valség

• $\Omega$: összes kimenetel, eseménytér, nemüres halmaz

  • itt még nincsen valség, csak részhalmazok

• $\omega \in \Omega$: elemi események,

• $A\subset \Omega$: esemény

  • ezt pontosítani kellene mert általában nem tekintünk minden részhalmazt eseménynek

  • biztos esemény: $\Omega$

  • lehetetlen esemény: $\O$, üreshalmaz

• $A+B$: valamelyik bekövetkezik

• $A\cdot B$: mindegyik bekövetkezik

• $\overline{A}$: $A$ nem következik be

• $A-B=A\cdot \overline{B}$: $A$ bekövetkezik és/de $B$ nem

• $A\subset B$: $A$ maga után vonja $B$-t

• de Morgan

  • nem igaz hogy valamelyik $\equiv$ egyik sem: $\overline{A+B} = \overline{A}\cdot\overline{B}$

  • nem igaz hogy mindegyik $\equiv$ egyik sem: $\overline{A\cdot B} = \overline{A}+\overline{B}$

  • ezek tetszőleges számú eseményre igazak

• ha $A\cdot B=\O$, akkor azt mondjuk hogy $A$ és $B$ kizáró események (diszjunktak)

• a valószínűség egy függvény, $\P:\cal{A}\to {\rm [0,1]}$

• $\cal{A}\subset 2^{\Omega}$, azaz $\Omega$ részhalmazazinak bizonyos rendszere ($\sigma$-algebra)

  • $\Omega, \O \in \cal{A}$

• követelmények (azaz ilyennek kell lennie)

  • $\P(\Omega)=1$

  • $\P(A+B)=\P(A) + \P(B)$ ha $A\cdot B=\O$

    • ezt tetszőleges, megszámlálható páronként kizáró eseménysorozatra szokták megkövetelni: $\P(\sum_{k} A_{k})=\sum_{k}\P(A_{k})$

• tulajdonságok:

  • $\P(\O)=0$

  • $\P(\overline{A})=1-\P(A)$

  • $A\subset B \implies \P(A)\le \P(B)$

  • $\P(A+B)=\P(A)+\P(B)-\P(A\cdot B)$

    • ez a szita formula 2 eseményre

• $\Omega$ véges ($N$ elemű) és azt feltételezzük/tudjuk hogy az elemi események egyformán valószínűek

• $\P(A)=\frac{K}{N}$ ahol $K$ az $A$ elemeinek száma

• méret = terület/térfogat.

• $\Omega \subset \R^{2,3}$ és "véletlenszerűen"/egyenletesen választunk pontot $\Omega$-ból.

• $\P(A)=\frac{A\ \ \rm{mérete}}{\Omega\ {\rm mérete}}$

• azt később látjuk majd hogy mit jelent egyenletesen húzni egy pontot mondjuk egy körlemezből.

• a klasszikus kiszámolási mód az, amikor a méret a darabszám

• $\P(A\vert B)=\frac{\P(A\cdot B)}{\P(B)}$

  • $\P(B)>0$

  • $A$ feltételes valsége $B$-re nézve

  • péÁfeltéveBé

  • $A$ valsége ha tudjuk, hogy $B$ bekövetkezett.

  • bizonyos plusz információ birtokában számoljuk a ki egy esemény valségét

• ha $B$-rögzített, akkor a $\P_{B}$ halmazfüggvény egy valség

  • tehát pl. $\P_{B}(\overline{X})=1-\P_{B}(X)$ bármilyen $X$ eseményre

• amikor $\P(A\vert B)=\P(A)$ akkor a plusz infó a $B$ bekövetkezéséről nem változtatja meg az esélyeket

• mi más ez ha nem az $A$ és $B$ függetlensége?

• $A$ és $B$ függetlenek, ha $P(A\cdot B)=\P(A)\cdot\P(B)$

  • ez az alak általánosabb, mert nulla valségű eseményeket is megenged.

