szerint vannak olyan y, z, ∈ Z, hogy x^{2} = y^{2} + z^{2} és

(4.4.19.)  f_{q}(y, z) = \frac{1 − i}{2}(y − zi)^{q} + \frac{1 + i}{2}(y + zi)^{q} = ε_{1},

ahol ε_{1} = ±1.

Most belátjuk, hogy f_{q}(−1, 1) = 0, aminek következtében y + z|f_{q}(y, z) természetesen a tételben megadott q = 4k + 3 feltételek mellett. Valóban

f_{q}(−1, 1) = \frac{1 + i}{2}(−1 + i)^{q} + \frac{1 − i}{2}(−1 − i)^{q}

= \frac{(1 + i)(−1 + i)}{2}(−1 + i)^{2(2k+1)} − \frac{(1 − i)(1 + i)}{2}(1 + i)^{2(2k+1)}

= −(−2i)^{2k+1} − (2i)^{2k+1} = 0.

Az y + z|f_{q}(y, z) és (19) miatt

y + z = ε_{2}

és

\frac{f_{q}(y, z)}{y + z} = \frac{ε_{1}}{ε_{2}}

teljesül, ahol ε_{2} = ±1. Az első egyenletből y = −z + ε_{2}, amit a másodikba helyettesítve

\begin{aligned}f_{1}(z) & = f_{q}(−z + ε_{2}, z) \\ & = \frac{1 + i}{2}(−z + zi + ε_{2})^{q} + \frac{1 − i}{2}(−z − zi + ε_{2})^{q} = ε_{1} \end{aligned}

egyenletet kapjuk. A bal oldalon álló polinom átírható

f_{1}(z) = \frac{1 + i}{2}(zi(1 + i) + ε_{2})^{q} − \frac{i(1 + i)}{2}(−z(1 + i) + ε_{2})^{q}

alakra. Erre alkalmazva a binomiális tételt kapjuk, hogy

f_{1}(z) = \frac{1 + i}{2} ∑_{j=0}^{q} \binom{q}{j}(1 + i)^{j}[i^{j} − i(−1)^{j}]ε_{2}^{q−j} · z^{j} = ∑_{j=0}^{q} p_{j}z^{j}.

Egyszerűen ellenőrizhető, hogy p_{0} = ε_{2}, p_{1} = −2q, p_{q} = 0. Továbbá, mivel q prímszám, így q|\binom{q}{j}

teljesül minden 1 ≤ j < q –ra. Végül j ≥ 1 –re \frac{(1+i)^{j+1}}{2} [i^{j} − i(−1)^{j}] osztható 2–vel, tehát (2, q) = 1

miatt 2q|p_{j} is teljesül minden j ≥ 1 –re. Így

f_{1}(z) = ε_{1}

csakis akkor teljesülhet valamely z ∈ Z –re, ha ε_{2} = ε_{1}.

Ebből következik, hogy vagy Z = 0 és Y = ε_{2}, vagy pedig

∑_{j=1}^{q−1} (\frac{p_{j}}{2q} ) z^{j−1} = 0.

Mivel p_{1} = −2q, így z| − 1, azaz z = ±1. Ha z = ε_{2}, akkor y = 0 és x = ±1, amellyel az állítást bebizonyítottuk.

Amennyiben z = −ε_{2}, akkor y = 2ε_{2}. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy y = 2 és z = −1. Ezeket az értékeket behelyettesítve f_{q} –ba kapjuk, hogy

f_{q}(2, −1) = \frac{1 + i}{2}(2 − i)^{q} + \frac{1 − i}{2}(2 + i)^{q}.

Belátjuk, hogy ha q = 4k+3, akkor f_{q}(2, −1) nem lehet ±1. Valóban az f_{q}(2, −1) számok q –ban egy rekurzív sorozatot alkotnak f_{0}(2, −1) = 1, f_{1}(2, −1) = 3 kezdőtagokkal és

f_{q+2}(2, −1) = 4f_{q+1}(2, −1) − 5f_{q}(2, −1)

rekurzióval. Egyszerűen látható, hogy \{f_{q}(2, −1)(mod 8)\} = \overline{1, 3, 7, 5}. Ha tehát q ≡ 3(mod 4), akkor f_{q}(2, −1) ≡ 5(mod 8), azaz f_{q}(2, −1) ≠ ±1.

Ezzel a tételt teljesen bebizonyítottuk.

Megjegyzés. Az is belátható, hogy ha q 4k + 1 alakú prímszám, akkor y − z|f_{q}(y, z) teljesül. Ennek felhasználásával azonban csak azt tudjuk megmutatni, hogy yz|\frac{q−1}{2} teljesül, amelyből kis q értékekre (q = 5, 13, 17, 29, 37) ismét belátható a tétel állítása.

5. Indexforma egyenletek bikvadratikus számtestekben

Legyen K egy k –ad fokú algebrai számtest és 1, ω_{2}, …, ω_{k} a Z_{K} egy egészbázisa. Az 1.2. részben rámutattunk arra, hogy a

(5.1.)  D_{K/Q}(ω_{2}x_{2} + … + ω_{k}x_{k}) = (I_{K/Q}(x_{2}, …, x_{k}))^{2}D_{K/Q}

egyenlőséggel definiált I_{K/Q}(x_{2}, …, x_{k}) polinom \frac{k(k−1)}{2} –ed fokú, homogén és együtthatói racionális egész számok.

A. Baker módszerét alkalmazva Győry [1976], [1981], [1983], Győry and Papp [1977] valamint Trelina [1977] csak n, D_{K/Q} és m –től függő effektív felső korlátot adtak az

(5.2.)  I(x_{2}, …, x_{k}) = m

egyenlet x_{2}, …, x_{k} ∈ Z megoldásai abszolút értékei maximumára.

Ha k = 3, akkor (2) egy harmadfokú Thue egyenlet. Gaál and Schulte [1989] a 3.2.1. algoritmus egy variánsával m = 1 –re meghatározták (2) összes megoldását a −300 ≤ D_{K/Q} ≤ 3137 feltételeknek eleget tevő minden harmadfokú számtestre. Ezt a számítást Schulte [1989] kiterjesztette a D_{K/Q} ≤ 44521 intervallumra. A (2) egyenletnek m = 1 –re sok számtest esetén nincs megoldása. Hiszen mint az 1.2. részben leírtuk (2) |m| = 1 –re pontosan akkor megoldható, ha Z_{K} –nak van hatványegészbázisa. Schulte [1989] harmadfokú totálisan valós D_{K/Q} ≤ 44521 diszkriminánsú számtestekre meghatározta a minimális index értékét is, azaz azt a legkisebb m –et, amelyre (2) megoldható.

Ha egy negyedfokú számtestnek van másodfokú részteste, akkor bikvadratikusnak szokás nevezni. M.N. Gras [1981], [1983] valamint Nakahara [1982], [1983] vizsgálták azt a kérdést, hogy ciklikus, bikvadratikus számtestnek mikor van hatványegészbázisa. Gras [1981] sok ilyen számtestről el tudta dönteni ezt a kérdést. [1983]–as munkájában megmutatta, hogy ha K imaginárius ciklikus bikvadratikus számtest, akkor csak két kivételes esetben lehet hatványegészbázisa.

Ebben a fejezetben Gaál, Pethő and Pohst [1989a], [1989b] munkáira támaszkodva, a bikvadratikus számtestek feletti indexforma egyenletek megoldásának problémáját visszavezetjük polinomértékek keresésére másodrendű rekurzív sorozatokban. Ez a megközelítés lehetővé teszi annak bizonyítását, hogy (2)–nek csak véges sok megoldása van és a kis megoldásokat (≤ 10^{7}) gyorsan meg tudjuk keresni. Módszerünk alkalmas arra is, hogy felső korlátot nyerjünk a minimális indexre. Ez a korlát általában a minimális indexet adja meg. Azon bikvadratikus számtestekre, amelyek másodfokú részteste 1 ideálosztályszámú és amelyek diszkriminánsa ≤ 1.000.000, kiszámítottuk a minimális indexet és az ezekhez tartozó kis megoldásokat, Gaál, Pethő and Pohst [1990b]. A számítás eredményét az értekezéshez mellékelt floppy lemez tartalmazza.

Ciklikus bikvadratikus testekre Gaál, Pethő and Pohst [1989b] a 2. fejezetben leírt algoritmust alkalmazva módszert adtak az összes hatványegészbázis meghatározására. A Q(\sqrt{2}) vagy Q(\sqrt{5}) –öt tartalmazó és ≤ 200.000 diszkriminánsú számtestekben meg is határozták ezeket.

Számtestekben nem csak a hatványegészbázis létezése vagy a minimális index meghatározása, hanem a testindex felderítése is vizsgált probléma. Testindexnek nevezzük Z_{K} elemei indexének legnagyobb közös osztóját. Hensel [1884] bizonyította, hogy egy k –ad fokú számtest testindexének minden prímosztója kisebb, mint k. A prímosztók kitevőire azonban általában még felső korlát sem ismeretes. A testindex meghatározásának problémája szerepel Narkiewicz [1974] könyvében is. Nakahara [1983] megmutatta, hogy ha egy negyedfokú totálisan valós ciklikus számtest testindexe 2^{e}3^{e′}, akkor e ≤ 2 és e′ ≤ 1, továbbá, hogy ha a test diszkriminánsa páros, akkor a testindexe páratlan. Gaál, Pethő és Pohst [1990a] a paraméterekre vonatkozó kongruencia feltételeket számítógéppel ellenőrizve, pontosan jellemezték ezekre a számtestekre a testindexet.

Az értekezés írója sokáig azt hitte, hogy a 2. részben kifejtendő módszer tőle származik. Ezzel bő illusztrációt kapott a 4. részben ismertetett, általa korábban művelt problámakörhöz. Az irodalom részletesebb tanulmányozása után – nem túl nagy fáradsággal – rábukkant Nagell [1967] cikkére, amelyben hasonló gondolatokat talált. Nagell eljutott annak bizonyításához, hogy ha K –nak van nem valós izomorfizmusa, akkor a fölötte vett indexforma egyenletnek csak véges sok megoldása lehet. A numerikus számítások szempontjait, bár példákat tárgyal munkájában nem domborítja ki. Így nem jutott el annak bizonyításához sem (ℓ. 3. tétel), hogy az indexforma egyenlet potenciális megoldásai x_{3} és x_{4} –ben exponenciálisan, sőt olyan szabályosan növekednek, hogy egy másodrendű rekurzív sorozattal leírhatók.

