Egy önkormányzati és egy alapítványi iskola oktatóinak havi finanszírozásáról a következőket tudjuk:
| * | I | II | III |
|---|---|---|---|
| vezető oktató | 40 | 280 | 240 |
| nem vezető oktató | 60 | 210 | 190 |
| $\sum$ | 250 |
Az I-es oszlop az önkormányzati iskolákban kifizetett összes bér %-os megoszlását, a II-es és III-as oszlop pedig a havi átlagkereseteket adja meg rendre az alapítványi és önkormányzati iskolákban.
Elemezze standardizálással az átlagfizetések különbségét és az arra ható tényezőket.
az alapítványi legyen a 0-s; az önkormányzati az 1-es sokaság
az I-es oszlop (100-al osztás után) $\frac{A_{1}}{\sum A_{1}}$
a II és III rendre $V_0$ és $V_1$ (a főátlag csak a 0-s esetben adott!)
| * | $\frac{A_1}{\sum A_1}$ | $V_0$ | $V_1$ |
|---|---|---|---|
| vezető oktató | 0.4 | 280 | 240 |
| nem vezető oktató | 0.6 | 210 | 190 |
| $\sum$ | 250 |
először $\overline{V_1}$ értéket számoljuk ki
a $A = V \cdot B$ miatt, ha végigosztjuk az $\frac{A_1}{\sum A_1}$ oszlop (vektor) mennyiségeit a $V_1$ oszlop megfelelő számaival és összegzünk, majd reciprokot veszünk akkor megkapjuk $\overline{V_1}$-t:
\[ \frac{0.4}{240} + \frac{0.6}{190} = 0.004825 \\ \overline{V_1} = \frac{1}{0.004825} = 207.254 \\ \]
tehát $K = 207.254 - 250.0 = -42.746$
szükségünk van egy $\color{red}{fake}$ átlagra (is) a felbontáshoz, például a
\[ K = \frac{\sum V_1 B_1}{\sum B_1} - \color{red}{\frac{\sum V_0 B_1}{\sum B_1}} + \color{red}{\frac{\sum V_0 B_1}{\sum B_1}} - \frac{\sum V_0 B_0}{\sum B_0}=K_1^{'}+K_0^{''} \]
esetén a $\frac{\sum V_0 B_1}{\sum B_1}$-re, amihez - mivel a $V_0$ ismert ezért - elegendő $\frac{B_1}{\sum B_1}$-t kiszámolni.
a $\frac{B_1}{\sum B_1}$ 2-elemű vektor elemei az $\overline{V_1} = x\cdot {V_1}_{vo} + (1-x) \cdot {V_1}_{nvo}$ előállításban a $V_1$ vektor elemeinek együtthatói és az összegük 1, ezért $x,1-x$ alakba írhatók:
\[ x \cdot 240 + \left( 1 - x \right) \cdot 190 = 207.254 \\ x = 0.345 \\ \]
( a főátlag a részátlagok súlyozott átlaga és a súlyok éppen a keresett mennyiségek )
ezért a $\color{red}{fake}$ átlag:
\[ 280 \cdot 0.345 + 210 \cdot 0.655 = 234.15 \ \ \implies \\ K_1^{'} = 207.254 - 234.15 = -26.896 \ \ \implies \\ K_0^{''} = -15.85 \ \ \implies \\ K = (-26.896) + (-15.85) \\ (\rm{részhatás\ + \ összetételhatás}) \]
az értelmezést az olvasóra bízom.