  • ha feltesszük hogy $\P(B)>0$ akkor ez ugyanaz mint $\P(A)=\P(A\vert B)$

• ha $\Omega = B_{1}+\ldots+B_{n}$ és páronként kizáró események

• $\P(A)=\P(A\vert B_{1})\cdot\P(B_{1})+\ldots+\P(A\vert B_{n})\cdot\P(B_{n})$

  • ez a teljes valség tétele

  • ha ismerjük egy $A$ eseménymek egy teljes eseményrendszer tagjaira vonatkuzó feltételes valségeit akkor ki tudjuk számolni az $A$ valségét

  • a feltételes valségeket sokszor 1xű kiszámolni/ismertek/adottak.

  • a $B_{i}$-kre gondolhatunk úgy mint okokra/időben $A$-t megelőző történésekre, az $A$-ra mint okozatra/következményre.

• $P(B_{k}\vert A) = \frac{\P(A\vert B_{k})}{\P(A)}=\frac{\P(A\vert B_{k})}{\P(A\vert B_{1})\cdot\P(B_{1})+\ldots+\P(A\vert B_{n})\cdot\P(B_{n})}$

  • a $B_{k}$ ("ok") bekövetkezési esélye ha tudjuk hogy az $A$ ("okozat") bekövetkezett

• kétlépéses kísérleteknél hasznosak

• egy $\Omega \to \R$ függvény

  • sokszor számokat rendelünk bizonyos eseményekhez és/de az hogy milyen elemi események vannak a háttérben nem fontos/nem érdekel minket

• csoportosítás

  • diszkrét: az értékkészlete véges vagy megszámlálhatóan végtelen

  • folytonos: az értékkészlete nem megszámlálható (nem pontosan ez, de nem részletezzük)

• hagyományosan görög betűkkel nevezzük meg őket - egy kis emlékeztető:

  • $\xi$ - kszí

  • $\eta$ - éta

  • $\omega$ - ómega

  • $\lambda$ - lambda

  • $\varphi$ - fí

• az értékkészlet egy (esetleg véges) sorozat $x_1,x_2,\ldots$

• rövidítés: dvv

• $p_k=\P(\xi=x_k)$

• $p_k\ge 0$ és $\sum p_k = 1$

• a későbbi sűrűségfüggvénnyel analóg fogalom

• az intenzitása/erőssége a lehetséges értékeknek

• julia

• $\E(\xi)=\sum p_k x_k$

• az értékek súlyozott átlaga, a súlyok a megfelelő valségek

• feltétel: $\sum p_k \vert x_k\vert \lt \infty$

• $\E$ expektáció, átlag

• néha kényelmesebb zárójel nélkül írni: $\E\xi, \ \E\xi^2,\ (\E\xi)^2$

• a várható érték lineáris: $\E(\lambda\xi + \eta)=\lambda\E(\xi)+\E(\eta)$

• megfelelő ${\rm h}:\R\to\R$ függvénnyel: $\E({\rm h}(\xi))=\sum p_k{\rm h}(x_k)$

  • például megfelel a ${\rm h}$ ha folytonos és $\sum p_k\vert{\rm h}(x_k)\vert \lt \infty$

  • azaz nem kell "újra" meghatározni az értékkészletet és a valségeloszlást

• $\D^2(\xi)=\E(\xi - \E\xi)^2$

• feltétel: $\sum p_k \vert x^2_k\vert \lt \infty$

• $=\sum p_{i}\cdot(x_{i} - \E\xi)^2$

• $\D^{2}(\xi)=\E\xi^2-(\E\xi)^2$ (Steiner-tétel)

• $=\sum p_{i}\cdot x^2_{i} - (\E\xi)^2$

• $\D(\xi)=\sqrt{\D^2(\xi)}$

  • ez már ugyanolyan skálán van mint a $\xi$

• $\cov(\xi,\eta)=\E\left[(\xi-\E\xi) \cdot (\eta-\E\eta)\right]$

• az előjele arról ad infót, hogy mennyire "mozognak" ugyanabba/ellentétes irányba a saját átlagukhoz képest

• akármilyan nagy/kicsi lehet

• $\cov(\xi,\eta)=\E(\xi\cdot\eta)-(\E\xi)\cdot(\E\eta)$

• $=\sum x_{i}\cdot y_{j}\cdot \P(\xi=x_i, \eta=y_j)-(\E\xi)\cdot(\E\eta)$

• $\corr(\xi,\eta)=\frac{\cov(\xi,\eta)}{\D(\xi)\cdot \D(\eta)}$

• $-1\le \corr(\xi,\eta) \le 1$ (CBS-egyenlőtlenség)

• a lineáris kapcsolat erősségét méri két valségi változó között.