5.1. Bikvadratikus számtestek egy egészbázisa

A továbbiakban legyen K egy negyedfokú számtest és tegyük fel, hogy ennek van egy másodfokú részteste L. Ekkor van olyan m ∈ Z négyzetmentes szám, hogy L = Q(\sqrt{m}). Jól ismert, hogy ekkor Z_{L} egy egészbázisa 1, w, ahol w = \frac{g+h\sqrt{m}}{2} és

(g, h) = \{ \begin{matrix}(0, 2), & ha m ≡ 2, 3 (mod 4) \\ (1, 1), & ha m ≡ 1 (mod 4). \end{matrix}

Mivel K másodfokú L felett, van olyan μ ∈ Z_{L}, hogy K = Q(\sqrt{μ}). A μ ∈ Z_{L} feltételből következik, hogy μ = \frac{e+f\sqrt{m}}{2}, ahol e, f ∈ Z.

Pohst [1975], Halter–Koch [1972] eredményét felhasználva belátta, hogy ha μ Z_{L} –ben négyzetmentes és Z_{L} főideálgyűrű – amit a továbbiakban felteszünk – akkor Z_{K} –nak van 1, w, ψ, wψ alakú egészbázisa, ahol ψ a következők szerint határozható meg:

a, m ≡ 1 (mod 8)

Ekkor Z_{L} –ben 2 = (p_{1})(p_{2}), ahol (p_{1}) és (p_{2}) prímfőideálok és

ψ = \{ \begin{matrix}\frac{1+\sqrt{μ}}{2}, & ha μ ≡ 1 (mod 4) \\ p_{1} \frac{1+\sqrt{μ}}{2}, & ha μ ≡ 1 (mod p_{2}^{2}) és μ ≢ 1 (mod 4) \\ p_{2} \frac{1+\sqrt{μ}}{2}, & ha μ ≡ 1 (mod p_{1}^{2}) és μ ≢ 1 (mod 4) \\ \sqrt{μ}, & különben \end{matrix}

b, m ≡ 5 (mod 8)

Ekkor 2 prím Z_{L} –ben és

ψ = \{ \begin{matrix}\frac{∂+\sqrt{μ}}{2}, & ha μ ≡ ∂^{2} (mod 4), ahol ∂ ∈ \{1, (\frac{−1+\sqrt{m}}{2})^{2} , (\frac{−1+\sqrt{m}}{2})^{4}\} \\ \sqrt{μ}, & különben \end{matrix}

c, m ≡ 2, 3 (mod 4)

Ekkor (2) = (p)^{2}, ahol (p) egy prímfőideál. Legyen a továbbiakban k ∈ {1, 2}. A követ– kező két aleset van Ha m ≡ 3, (mod 4), akkor

ψ = \{ \begin{matrix}\frac{∂+\sqrt{μ}}{p^{k}}, & ha μ ≡ ∂^{2} (mod 2^{k}) és ∂ ∈ \{1, \sqrt{m}\} \\ \sqrt{μ}, & különben. \end{matrix}

Ha m ≡ 2 (mod 4), akkor

ψ = \{ \begin{matrix}\frac{∂+\sqrt{μ}}{p^{k}}, & ha μ ≡ ∂^{2} (mod 2^{k}) és ∂ ∈ \{1, 1 + \sqrt{m}\} \\ \sqrt{μ}, & különben. \end{matrix}

A fentiekből következik, hogy vannak olyan a, b, c, d ∈ Z elemek, melyek μ ismeretében egyszerűen kiszámíthatóak és amelyekre

ψ = \frac{a + b\sqrt{m} + (c + d\sqrt{m})\sqrt{μ}}{4}.

5.2. Indexforma egyenlet megoldásának visszavezetése

polinomértékek keresésére rekurzív sorozatokban

A továbbiakban w′ fogja jelölni w konjugáltját és ψ = ψ_{1}, ψ_{2}, ψ_{3} és ψ_{4} a ψ konjugáltjait. Ezek sorrendjét úgy választjuk meg, hogy megfeleljenek \sqrt{μ} konjugáltjai \sqrt{μ}, \sqrt{μ′}, −\sqrt{μ}, −\sqrt{μ′} sorrendjének, ahol az előző szerint μ′ = \frac{e−f\sqrt{m}}{2}.

Ezekkel a jelölésekkel a K diszkriminánsára

(5.2.1.)  D_{K/Q} = | \begin{matrix}1 & w & ψ_{1} & wψ_{1} \\ 1 & w′ & ψ_{2} & w′ψ_{2} \\ 1 & w & ψ_{3} & wψ_{3} \\ 1 & w′ & ψ_{4} & w′ψ_{4} \end{matrix} |^{2} = [(w − w′)^{2}(ψ_{1} − ψ_{3})(ψ_{2} − ψ_{4})]^{2}.

teljesül.

5.2.1. Lemma. A fenti jelölésekkel

\frac{c^{2} − d^{2}m}{4} ∈ \{1, 2, 4\}.

Bizonyítás. Ha ψ = \sqrt{μ}, akkor c = 4, d = 0 és így \frac{c^{2}−d^{2}m}{4} = 4. Ha ψ = \frac{1+\sqrt{μ}}{2} vagy \frac{∂+\sqrt{μ}}{2}, az

a, illetve b, első alesetei, akkor c = 2, d = 0 és ekkor \frac{c^{2}−d^{2}m}{4} = 1.

Az a, 2. illetve 3. alesetében c + d\sqrt{m} = 2p_{1}, illetve 2p_{2}, ahol N_{L/Q}(p_{1}) = N_{L/Q}(p_{2}) = 2.

Ezért \frac{c^{2}−d^{2}m}{4} = N_{L/Q} (\frac{c+d\sqrt{m}}{2}) = N_{L/Q}(p_{i}) = 2, ahol i = 1 vagy 2.

Most már csak c, 1. és 3. alesetének vizsgálata maradt. A c és d konstansokra ∂ nincs hatással, így ezeket az eseteket együttesen vizsgálhatjuk. Jelölje ε a Z_{L} egy alapegységét. Ekkor (p)^{2} = (2) miatt van olyan r ∈ Z, hogy p^{2} = 2 · ε^{−r}.

Legyen most k = 2, akkor

ψ = \frac{∂ + \sqrt{μ}}{p^{2}} = \frac{∂ε^{r} + ε^{r}\sqrt{μ}}{2} = \frac{2∂ε^{r} + 2ε^{r}\sqrt{μ}}{4}.

Így \frac{c^{2}−d^{2}m}{4} = N_{L/Q} (\frac{2ε^{r}}{2} ) = 1.

Végül, ha k = 1, akkor

ψ = \frac{∂ + \sqrt{μ}}{p} = \frac{2∂pε^{r} + 2pε^{r}\sqrt{μ}}{4},

ami miatt

\frac{c^{2} − d^{2}m}{4} = N_{L/Q}(pε^{r}) = 2.

Ezzel a lemmát bebizonyítottuk.

Jelölje a továbbiakban ℓ_{ij}(\underline{x}) az ℓ(\underline{x}) = wx_{2} + ψx_{3} + wψx_{4} lineáris forma i –dik és j –dik (1 ≤ i, j ≤ 4) konjugáltjának különbségét. Akkor

ℓ_{12}(\underline{x}) = (w − w′)x_{2} + (ψ_{1} − ψ_{2})x_{3} + (wψ_{1} − w′ψ_{2})x_{4}
ℓ_{23}(\underline{x}) = −(w − w′)x_{2} + (ψ_{2} − ψ_{3})x_{3} + (w′ψ_{2} − wψ_{3})x_{4}

ℓ_{34}(\underline{x}) = (w − w′)x_{2} + (ψ_{3} − ψ_{4})x_{3} + (wψ_{3} − w′ψ_{4})x_{4} (5.2.2.)

ℓ_{41}(\underline{x}) = −(w − w′)x_{2} + (ψ_{4} − ψ_{1})x_{3} + (w′ψ_{4} − wψ_{1})x_{4}
ℓ_{13}(\underline{x}) = (ψ_{1} − ψ_{3})(x_{3} + wx_{4})
ℓ_{24}(\underline{x}) = (ψ_{2} − ψ_{4})(x_{3} + w′x_{4}).

Ekkor igaz a következő

5.2.2. Lemma. Legyen J ∈ Z. Az (x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ Z^{3} az

(5.2.3.)  I(x_{2}, x_{3}, x_{4}) = J

egyenlet megoldása akkor és csakis akkor, ha van olyan j_{1}, j_{2} ∈ Z, hogy j_{1}j_{2} = J,

(5.2.4.)  x_{3}^{2} + (w + w′)x_{3}x_{4} + ww′x_{4}^{2} = j_{1}

és

(5.2.5.)  ℓ_{12}(\underline{x})ℓ_{23}(\underline{x})ℓ_{34}(\underline{x})ℓ_{41}(\underline{x}) = j_{2}(w − w′)^{2}

Bizonyítás. Esetünkben

D_{K/Q}(ℓ(\underline{x})) = ∏_{1≤i<j≤4} ℓ_{ij}^{2}(\underline{x}) = I(x_{2}, x_{3}, x_{4})^{2}D_{K/Q},

így (1) és (2) következtében

I(x_{2}, x_{3}, x_{4}) = \frac{±1}{(w − w′)^{2}} (x_{3}^{2} + (w + w′)x_{3}x_{4} + ww′x_{4}^{2})ℓ_{12}(\underline{x})ℓ_{23}(\underline{x})ℓ_{34}(\underline{x})ℓ_{41}(\underline{x}).

Vegyük észre, hogy I(x_{2}, x_{3}, x_{4}), a másodfokú tényező x_{3}^{2} + (w + w′)x_{3}x_{4} + ww′x_{4}^{2} valamint az utolsó négy tényező szorzata, amely N_{K/Q}(ℓ_{12}(\underline{x})) –el egyezik meg egész együtthatós polinomok. A (w−w′)^{2} = h^{2}m ∈ Z nem oszthatja a másodfokú tényezőt hiszen abban x_{3}^{2} együtthatója 1, így osztania kell az utolsó négy tényező szorzatát. Ezért (3) ekvivalens

(x_{3}^{2} + (w + w′)x_{3}x_{4} + ww′x_{4}^{2})\frac{±1}{(w − w)^{2}} ℓ_{12}(\underline{x})ℓ_{23}(\underline{x})ℓ_{34}(\underline{x})ℓ_{41}(\underline{x}) = J

egyenlettel, ebből pedig az állítás rögtön következik.

A következő állítás hatékonyan alkalmazható szükséges feltételt ad arra, hogy rögzített j_{1}, j_{2} mellett a (4), (5) egyenletrendszer megoldható legyen.

4.2.2. Tétel. Ha a (4), (5) egyenletrendszernek van (x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ Z^{3} megoldása, akkor van olyan v ∈ Z, hogy

(5.2.6.)  v^{2} = j_{1}^{2} \frac{e^{2} − f^{2}m}{4} (\frac{c^{2} − d^{2}m}{4})^{2} + 4j_{2}h^{2}m.

Bizonyítás. Először (2) felhasználásával kiszámítjuk az ℓ_{12}(\underline{x})ℓ_{34}(\underline{x}) polinomot.

(5.2.7.)  ℓ_{12}(\underline{x})ℓ_{34}(\underline{x}) = c_{2}x_{2}^{2} + (c_{3} + c′_{3}ζ)x_{3}^{2} + (c_{4} + c′_{4}ζ)x_{4}^{2} + c_{23}x_{2}x_{3} + c_{24}x_{2}x_{4} + (c_{34} + c′_{34}ζ)x_{3}x_{4},

ahol ζ = \sqrt{(e^{2} − f^{2}m)/4} = m_{0}\sqrt{m_{1}}, m_{0}, m_{1} pozitív egész számok, m_{1} négyzetmentes és

c_{2} = h^{2}m,

c_{3} = (4b^{2}m − c^{2}e − 2cdfm − d^{2}me)/16,

c_{4} = {4m(gb + ha)^{2} − e[(g^{2} + h^{2}m)(c^{2} + d^{2}m) + 4ghcdm] − fm[2gh(c^{2} + d^{2}m) + 2cd(g^{2} + h^{2}m)]}/64,

c′_{3} = (c^{2} − d^{2}m)/8,
c′_{4} = (g^{2} − h^{2}m)(c^{2} − d^{2}m)/32,

c_{23} = hbm,

c_{24} = hm(gb + ha)/2,

c_{34} = {4bm(gb + ha) − e[g(c^{2} + d^{2}m) + 2cdhm] − fm[h(c^{2} + d^{2}m) + 2cdg]}/16,

c′_{34} = g(c^{2} − d^{2}m)/8.

Látható, hogy az ℓ_{12}(\underline{x})ℓ_{34}(\underline{x}) polinom együtthatói az M = Q(\sqrt{m_{1}}) testből valóak és az is, hogy ℓ_{23}(\underline{x})ℓ_{41}(\underline{x}) az előbbi polinom Q/M testbővítésre vonatkozó konjugáltja. Ezért (5) átfogalmazható

(5.2.8.)  N_{M/Q}(ℓ_{12}(\underline{x})ℓ_{34}(\underline{x})) = j_{2}(w − w′)^{2}

alakba. A 3.1.1. Lemma (i) állítása szerint van olyan A ⊂ Z_{M} véges halmaz, hogy (8) bármely (x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ Z^{3} megoldásához létezik α ∈ A és B ∈ Z, amelyekkel

(5.2.9.)  ℓ_{12}(\underline{x})ℓ_{34}(\underline{x}) = αη^{B},

ahol N_{M/Q}(α) = j_{2}(w −w′)^{2} és ha M valós úgy η a Z_{M} alapegysége, különben η = 1. Jelölje α̂, η̂ az α illetve η Q/M –re vonatkozó konjugáltját. Akkor (9)–ből

(5.2.10.)  ℓ_{12}(\underline{x})ℓ_{34}(\underline{x}) − ℓ_{23}(\underline{x})ℓ_{41}(\underline{x}) = αη^{B} − α̂η̂^{B}

következik.

A (10) bal oldalán álló polinomot (7)–ből és annak konjugáltjából egyszerűen kiszámíthatjuk és azt kapjuk, hogy

(5.2.11.)  ℓ_{12}(\underline{x})ℓ_{34}(\underline{x}) − ℓ_{23}(\underline{x})ℓ_{41}(\underline{x}) = m_{0}\sqrt{m_{1}} \frac{c^{2} − d^{2}m}{4} (x_{3}^{2} + gx_{3}x_{4} + \frac{g^{2} − h^{2}m}{4}x_{4}^{2}) .

Figyelembe véve most, hogy g = w + w′ és \frac{g^{2}−h^{2}m}{4} = ww′, (4), (11) és (10) kombinálásával következik

\frac{αη^{B} − α̂η̂^{B}}{\sqrt{m_{1}}} = j_{1}m_{0} \frac{c^{2} − d^{2}m}{4} = u.

Legyen most v = αη^{B} + α̂η̂^{B}. Ez a szám láthatóan egész. Továbbá

v^{2} − m_{1}u^{2} = α^{2}η^{2B} + α̂^{2}η̂^{2B} + 2αα̂(ηη̂)^{B} − [α^{2}η^{2B} + α̂^{2}η̂^{2B} − 2αα̂(ηη̂)^{B}] = 4αα̂(ηη̂)^{B} = 4j_{2}h^{2}m.

Behelyettesítve ide u –t kapjuk (6)–ot.

Megjegyzés. Az adott feltételek mellett K vagy normális és így Galais csoportja C4 –a negyedrendű ciklikus csoport – vagy pedig K normális lezártja \overline{K} nyolcadfokú és Galais csoportja D4 –a negyedfokú diéder csoport. Az előbbi esetet a jelöléseinkkel m = m_{1}, az utóbbit m ≠ m_{1} jellemzi.

Amennyiben K nem normális, akkor \overline{K} résztesthálója a következő

\overline{K}

K = Q(\sqrt{μ})  Q(\sqrt{μ′})  Q(\sqrt{m}, \sqrt{m_{1}})  Q(\sqrt{ν′})  Q(\sqrt{ν})

Q(\sqrt{m}) Q(\sqrt{m_{1}})

Q

Q(\sqrt{μ}) és Q(\sqrt{ν}) tehát szoros kapcsolatban állnak egymással. Ismereteink szerint ezt például a testindex vagy a minimális index vonatkozásában senki sem vizsgálta. Problémát jelent természetesen az is, hogy ha Q(\sqrt{m}) rögzített és főideálgyűrű, akkor még Q(\sqrt{m_{1}}) egészen más tulajdonságú is lehet. Újabb vizsgálatok pl. Pohst [1990] munkája reményt ad arra, hogy ezt a kapcsolatot mélyebben is fel lehessen tárni.

A következő tételben bebizonyítjuk, hogy a (3) indexforma egyenlet megoldása visszavezethető véges sok másodfokú polinom helyettesítési értékének megkeresésére véges sok másodrendű rekurzív sorozatban. Pontosabban igaz a következő

4.2.3. Tétel. Tegyük fel, hogy a (4), (5) egyenletrendszer megoldható. Legyen ε ≥ 1 a Z_{L} egy alapegysége és B a Z_{L} j_{1} normájú elemeinek egy maximális nem asszociált halmaza. Legyen továbbá v ∈ Z a (6) egy megoldása. Akkor van olyan β ∈ B és y, n ∈ Z, hogy

(5.2.12.)  \frac{(e + f\sqrt{m})(c + d\sqrt{m})^{2}β^{2}ε^{2n} + (e − f\sqrt{m})(c − d\sqrt{m})^{2}β^{′2}ε^{′2n}}{2} = my^{2} ± 8v.

Továbbá, ha m ≡ 2, 3 (mod 4), akkor

(5.2.13.)  x_{3} = \frac{βε^{n} + β′ε^{′n}}{2} , x_{4} = \frac{βε^{n} − β′ε^{′n}}{2\sqrt{m}} , és x_{2} = \frac{−2(bx_{3} + ax_{4}) ± y}{8} ,

ha pedig m ≡ 1 (mod 4), akkor

(5.2.14.)  x_{3} = \frac{−w′βε^{n} + wβ′ε^{′n}}{\sqrt{m}} , x_{4} = \frac{βε^{n} − β′ε^{′n}}{\sqrt{m}} , és x_{2} = \frac{−2bx_{3} − (a + b)x_{4} ± y}{4} .

Bizonyítás. Jelöléseink megegyeznek a 2. tétel bizonyításánál használt jelölésekkel. (9)–ből következik, hogy

ℓ_{12}(\underline{x})ℓ_{34}(\underline{x}) + ℓ_{23}(\underline{x})ℓ_{41}(\underline{x}) = αη^{B} + α̂η̂^{B},

amelyet (7) felhasználásával

2c_{2}x_{2}^{2} + 2c_{3}x_{3}^{2} + 2c_{4}x_{4}^{2} + 2c_{23}x_{2}x_{3} + 2c_{24}x_{2}x_{4} + 2c_{34}x_{3}x_{4} = αη^{B} + α̂η̂^{B}.

alakra hozhatjuk. Ha v ∈ Z eleget tesz (6)–nak, akkor ebből az

(5.2.15.)  2c_{2}x_{2}^{2} + 2c_{3}x_{3}^{2} + 2c_{4}x_{4}^{2} + 2c_{23}x_{2}x_{3} + 2c_{24}x_{2}x_{4} + 2c_{34}x_{3}x_{4} + v = 0

egyenletet kapjuk. Tekintsük ezt, mint x_{2} –re vonatkozó egyenletet. Ennek csakis akkor lehet egész megoldása, ha a diszkriminánsa egy racionális szám y_{1}, négyzete, azaz

(5.2.16.)  A_{3}x_{3}^{2} + A_{4}x_{4}^{2} + A_{34}x_{3}x_{4} − A_{0} = y_{1}^{2},

ahol

A_{3} = 4c_{23}^{2} − 16c_{2}c_{3},
A_{4} = 4c_{24}^{2} − 16c_{2}c_{4},
A_{34} = 8c_{23}c_{24} − 16c_{2}c_{34},
A_{0} = 8c_{2}v.

A továbbiakban az m ≡ 2, 3 (mod 4) és m ≡ 1 (mod 4) eseteket elkülönítve vizsgáljuk.

I. Ha m ≡ 2, 3 (mod 4), akkor (4)

(4.1.17.)  x_{3}^{2} − mx_{4}^{2} = j_{1}

alakú. A 3.1.1. lemma (i) állítása szerint van olyan A ⊂ Z_{L} véges halmaz, hogy (17) minden (x_{3}, x_{4}) ∈ Z^{2} megoldásához létezik β ∈ A és n ∈ Z, hogy

x_{3} − \sqrt{m}x_{4} = βε^{n}.

Ebből közvetlenül következik (13), amelyet (16)–ba helyettesítve egyszerű átalakításokkal kapjuk, hogy

(5.2.18.)  \frac{(mA_{3} + A_{4} + \sqrt{m}A_{34})β^{2}ε^{2n} + (mA_{3} + A_{4} − \sqrt{m}A_{34})β^{′2}ε^{′2n}}{4m} = y_{1}^{2} + A_{0} − \frac{j_{1}(mA_{3} − A_{4})}{2m}.

Az egyenletben szereplő konstansok explicit alakja g = 0, h = 2 felhasználásával a következő:

A_{3} = 4m(c^{2}e + d^{2}me + 2cdfm)
A_{4} = 4m^{2}(c^{2}e + d^{2}me + 2cdfm) = mA_{3}
A_{34} = 8m^{2}(c^{2}f + d^{2}mf + 2cde)
A_{0} = 32mv.

Ebből következik, hogy (18) jobb oldalán álló harmadik összeadandó 0. Továbbá

mA_{3} + A_{4} + \sqrt{m}A_{34} = 8m^{2}(c^{2} + 2cd\sqrt{m} + d^{2}m)(e + f\sqrt{m}) = 8m^{2}(e + f\sqrt{m})(c + d\sqrt{m})^{2},

így (18) a következő alakba írható

(5.2.19.)  2m [(e + f\sqrt{m})(c + d\sqrt{m})^{2}β^{2}ε^{2n} + (e − f\sqrt{m})(c − d\sqrt{m})^{2}β^{′2}ε^{′2n}] = y_{1}^{2} + 32mv.

Ezen egyenlet bal oldalán egész szám van és 32mv is egész, így y_{1} is az. Mivel a négyzetmentes m szám osztja y_{1}^{2} –et, ezért m|y_{1}. Végül, esetünkben e ≡ f ≡ 0 (mod 2), így 4 osztja (19) bal oldalát és természetesen 32v –t is, tehát az m –en felül 2 is osztja y_{1} –et, ezekből pedig következik (12).

II. Most tegyük fel, hogy m ≡ 1 (mod 4). Ekkor (4)

(5.2.20.)  x_{3}^{2} + x_{3}x_{4} − \frac{m − 1}{4}x_{4}^{2} = j_{1}

alakú. Az I. esethez hasonlóan van olyan A ⊂ Z_{L} véges halmaz, hogy az utóbbi egyenlet bármely (x_{3}, x_{4}) ∈ Z megoldására

x_{3} + wx_{4} = βε^{n}

teljesül valamely β ∈ A és n ∈ Z –vel. Ebből a konjugált egyenletet is figyelembe véve kapjuk (14)–et. Az x_{3} és x_{4} –re most kapott kifejezéseket (16)–ba helyettesítve a következő egyenletet vezethetjük le: (5.2.21.)

\{(A_{3}w^{′2} + A_{4} − w′A_{34})β^{2}ε^{2n} + (A_{3}w^{2} + A_{4} − wA_{34})β^{′2}ε^{′2n}\}/m = y_{1}^{2} + A_{0} + \frac{j_{1}}{m} (A_{3} \frac{1 − m}{2} + 2A_{4} − A_{34}) .

Felhasználva, hogy ebben az esetben g = h = 1; A_{0}, A_{3}, A_{4} és A_{34} –re a következő kifejezéseket kapjuk:

A_{3} = m(c^{2}e + d^{2}me + 2cdfm),

A_{4} = \frac{m}{4}[(m + 1)(c^{2}e + d^{2}me + 2cdfm) + 2m(c^{2}f + d^{2}mf + 2cde)],

A_{34} = m(c^{2}e + d^{2}me + 2cdfm) + m^{2}(c^{2}f + d^{2}mf + 2cde), A_{0} = 8mv.

Ezeket az alakokat felhasználva egyszerű számolással ellenőrizhető, hogy

\frac{1 − m}{2}A_{3} + 2A_{4} − A_{34} = 0

és

A_{3}w^{′2} + A_{4} − w′A_{34} = \frac{m^{2}}{2} (e + \sqrt{m}f)(c + \sqrt{m}d)^{2}.

Beírva eredményeinket (21)–be az I. eset befejezésekor alkalmazott gondolatmenettel kapjuk (12)–t.

A (15) egyenletből x_{2} kifejezhető

x_{2} = \frac{−2(c_{23}x_{3} + c_{24}x_{4}) ± y_{1}}{4c_{2}}

alakban. Most c_{2}, c_{23}, és c_{24} explicit alakjait, valamint m ≡ 2, 3 (mod 4) esetén y_{1} = 2my, míg m ≡ 1 (mod 4) mellett y_{1} = my –t felhasználva kapjuk x_{2} –nek a tételben felírt alakját.

Most új bizonyítást adunk Nagell [1967] és Győry [1976] tételére az általunk vizsgált speciális bikvadratikus számtestek esetén.

5.2.4. Tétel. A (3) egyenletnek bármely J ∈ Z –re csak véges sok (x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ Z^{3} megoldása van és ezek effektíven meghatározhatóak.

Bizonyítás. A 2. lemma szerint ha (3) megoldható, akkor vannak olyan j_{1}, j_{2} ∈ Z, j_{1}j_{2} = J, amelyekre a (4), (5) egyenletrendszer megoldható. A megengedett j_{1}, j_{2} párok száma nyilván véges. Rögzített j_{1}, j_{2} mellett a (6) egyenletnek előjeltől eltekintve egyetlen megoldása van v –ben. (17) illetve (20)–nak véges sok nem asszociált megoldása van, rögzítsünk ezek közül egyet β –t. Az eddigi elemek láthatóan effektíven meghatározhatóak.

Most már csak azt kell belátni, hogy (12)–nek csak véges sok y, n ∈ Z effektíven meghatározható megoldása van. (12) bal oldalán egy másodrendű sorozat {G_{t}}_{t=0}^{∞} n –dik tagja áll. A 4.2.1. tétel szerint (12)–nek csakis akkor lehet végtelen sok megoldása, ha

(5.2.22.)  my^{2} + 8v = ε\sqrt{±\frac{C}{D}} T_{2} (\frac{4m}{η\sqrt{E}} y) ,

ahol E = ∓64mv,

C = (G_{1} − ε^{′2}G_{0})(G_{1} − ε^{2}G_{0}) = −\frac{(e^{2} − f^{2}m)(c^{2} − d^{2}m)^{2}(ββ′)^{2}(ε^{2} − ε^{′2})^{2}}{4} ,

D = (ε^{2} − ε^{′2})^{2}.

Mivel T_{2}(x) = x^{2} − 2, így (22) átalakítható

my^{2} ± 8v = εj_{1}(c^{2} − d^{2}m)\sqrt{\frac{e^{2} − f^{2}m}{4}} \frac{my^{2} ± 8v}{4v}

alakba. Ez a polinomazonosság azonban nem teljesülhet, hiszen a jobb oldalán \sqrt{\frac{e^{2}−f^{2}m}{4}} nem racionális

szám. Így (12)–nek minden rögzített β és v mellett csak véges sok megoldása van és ezek a 4.2.8. tétel szerint effektíven meghatározhatóak.

5.3. Bikvadratikus számtestek feletti indexforma

egyenletek kis megoldásainak meghatározásáról

Az előző pontban bizonyított eredmények összegzéseként most algoritmust adunk rögzített 0 ≠ J ∈ Z és M ∈ Q, M ≥ 1 mellett a (2.3) egyenlet összes olyan (x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ Z^{3} megoldásának meghatározására, ahol max{|x_{3}|, |x_{4}|} ≤ M.

5.3.1. Algoritmus. Bemenet : a, b, c, d, e, f, g, h, m ∈ Z, K egy primitív elemét definiáló paraméterek

M ≥ 1, M ∈ Q. J ∈ Z^{+}.

Kimenet : Az |I(x_{2}, x_{3}, x_{4})| = J egyenlet összes olyan (x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ Z^{3} megoldása, amelyekre max{|x_{3}|, |x_{4}|} ≤ M.

1, Legyen A = \{(j_{1}, j_{2}, v)|j_{1} ∈ Z^{+}, j_{2} ∈ Z, |j_{1}j_{2}| = J és v^{2} = \frac{e^{2}−f^{2}m}{4} (\frac{c^{2}−d^{2}m}{4})^{2} j_{1}^{2} + 4hmj_{2}\}. Ha A = Ø, akkor (2.3) nem megoldható, return. 2, ε ← Z_{L} alapegysége \{ε > 1, L = Q(\sqrt{m})\}. 3, For (j_{1}, j_{2}, v) ∈ A do Ha j_{1} = 1, akkor B ← {1} különben B ← j_{1} normájú, nem asszociált elemek maximális halmaza. N ← Ø 4, For β ∈ B do Hajtsuk végre (⋆) –ot (β, N) paraméterekkel Ha β ∉ Q vagy β ∉ \sqrt{m}Q, akkor hajtsuk végre (⋆) –ot (β′, N) paraméterekkel. For (γ, n, y) ∈ N do Ha m ≡ 2, 3 (mod 4), akkor

x_{3} ← \frac{γε^{n} + γ′ε^{′n}}{2} , x_{4} ← \frac{γε^{n} − γ′ε^{′n}}{2\sqrt{m}} , x_{2}^{(±)} ← \frac{−2(bx_{3} + ax_{4}) ± y}{8}

különben

x_{3} ← \frac{−w′γε^{n} + wγ′ε^{′n}}{\sqrt{m}} , x_{4} ← \frac{γε^{n} − γ′ε^{′n}}{\sqrt{m}} , x_{2}^{(±)} ← \frac{−2bx_{3} − (a + b)x_{4} ± y}{4} .

Ha x_{2}(+) ∈ Z és |I(x_{2}(+), x_{3}, x_{4})| = J, akkor output x_{2}(±), x_{3}, x_{4}.

(5.3. ∗ .) M_{1} ← log (\frac{2M}{max\{|γ|, |γ′|\}}) / log ε

G_{0} ← \frac{(e + f\sqrt{m})[(c + d\sqrt{m})γ]^{2} + (e − f\sqrt{m})[(c − d\sqrt{m})γ′]^{2}}{2}

G_{1} ← \frac{(e + f\sqrt{m})[(c + d\sqrt{m})γε]^{2} + (e − f\sqrt{m})[(c − d\sqrt{m})γ′ε′]^{2}}{2}

A ← ε^{2} + ε^{′2} B ← −1

Alkalmazzuk a 4.3.2. algoritmust

G_{0}, G_{1}, A, B, my^{2} + 8v, M_{1}; output n, y

G_{0}, G_{1}, A, B, my^{2} − 8v, M_{1}; output n, y (5.3.2.)

G_{1}, G_{0}, A, B, my^{2} + 8v, M_{1}; output − n + 1, y
G_{1}, G_{0}, A, B, my^{2} − 8v, M_{1}; output − n + 1, y

paraméterekkel. N ← N ∪ {(γ, n_{i}, y_{i})}, ahol (n_{1}, y_{1}), … algoritmus által kiszámított

eredmények.

5.3.2. Tétel. Az 1. algoritmus helyesen működik.

Bizonyítás. A 2.2. tétel szerint, ha A = Ø, akkor az

|I(x_{2}, x_{3}, x_{4})| = J

egyenlet nem megoldható. Legyen (j_{1}, j_{2}, v) ∈ Z^{3} a (2.6) egy megoldása és β egy j_{1} normájú elem L –ben. Akkor a 2.3 tétel szerint (2.12.)–nek van (n, y) ∈ Z^{2} megoldása. Ha β ∈ Q vagy β ∈ \sqrt{m}Q, akkor (2.12) bal oldala nem változik, ha β és β′ szerepét felcseréljük.

A (2) első, illetve második paraméterpárja megfelel az n ≥ 0 illetve n ≤ 0 esetnek. Valóban (2.12) bal oldalán egy másodrendű rekurzív sorozat {G_{n}} n. –dik eleme áll. Legyen n ≥ 0. Akkor a két kezdőérték megválasztása nyilvánvaló. A sorozat karakterisztikus polinomjának két gyöke ε^{2} és ε^{′2}, így az 1.4.1. tétel c. szerint a polinom x^{2} − (ε^{2} + ε^{′2})x + 1 alakú. Mivel (εε′)^{2} = 1, így ugyanez teljesül n ≤ 0 –ra is. Továbbá G_{−1} = AG_{0} − G_{1}, így a G_{0}, G_{1} számokat fordított sorrendben alkalmazva n ≤ 0 –ra generálják a sorozatot, természetesen ezzel az indexek is eggyel megnőnek.

(2.13) illetve (2.14)–ből következik, hogy ha max{|x_{3}|, |x_{4}|} < M, akkor |n| < M_{1}.

Az utolsó ciklusban a 2.3 tétel alapján az indexforma egyenlet megoldásait kapjuk meg. Ezzel a tételt bebizonyítottuk.

A módszer működését egy pédával illusztráljuk.

5.3.3. Példa. A K = Q(\sqrt{7 + 2\sqrt{5}}) test paraméterei:

a = c = 2, b = d = 0, e = 14, f = 4, g = h = 1, m = 5.

Legyen J = 143 = 11 · 13 és M = 30.000

Egyszerűen ellenőrizhető, hogy (2.6) a (j_{1}, j_{2}) = (1, ±143), (13, ±11), és (143, ±1), (11, −13) párokra nem teljesülhet, míg (j_{1}, j_{2}, v) = (11, 13, 57) megoldása, így A = {(11, 13, 57)}.

Az L = Q(\sqrt{5}) alapegysége \frac{1+\sqrt{5}}{2} és Z_{L} –ben a β = \frac{7+\sqrt{5}}{2} elem normája 11, így minden ±11 normájú elem asszociált β –val vagy β′ –vel, tehát B = {β}. A (⋆) szubrutin paraméterei a (2)–ben megadott sorrendben, két–két feladatot összefoglalva

1036, 2584, 3, −1, 5y^{2} ± 8 · 57

2584, 1036, 3, −1, 5y^{2} ± 8 · 57 γ = β 476, 764, 3, −1, 5y^{2} ± 8 · 57 γ = β′

764, 476, 3, −1, 5y^{2} ± 8 · 57.

Látható, hogy (G_{0}, G_{1}) = 4 teljesül a négy esetben, így ha a megfelelő egyenletnek egyáltalán van megoldása, akkor y páros.

A következő táblázatban felsoroltuk a {G_{n}/4} sorozatok első nyolc tagját. Ha valamelyik tagra van megoldás, akkor zárójelbe a ±2 · 57 tag előjelét írtuk, majd a megfelelő y/2 értéket. Ha nincs megoldás, akkor – jelet alkalmaztunk.

n 0  1  2  3  4  5  6  7
259 646 1679 4391 11494 30091 78779 206246
− − − − − − − −
259 131 134 271 679 1766 4619 12091
− (−)7 (+)2 − − − − −
119 191 454 1171 3059 8006 20959 54871
(+)1 − − − − − − −
119 166 379 971 2534 6631 17359 45446
(+)1 −  −  − (+)22 −  −  −

Ahol az aktuális paraméterekkel a (2.12) egyenlet megoldható ott a megfelelő x_{2}, x_{3}, x_{4} értékek a következőek:

\begin{matrix}n & G_{n}/4 & y/2 & x_{3} & x_{4} & x_{2} \\ −1 & 131 & 7 & −2 & 3 & 2, −5 \\ −2 & 134 & 2 & 5 & −2 & 2, 0 \\ 0 & 119 & 1 & 4 & −1 & 1, 0 \\ −4 & 2534 & 22 & 23 & −14 & 18, −4 \end{matrix}

Ellenőrizhető, hogy ezek az értékek az

|I_{K}(x_{2}, x_{3}, x_{4})| = 143

egyenlet megoldásai. A 4.3.2. algoritmus Nemes [1989] implementációjával ellenőriztük, hogy (2.12)–nek n ≤ 10^{6} –ra nincs táblázatban megadottól különböző megoldása.

5.4. Bikvadratikus számtestek minimális indexű elemeinek

meghatározásáról

A 2. rész eredményeit nemcsak rögzített indexű elemek meghatározására lehet felhasználni, hanem arra is, hogy adott bikvadratikus számtest minimális indexű elemeinek indexének abszolút értékére felső korlátot adjunk. Módszereinket Gaál, Pethő and Pohst [1990b] dolgozatban publikáljuk. Jelöléseink megegyeznek a 2. és 3. részben használtakkal. Az algoritmus sok tekintetben hasonló a 3.1 algoritmussal, így egyes részleteket, a rövidség kedvéért nem dolgozunk ki benne.

5.4.1. Algoritmus. { Felső korlát a minimális indexre } Bemenet : a, b, c, d, e, f, g, h, m ∈ Z, K egy primitív elemét definiáló paraméterek. Kimenet : J ∈ Z olyan, amelyre (2.3) megoldható, valamint (j_{11}, j_{12}), (j_{21}, j_{22}), …,

az összes olyan egész számokból álló elempár, amelyekre |j_{i1}j_{i2}| < |J|, és (2.6) teljesül, de (2.3)–nak nincs kis megoldása.

1, j_{1} ← 1, j_{2} ← 1, M ← Ø, J ← ∞ 2, repeat

Ha (2.3) megoldható a (j_{1}, j), párra, ahol j = j_{2} vagy −j_{2} akkor M ← M ∪ {(j_{1}, j)}, Ha a (2.12) egyenlet megoldható és annak megoldásai az I(x_{2}, x_{3}, x_{4}) = j_{1}j megoldásait implikálják, akkor J ← j_{1}j_{2}. j_{2} ← j_{2} + 1 until J < ∞.

3, Ha |J| ≤ 3, akkor output J, return 4, j_{1} ← j_{1} + 1 5, while j_{1} < [J/2] do

Ha Z_{L} –ben van ±j_{1} normájú elem, akkor j_{2} ← 1

while j_{1}j_{2} < J do

Ha (2.3) megoldható a (j_{1}, j), párra, ahol j = j_{2} vagy −j_{2}, akkor M ← M ∪ {(j_{1}, j)}, Ha a (2.12) egyenlet megoldható és annak megoldásai az I(x_{2}, x_{3}, x_{4}) = j_{1}j megoldásait implikálják, akkor J ← j_{1}j_{2} j_{2} ← j_{2} + 1

j_{1} ← j_{1} + 1 Output J.

6, For (j_{1}, j_{2}) ∈ M do Ha |j_{1}j_{2}| < J, akkor output (j_{1}, j_{2}).

5.4.2. Tétel. Az 1. Algoritmus véges sok lépésben befejeződik és kimenetére teljesülnek az állítottak.

Bizonyítás. Az algoritmus végessége nyilvánvalóan attól függ, hogy a 2. ciklus befejeződik–e véges sok lépésben. Ez pedig így van, hiszen (2.4) j_{1} = 1 –re mindig megoldható és ennek x_{3}, x_{4} megoldásai például x_{2} = 0 –val korlátot adnak Z_{L} minimális indexű elemének indexére. Ezeket a megoldásokat az algoritmus a 2.2. és 2.3. tétel szerint előbb–utóbb megtalálja. A 3. lépés helyessége a 2.2 lemma közvetlen következménye. Az állítás második része nyilvánvaló.

5.4.3. Példa. Legyen K = Q(\sqrt{63 + 22\sqrt{2}}). Ennek a testnek a paraméterei:

D_{K} = 192064, a = b = c = 2, d = 0, e = 126, f = 44, g = 0, h = 2, m = 2.

A (2.6) egyenlet most

(5.4.1.)  v^{2} = 3001j_{1}^{2} + 32j_{2}

alakú. Ennek j_{1} = 1 mellett j_{2} = −6 a minimális abszolút értékű megoldása, mégpedig v = 53 –ra. Így a (2.12) egyenletpár

(5.4.2.)  \frac{(63 + 22\sqrt{2})(1 + \sqrt{2})^{2n} + (63 − 22\sqrt{2})(1 − \sqrt{2})^{2n}}{2} = (\frac{y}{2} )^{2} ± 53.

Ezeknek |n| ≤ 8 –ra nincs megoldása.

(1)–nek j_{1} = 1 és |j_{2}| > 6 mellett a következő megoldása j_{2} = 15, v = 59. A megfelelő (2.12) egyenletpárnak van megoldása, mégpedig n = 0, y = 4, melyekhez az x_{2} = −1, 0; x_{3} = 1, x_{4} = 0 értékek tartoznak. A megfelelő Z_{K} –beli elem indexe valóban 15, így I_{K} ≤ 15.

Az 1. algoritmus 5, ciklusát végrehajtva azt találjuk, hogy egyenletnek újabb potenciális megoldása van j_{1} = 2, j_{2} = 3, v = 110. Q(\sqrt{2}) –ben a 2 normájú nem asszociált elemek maximális halmaza egyetlen elemből, \sqrt{2} –ből áll, így a (2.12) egyenletpár most

(5.4.3.)  \frac{(63 + 22\sqrt{2})(1 + \sqrt{2})^{2n} + (63 − 22\sqrt{2})(1 − \sqrt{2})^{2n}}{2} = 2 (\frac{y}{4} )^{2} ± 55.

Ennek n = 0, y = 8 megoldása, de x_{2} = \frac{−4±8}{8} ∉ Z, így az indexforma egyenletnek J = 6 –ra nincs kis megoldása.

Tovább folytatva a keresést, az (1) egyenlet további megoldására találunk, mégpedig a j_{1} = 9, j_{2} = −1 párra. Mivel (\frac{8}{3}) = (\frac{2}{3}) = −1, ezért 3 prímszám Q(\sqrt{2}) –ben, következésképpen asszociált erejéig ez az egyetlen 9 normájú elem. A megfelelő (2.12.) egyenletpárnak n = 1, y = ±244 megoldása, melyekhez az x^{2} = −38, 23; x_{3} = 9; x_{4} = 6 értékek tartoznak.

Az algoritmus tehát azt a választ adja, hogy I_{K} ≤ 9 és I_{K} = 9 vagy 6.

5.4.4. Állítás. A 3. példában szereplő K testre I_{K} = 9.

Bizonyítás. Belátjuk, hogy a (2) egyenletnek nincs megoldása és a (3) egyenlet n, y megoldásaihoz tartozó (2.13)–ban definiált x_{2} ∉ Z. Ez a páldában leírtak szerint implikálja az állítást. A bizonyításhoz a 4.3.1. algoritmus módszerét alkalmazzuk.

(2) és (3) bal oldalán ugyanaz a másodrendű rekurzív sorozat áll. Ez n ≥ 0 –ra

G_{0}^{(+)} = 63, G_{1}^{(+)} = 277, G_{n+1}^{(+)} = 6G_{n}^{(+)} − G_{n−1}^{(+)},

míg n ≤ 0 –ra

G_{0}^{(−)} = 63, G_{1}^{(−1)} = 101, G_{n+1}^{(−)} = 6G_{n}^{(−)} − G_{n−1}^{(−)}.

Egyszerűen ellenőrizhető, hogy

(5.4.4.)  (G_{n}^{(+)}mod 8) = (G_{n}^{(−)}mod 8) = \overline{7, 5}.

Ebből következik, hogy

((G_{n}^{(+)} + 53)mod 8) = ((G_{n}^{(−)} + 53)mod 8) = \overline{4, 2}

és

((G_{n}^{(+)} − 53)mod 8) = ((G_{n}^{(−)} − 53)mod 8) = \overline{2, 0}.

Mivel 2 kvadratikus nemmaradék mod 8, így az első esetben n csak páros, míg a másodikban csak páratlan lehet, amennyiben (2) egyáltalán megoldható. Mivel

((G_{n}^{(+)} + 53)mod 3) = \overline{2, 0, 2, 1},
((G_{n}^{(−)} + 53)mod 3) = \overline{2, 1, 2, 0}

és (\frac{2}{3}) = −1, így (2)–ben a – választás nem adhat eredményt. Végül

((G_{n}^{(+)} − 53)mod 9) = \overline{1, 8, 7, 3, 7, 8, 1, 3, 4, 7, 4, 3}

((G_{n}^{(−)} − 53)mod 9) = \overline{1, 3, 4, 7, 4, 3, 1, 8, 7, 3, 7, 8}.

Látható, hogy a páratlan indexekhez 3, 7 és 8 maradékok tartoznak, melyek kvadratikus nemmaradékok mod 9, így a (2) egyenlet nem oldható meg.

Most vizsgáljuk a (3) egyenletet. Ekkor β = \sqrt{2} miatt (2.13)–ból

x_{3} + x_{4} = \frac{\sqrt{2}((1 + \sqrt{2})^{n} − (1 − \sqrt{2})^{n})}{2} + \frac{\sqrt{2}((1 + \sqrt{2})^{n} + (1 − \sqrt{2})^{n})}{2\sqrt{2}} = \frac{(1 + \sqrt{2})^{n+1} + (1 − \sqrt{2})^{n+1}}{2}

következik. Így x_{3} + x_{4} minden n –re páratlan. Tehát a = b = 2 és 4|y miatt

x_{2} = \frac{−(x_{3} + x_{4}) ± y/4}{2}

és x_{2} csakis akkor lehet egész, ha y/4 páratlan. Másrészt (4)–ből következik, hogy

(\frac{G_{n}^{(+)} + 55}{2}mod 4) = (\frac{G_{n}^{(−)} + 55}{2}mod 4) = \overline{3, 2}

és

(\frac{G_{n}^{(+)} − 55}{2}mod 4) = (\frac{G_{n}^{(−)} − 55}{2}mod 4) = \overline{0, 3}.

De 2 és 3 kvadratikus nemmaradékok mod 4. Ha pedig a második esetben a maradék 0 – amikor (3) esetleg megoldható – akkor y/4 páros, ellentmondásban a fentivel. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

Az 1 algoritmust alkalmaztuk azokra a < 1.000000 diszkriminánsú totálisan valós, bikvadratikus számtestekre, amelyek másodfokú résztestének az ideálosztályszáma 1. A számítás eredményét az értekezéshez mellékelt floppy lemez tartalmazza. Az adatokat IBM PC AT kompatibilis számítógéppel 1,2 MB méretűre formattált lemezre vittük fel.

Rekordonként az első négy érték: diszkrimináns, m, e, f, ezt követi a, b, c, d, g, h, majd a minimális indexre adott felső korlát – J, végül a J jobboldalú indexforma egyenlet kis megoldásai.

Irodalom

Avanesov E.T. [1969], Solution in integers of the indeterminate equation x^{3} − 2x^{2}y − 5xy^{2} − y^{3} = 1, Ivanov. Gos. Ped. Inst. Ucen. Zap. 61, 61–83. (oroszul)

Avanesov E.T. [1972], A bound for the number of representations by a special class of binary cubic forms of positive discriminant, Acta Arith. 20, 17–31. (oroszul)

Baker A. [1966], Linear forms in the logarithms of algebraic numbers, Mathematika 13, 204-216. Baker A. [1967], Linear forms in the logarithms of algebraic numbers, II., III., Mathematika 14, 102–107

és 220–228. Baker A. [1968a], Linear forms in the logarithms of algebraic numbers, IV., Mathematika 13, 204–216. Baker A. [1968b], Contribution to the theory of Diophantine equations I. On the representation of

integers by binary forms, Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 263, 173–191.

Baker A. [1969], Bounds for the solutions of the hyperelliptic equation, Proc. Cambridge Philos. Soc. 65, 439–444.

Baker A. [1972], A sharpening of the bounds for linear forms in logarithms I., Acta Arith. 21, 117–129. Baker A. [1973], A sharpening of the bounds for linear forms in logarithms II., Acta Arith. 24, 33–36. Baker A. [1975], A sharpening of the bounds for linear forms in logarithms III., Acta Arith. 27, 247–252. Baker A. [1977], The theory of linear forms in logarithms, in Transcendence Theory: Advences and

Applications, Academic Press, London,pp. 1–27.

Baker A. [1975], Transcendental Number Theory, Cambridge Univ. Press, Cambridge. Baker A. and Davenport H. [1969], The equations 3x^{2} − 2 = y^{2} and 8x^{2} − 7 = z^{2}, Quart. J. Math.

Oxford, 20, 129–137.

Baulin V.I. [1960], On an indeterminate equation of the third degree with least positive discriminant, Tul ’sk Gos. Ped. Inst. U ’cen. Zap. Fiz. Math. Nauk. 7, 138–170.

Blass J., Glass A.M.W., Manski D., Meronk D.B. and Steiner R.P. [1990a], Constants for lower bounds for linear forms in the logarithms of algebraic numbers I: the general case, Acta Arith. 55, 1–13

Blass J., Glass A.M.W., Manski D., Meronk D.B. and Steiner R.P. [1990b], Constants for lower bounds for linear forms in the logarithms of algebraic numbers II: the rational case, Acta Arith. 55, 15–22.

Bombieri E. and Schmidt W.M. [1987], On Thue ’s equation, Invent. Math. 88, 69–82. Borevich Z.I. and Safarevich I.R. [1967], Number Theory 2nd. ed. Academic Press. Brindza B. [1984], On S–integral solutions of the equation y^{m} = f(x), Acta Math. Hung. 44, 133–139. Buchmann J., K. Győry, M. Mignotte and N. Tzanakis [1990], Lower bounds for P (x^{3}+k), an elementary

approach, Publ. Math. Debrecen, megjelenés alatt.

Buchmann J. [1987], On the computation of units and class numbers by a generalization of Lagrange ’s algorithm, J. Number Theory 26, 8–30.

Buchmann J. and Pethő A. [1986], Computation of independent units in number fields by Dirichlet’s method, (Extended abstract) in Algebraic Algorithms and Error–Correcting Codes, Lecture Notes in Comput. Sci., Vol. 229. Springer Verlag, 302–305.

Buchmann J. and Pethő A. [1989], Computation of independent units in number fields by Dirichlet ’s method, Math. Comp. 52, 149–159 és S1–S14.

Buchman J. and Ford D. [1989], On the computation of totally real quartic fields of small discriminants, Math. Comp. 52, 161–174.

Bundschuh P. und Hock A. [1969], Bestimmung aller imaginär–quadratischen Zahlkörper der Klassenzahl Eins mit Hilfe eines Satzes von Baker, Math. Zeitschrift 111, 191–204.

Cantor D.G., Galyean P.H. and Zimmer H.G. [1972], A continued fraction algorithm for real algebraic numbers, Math. Comp. 26, 785–791.

Churchouse R.F. [1976], Efficient computation of algebraic continued fractions, Astérisque No. 38–39. Cohn J.H.E. [1964], On square Fibonacci numbers, J. London Math. Soc. 39, 537–540. Cohn J.H.E. [1977], Equations with equivalent roots, Acta Arith. 34, 37–41. Davis M., Matijaszevic Yu. and Robinson J. [1976], Hilbert ’s tenth problem. Diophantine equations,

in: Mathematical developments arising from Hilbert problems, Proc. Symp. Pure Math. 28, 323–378.

Cherubini J.M. and Wallisser R.V. [1987], On the computation of all imaginary quadratic fields of class number one, Math. Comp. 49, 295–299.

Delone (Delaunay) B.N [1930], Über die Darstellung der Zahlen durch die binäre kubischen Formen von negativer Diskriminante, Math. Zeitschr. 31 , 1–26.

Delone B.N. and Faddeev D.K. [1964], The theory of irrationalities of the third degree, Am. Math. Soc. Transl. of Math. Monographs 10. Providence.

Dorey F. and Whaples G. [1974], Prime and composite polynomials, J. Algebra 28, 88–101. Ellison W.J. [1971], Recipes for solving diophantine problems by Baker’s method, Sem. Th. Nombr.,

197O–1971. Exp. No. 11. Talence: Lab. Theorie Nombres, C.N.R.S.

Ellison W.J., Ellison F., Pesek J., Stahl C.E. and Stall D.S. [1972], The diophantine equation y^{2}+k = x^{3}, J. Number Theory 4, 107–117.

Ennola V. and Turunen R. [1985], On totally real cubic fields, Math. Comp. 44, 495–518. Eswarathasan A. [1978], On square pseudo–Lucas numbers, Canad. Math. Bull. 21, 297–303. Evertse J.H. [1983a], Upper Bounds for the Number of Solutions of Diophantine Equations, MC Tracts

168, Amsterdam.

Evertse J.H. [1983b], On the representation of integers by binary cubic forms of positive discriminant, Invent. Math. 73, 117–138.

Evertse J.H. [1984], On sums of S–units and linear recurrences, Compositio Math. 53, 225–244. Evertse J.H. and Győry [1989], Thue–Mahler equations with a small number of solutions, J. reine angew.

Math. 399, 60–80.

Fincke U. and Pohst M. [1983], A procedure for determining algebraic integers of given norm, in Proc. EUROCAL ’83. Lecture Notes Comp. Sci. 162. Springer Verlag.

Fincke U. and Pohst M. [1985], Improved methods for calculating vectors of short length in a lattice, including a complexity analysis, Math. Comp. 44, 463–471.

Finkelstein R. [1973], On Fibonacci numbers which are one more then a square, J. reine angew Math. 262–263, 171–178.

Gaál I. [1988], On the resolution of inhomogeneous norm form equations in two dominating variables, Math. Comp. 51, 359–373.

Gaál I. and Schulte N. [1989], Computing all power integral bases of cubic fields, Math. Comp. 53, 689–696.

Gaál I., Pethő A. and Pohst M. [1989a], On the resolution of index form equations corresponding to biquadratic number fields I., J. Number Theory, megjelenés alatt.

Gaál I., Pethő A. and Pohst M. [1989b], On the resolution of index form equations corresponding to biquadratic number fields II., J. Number Theory, megjelenés alatt.

Gaál I., Pethő A. and Pohst M. [1990a], On the indices of biquadratic number fields with Galois group V_{1}, Arch. Math. megjelenés alatt.

Gaál I., Pethő A. and Pohst M. [1990b], On the resolution of index form equations corresponding to biquadratic number fields III., előkészületben.

Gelfond A.O. [1935], On the approximation of transcendental numbers by algebraic numbers, (oroszul), Dokl. Akad. Nauk. SSSR. 2, 177–182.

Gras M.N. [1981], Z–bases d ’entiers 1, τ, τ^{2}, τ^{3} dans les extensions cycliques de degré 4 de Q, Théorie des Nombres, Besancon, Années 1979–1980 et 1980–1981.

Gras M.N. [1983], Bases d ’entiers dans les extensions cycliques de degré 4 de Q, Sém. Théorie Nomb. Bourdeaux, Année 1982–1983, exp.No.11.

Grötschel M., Lovász L. and Schrijver A. [1988], Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization, Algorithms and Combinatorics Vol. 2., Springer Verlag.

Győry K. [1976], Sur les polynomes a coefficients entiers et de discriminant donne III., Publ. Math. Debrecen, 23, 141–165.

Győry K. [1979–1980], On the solutions of linear diophantine equations in algebraic integers of bounded norm, Ann. Univ. Sci. Eötvös, Sect. Math., 22–23, 225–233.

Győry K. [1980b], Resultats effectives sur la representation des entiers par des formes decomposables, Queen’s Papers in Pure and Applied Math., No. 56, Kingston, Canada.

Győry K. [1981], On the representation of integers by decomposable forms in several variables, Publ. Math. Debrecen, 28, 89–98.

Győry K. [1983], Bounds for the solutions of norm form, discriminant form and index form equations in finitely generated integral domains, Acta Math. Hung., 42, 45–80.

Győry K. and Papp Z.Z. [1977], On the discriminant form and index form equations, Studia Sci. Math. Hungar., 12, 47–60.

Győry K. and Papp Z.Z. [1983], Norm form equations and explicit lower bounds for linear forms with algebraic coefficients, in Studies in Pure Mathematics (To the Memory of Paul Turán), Akadémiai Kiadó, Budapest, 245–267.

Halter–Koch F. [1972], Einheitengruppen und prime Restklassengruppen in quadratischen Zahlkörpern, J.Number Theory 4, 70–77.

Hensel K. [1894], Arithmetische Untersuchungen über die gemeinsamen ausserwesentlichen Diskriminantentheiler einer Gattung, J. reine angew. Math. 113, 128–160.

Hua L.K. [1982], Introduction to Number Theory, Springer Verlag. Joó I. and Phong B.M. [1988], On two Diophantine equations concerning Lucas sequences, Publ. Math.

Debrecen 35, 301–307.

Kiss P. [199?], Differences of the terms of linear recurrences, Knuth D.E. [1987a], A számítógépprogramozás művészete, 1. kötet, Alapvető algoritmusok, Műszaki

Könyvkiadó, Budapest.

Knuth D.E. [1987b], A számítógépprogramozás művészete, 2. kötet, Szeminumerikus algoritmusok, Műszaki Könyvkiadó, Budapest.

Kotov S.V. [1976], Über die maximale Norm der Idealteiler des Polynoms αx^{m} + βy^{n} mit den algebraischen Koeffizienten, Acta Arith. 31, 219–230.

Kovács B. and Pethő A. [1983], Canonical systems in the ring of integers, Publ. Math. Debrecen, 30, 39–45.

Kovács B. and Pethő A. [1990a], On a representation of algebraic integers, Acta Math. Acad. Sci. Hung. (megjelenés alatt).

Kovács B. and Pethő A. [1990b], Number systems in integral domains especially in orders of algebraic number fields, (megjelenés alatt).

Lagarias J.C. [1985], The computational complexity of symultaneous diophantine approximation problems, SIAM Journal on Computing, 14, 196–209.

Lagarias J.C. and Weisser D.P. [1981], Fibonacci and Lucas cubes, Fibonacci Quart. 18, 39–43. Lang S. [1966], Introduction to Diophantine Approximation, Addison–Wesley Publ. Comp. Lang S. [1983], Fundamentals of Diophantine Geometry, Springer Verlag. Lang S. and Trotter H. [1972], Continued fractions for some algebraic numbers, J. reine angew. Math.

255, 112–134.

Lech C. [1953], A note on recurring series, Ark. Mat. 2, 417–421. Lenstra A.K., Lenstra Jr. H.W. and Lovász L. [1982], Factoring polynomials with rational integer

coefficients, Math. Ann., 261, 515–534.

Le Veque W.J. [1964], On the equation y^{m} = f(x), Acta Arith. 9, 209–219. Lewis D.J. [1969], Diophantine equations: p–adic methods, In: Studies in Number Theory, 25–75, MAA

Studies in Math. 6.

Lippok F. [1989], Über die Darstellung von 1 durch binäre kubische Formen mit positiver Diskriminante, Diplomarbeit, Abteilung Mathematik, Universität Dortmund.

Ljunggren W. [1943], Einige Bemerkungen über die Darstellung ganzer Zahlen durch binäre kubische Formen mit positiver Diskriminante, Acta Math. 75, 1–21.

Ljunggren W. [1944], On the representation of integers by binary biquadratic forms of a special class, (norvég nyelven), Norsk. Mat. Tidsskr. 26, 51–59.

London H. and Finkelstein R. [1969], On Fibonacci and Lucas numbers which are perfect powers, Fibonacci Quart. 7, 476–481.,errata ibid. 8, 248.

London H. and Finkelstein R. [1973], On Mordell Equation y^{2} −k = x^{3}, Bowling Green State University, Bowling Green, Ohio.

Mahler K. [1929], Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen, Math. Ann. 101, 342–366.

Mahler K. [1966], A remark on recursive sequences, J. Math. Sci. 1, 12–17. Marcus D.A. [1977], Number Fields, Springer Verlag. Matijasevic Yu. [1970], Enumerable sets are diophantine, Dokl. Akad. Nauk SSSR 191, 279–282.

(oroszul).

Mignotte M. [1978], Intersection des images de certaines suites recurrentes lineaires, Theor. Comput. Sci. 7, 117–121.

Mignotte M. [1984a], On the automatic resolution of certain diophantine equations, In: Proc. of EU-ROSAM ’84, Lecture Notes in Comput. Sci. 174, Springer Verlag Berlin, 378–384.

Mignotte M. [1984b], Une nouvelle résolution de l ’équation x^{2} + 7 = 2^{n}, Rend. Sem. Fac. Sci. Univ. Cagliari 54, 41–43.

Mignotte M. [1990], On the verification of a conjecture of Thomas. Mignotte M. and Tzanakis N. [1989], A második szerző személyes közlése. Mignotte M. and Waldschmidt M. [1978], Linear forms in two logarithms and Schneider ’s method,

Math. Ann. 231, 241–267.

Mignotte M. and Waldschmidt M. [1988], Linear forms in two logarithms and Schneider ’s method II., Preprint I.R.M.A., Université Louis Pasteur, Strasbourg.

Mordell L.J. [1969], Diophantine Equations, Academic Press. Nagell T. [1928], Darstellung ganzer Zahlen durch binäre kubische Formen mit negativer Diskriminante,

Math. Zeitschr. 28, 10–29.

Nagell T. [1965], Sur les représentations de l ’unité par les formes binaires biquadratiques du premier rang, Ark. Mat. 5, 477–521.

Nagell T. [1967], Sur les discriminants des nombres algébriques, Ark. Mat. 7, 265–282. Nagell T. [1968], Sur les unités dans les corps biquadratiques primitifs du premier rang, Ark. Mat. 7,

359–394.

Nakahara T. [1982], On cyclic biquadratic fields related to a problem of Hasse, Monatshefte Math. 94, 125–132.

Nakahara T. [1983], On the indices and integral bases of non–cyclic but abelian biquadratic fields, Archiv der Math. 41, 504–508.

Narkiewicz W. [1974], Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Polish Scientific Publishers, Warsawa.

Nemes I. [1989], On the solution of the equation G_{n} = P (x), Colloquium on Computational Number Theory, Debrecen.

Nemes I. and Pethő A. [1984], Polynomial values in linear recurrences I., Publ. Math. Debrecen 31, 229–233.

Nemes I. and Pethő A. [1986], Polynomial values in linear recurrences II., J. Number Theory, 24, 47–53. Ogilvy [1962], Tomorrow ’s Mathematics. Pethő A. [1981], Perfect powers in second order recurrences, in Topics in Classical Number Theory,

Akadémiai Kiadó, Budapest, pp. 1217–1227.

Pethő A. [1982a], Simple continued fractions for the Fredholm numbers, J. Number Theory, 14, 232–236. Pethő A. [1982b], Perfect powers in second order linear recurrences, J. Number Theory, 15, 5–13. Pethő A. [1983], Full cubes in the Fibonacci sequences, Publ. Math. Debrecen, 30, 117–127. Pethő A. [1986a], On the Solution of the Equation G_{n} = P (x), in Fibonacci Numbers and Their Appli-

cations, D. Reidel Publ. Comp., 193–201.

Pethő A. [1986a], On the diophantine equation G_{n} = p^{z}, in Proceedings EUROCAL ’85, Lecture Notes in Comput. Sci., Vol. 204. Springer Verlag, 503–512.

Pethő A. [1986b], On the resolution of Thue inequalities, J. Symbolic Computation, 4, 103–109. Pethő A. [1989a], On the representation of 1 by binary cubic forms with positive discriminant, Number

Theory,Ulm 1987 Proceedings. H.P. Schlickewei and E. Wirsing Eds. Lecture Notes Math. Vol. 1380, Springer Verlag, pp. 185–196.

Pethő A. [1989b], Computational methods for the resolution of diophantine equations, Proc. First Conference of the Canadian Number Theory Association, 1988. R. Mollin Editor., pp. 479–492.

Pethő A. [1989c], On a polynomial transformation and its application to the construction of a public key cryptosystem, Colloquium on Computational Number Theory, Debrecen.

Pethő A. [1990a], Divisibility properties of linear recursive sequences, in: Number Theory, Eds.: K. Győry and G. Halász, Coll. Math. Soc. János Bolyai Vol 51. 899–915.

Pethő A. [1990b], Complete solutions to families of quartic Thue equations, Math. Comp. (közlésre leadva).

Pethő A. und Schulenberg R. [1987], Effektives Lösen von Thue Gleichungen, Publ. Math. Debrecen 34, 189–196.

Pethő A. and de Weger B.M.M. [1986], Product of prime powers in binary recurrence sequences I.: The hyperbolic case, with an application to the generalized Ramanujan–Nagell equation, Math. Comp. 47, 713–727.

Phong B.M. [1986], Lehmer sorozatok és Lehmer pszeudoprim számok, Kandidátusi Értekezés, Budapest.

Pinch R.G.E. [1988], Simultaneous Pellian equations, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 103, 35–46. Pohst M. [1975a], Berechnung unabhängiger Einheiten und Klassenzahlen in total reellen biquadratis-

chen Zahlkörpern, Computing 14, 67–78.

Pohst M. [1975b], Berechnung kleiner Diskriminanten total reeller algebraischer Zahlkörper, J. reine angew. Math. 278/279, 278–300.

Pohst M. [1987], A modification of the LLL reduction algorithm, J. Symbolic Comp. 4, 123–127. Pohst M. [1990], On integral bases of quartic fields containing a quadratic subfield by MAPLE, megje-

lenés alatt.

Pohst M. and Zassenhaus H. [1982], On effective computation of fundamental units I., Math. Comp. 38, 275–291.

Pohst M. and Zassenhaus H. [1989], Algorithmic Algebraic Number Theory, Encyclopedia of Math. and its Applications, Cambridge Univ. Press.

Pohst M., Weiler P. and Zassenhaus H. [1982], On effective computation of fundamental units II., Math. Comp. 38, 293–329.

van der Poorten A.J. [1977], Linear forms in logarithms in the p–adic case, in Transcendence Theory: Advences and Applications, Academic Press, London, pp. 29–57.

van der Poorten A.J. [1988], Solution de la conjecture de Pisot sur le quotient de Hadamard de deux fractions rationelles, C.R. Acad. Sc. Paris 306, 97–102.

van der Poorten A.J. and Schlickewei H.P. [1982], The growth conditions for recurrence sequences, Macquarie Math. Reports 82–0041.

Robbins N. [1978], On Fibonacci numbers which are powers, Fibonacci Quart. 16, 515–517. Robbins N. [1981], Fibonacci and Lucas numbers of the form w^{2} − 1, w^{3} ± 1, Fibonacci Quart. 19,

369–373.

Robbins N. [1983], On Fibonacci numbers of the form px^{2} where p is a prime, Fibonacci Quart. 21, 251–254.

Schinzel A. [1967], On two theorems of Gelfond and some of their applications, Acta Arith. 13, 177–236. Schinzel A. [1982], Selected Topics on Polynomials, University of Michigan Press, Ann Arbor. Scröter U. [1989], Computation of independent units in number fields by a combination of the methods

of Buchmann/Pethő and Pohst/Zassenhaus, Colloquium on Computational Number Theory, Debrecen. Schulenberg R. [1985], Effectives Lösen von Thue–Gleichungen, Diplomarbeit, Universität zu Köln. Schulte N. [1989], Indexgleichungen in kubischen Zahlkörpern, Diplomarbeit, Heinrich–Heine Universität

Düsseldorf.

Shorey T.N. and Stewart C.L. [1983], On the Diophantine equation ax^{2t} + bx^{t}y + cy^{2} = d and pure powers in recurrences, Math. Scand. 52, 24–36.

Shorey T.N. and Stewart C.L. [1987], Pure powers in recurrence sequences and some related diophantine equations, J. Number Theory 27, 324–352.

Shorey T.N. and Tijdeman R. [1986], Exponential Diophantine Equations, Cambridge Univ. Press, Cambridge.

Siegel C.L. [1921], Zur Approximation algebraischer Zahlen, Math. Zeitschrift 10, 173–213.

Siegel C.L. [1926], The integer solution of the equation y^{2} = ax^{n} + bx^{n−1} + … + k, J. London Math. Soc. 1, 66–68.

Stark H.M. [1967], A complete determination of the complex quadratic fields of class–number one, Michigan Math. J. 14, 1–27.

Steiner R.P. [1986], On Mordell ’s equation y^{2} − k = x^{3} : A problem of Stolarsky, Math. Comp 46, 703–714.

Stewart C.L. [1981], On some Diophantine equations and related linear recurrence sequences, Seminaire Delange–Pisot–Poitou Theorie des Nomb. (1980–81), pp. 317–321.

Stroeker R.J. [1989], On quartic Thue equations with trivial solutions, Math. Comp. 52, 175–187. Stroeker R.J. and Tijdeman R. [1982], Diophantine equations, (with an Appendix by P.L. Cijsouw, A.

Korlaar and R. Tijdeman), Computational Methods in Number Theory, MC Tract 155, Centr. Math. Comp. Sci., Amsterdam, pp. 321–369.

Stroeker R.J. and Tzanakis N. [1988], On the application of Skolem ’s p–adic method to the solution of Thue equations, J. Number Theory 29, 166–195.

Thomas E. [1990], Complete solutions to a family of cubic Diophantine equations, J. Number Theory 34, 235–250.

Thomas E. [1989], Solutions to families of cubic Thue equations, I., Preprint Math. Sci. Res. Inst. Berkeley, California.

Thue A. [1909], Annäherungswerte algebraischer Zahlen, J. reine angew. Math. 135, 284–305. Trelina L.A. [1977], On the greatest prime factor of an index form, Dokl. Akad. Nauk BSSR, 21,

975–976. (oroszul)

Tzanakis N. [1984], The complete solution in integers of x^{3} +2Y^{3} = 2^{n}, J. Number Theory 19, 203–208. Tzanakis N. and de Weger B.M.M. [1989a], On the practical solution of Thue equation, J. Number

Theory 31, 99–132.

Tzanakis N. and de Weger B.M.M. [1989b], Solving the Diophantine equation x^{3} − 3xy^{2} − y^{3} = 3^{n_{0}}17^{n_{1}}19^{n_{2}}, megjelenés alatt.

Vorob ’ev N.N. [1978], Fibonacci Numbers, (oroszul), sixth edition, Nauka, Moszkva. Waldschmidt M. [1980], A lower bound for linear forms in logarithms, Acta Arith. 37, 257–283. Wall C.R. [1985], On the triangular Fibonacci numbers, Fibonacci Quart. 23, 77–79. de Weger B.M.M [1986], Products of prime powers in binary recurrence sequences II: The elliptic case,

with an application to a mixed exponential equation, Math. Comp. 47, 729–739.

de Weger B.M.M [1987], Solving exponential Diophantine equations using lattice basis reduction algorithms, J. Number Theory 26, 325–367, errata ibid. 31 (1989), 88–89.

de Weger B.M.M [1989], Algorithms for Diophantine Equations, CWI Tract 65, Centre for Math. and Comp. Sci. Amsterdam.

Williams H.C. [1975], On the Fibonacci numbers of the form k^{2} + 1, Fibonacci Quart. 213–214. Williams H.C. [1990], The period length of Voronoi ’s algorithm, Publ. Math. Debrecen, megjelenés

alatt.

Wolfskill J. [1989], Bounding squares in second order recurrence sequences, Acta Arith. 54, 127–145. Wunderlich M.C. [1963], On the existence of Fibonacci squares, Math. Comp. 17, 455–457. Wyler O. [1964], Solution of a problem, Amer. Math. Monthly 71, 220–222. Yu K.R. [1988], Linear forms in logarithms in the p–adic case, New Advances in Transcendence Theory

(Proc. Symp. Durham July 1986), Cambridge Univ. Press, pp. 411–434.

Yu K.R. [1989a], Linear forms in the p–adic logarithms, Acta Arith. 53, 107–186. Yu K.R. [1989b], Linear forms in the p–adic logarithms II., megjelenés alatt. Zagier D. [1987], Large integral points on elliptic curves, Math. Comp., 48, 425–436. Zimmer H.G. [1972], Computational Problems, Methods and Results in Algebraic Number Theory, Lec-

ture Notes in Math. Vol. 262. Springer Verlag.