• $\corr(\xi,\eta) = _{+1}^{-1}$ pontosan akkor, ha $\xi=a\cdot\eta+b$, ahol $a _{\gt 0}^{\lt 0}$

• korrelálatlanok: $\corr(\xi,\eta)=0$

• $p_{i,j}=\P(\xi=x_{i},\eta=y_{j})$

• kontingencia táblázat

• $\sum_{i,j}p_{i,j}=1$

• $\sum_{j} p_{i,j}=\P(\xi=x_{i})$ (marginális, $\xi$ valségeloszlása)

• $\sum_{i} p_{i,j}=\P(\eta=y_{j})$ (marginális, $\eta$ valségeloszlása)

• $\xi$ és $\eta$ függetlenek ha az együttes-valségeloszlás felbomlik a marginálisok szorzatára

• azaz $\P(\xi=x_{i},\eta=y_{j}) = \P(\xi=x_{i})\cdot \P(\eta=y_{j})$

• ha $\xi,\eta$ függetlenek akkor

  • $\E(\xi\cdot\eta)=\E(\xi)\cdot\E(\eta)$

  • $\cov(\xi,\eta)=\corr(\xi,\eta)=0$

• $F_{\xi}: \R \to [0,1]$

• ha nem okoz félreértést csak $F(x)$-et írunk

• $F(x) = \P(\omega : \xi(\omega)\lt x) = \P(\xi \lt x)$

• $_{\lim_{x\to -\infty}}^{\lim_{x\to +\infty}} F(x)= _{0}^{1}$

• monoton nemcsökkenő és balról folytonos

• diszkrét esetben egy lépcsős függvény

• $\P(\xi \in {\rm [a,b)})=F(b)-F(a)$

  • intervallumba esés valsége

  • balról zárt jobbról nyílt az intervallum (ez néha nem fontos)

• van sűrűségfüggvénye, azaz:

• $F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(y)dy$ valmilyen $f\ge 0$ függvénnyel

• $\int_{-\infty}^{+\infty} f(y)dy=1$

• $\P(\xi \in {\rm [a,b)})=F(b)-F(a)=\int_{a}^{b} f(y)dy$

  • Newton-Leibniz formula

  • $F'=f$

• $\Delta \cdot f(x) \approx F(x+\frac{\Delta}{2})-F(x-\frac{\Delta}{2})=\P(\xi\in [x-\frac{\Delta}{2},x+\frac{\Delta}{2}))\ \ (\Delta\ \ {\rm kicsi})$

• julia

• $\E(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) {\rm d}x$

• feltétel: $\int_{-\infty}^{\infty} \vert x\vert f(x) {\rm d}x \lt \infty$

• a várható érték itt is lineáris: $\E(\lambda\xi + \eta)=\lambda\E(\xi)+\E(\eta)$

• megfelelő ${\rm h}:\R\to\R$ függvénnyel: $\E({\rm h}(\xi))=\int_{-\infty}^{\infty} {\rm h}(x) f(x) {\rm d}x$

  • például megfelel a ${\rm h}$ ha folytonos és $\int_{-\infty}^{\infty} \vert{\rm h}(x)\vert f(x) {\rm d}x$

• $\D^2(\xi)=\E(\xi - \E\xi)^2$

• feltétel: $\E\xi^{2} \lt \infty$

• $\D^{2}(\xi)=\E\xi^2-(\E\xi)^2$ (Steiner-tétel)

• a szórás: $\D(\xi)=\sqrt{\D^2(\xi)}$

  • ez már ugyanolyan skálán van mint a $\xi$

• $F_{\xi,\eta}(x,y)=\P(\xi\lt x,\eta\lt y)$

• def: függetlenek, ha $F_{\xi,\eta}(x,y)=F_{\xi}(x) F_{\eta}(y)$

• ha létezik egy olyan $f_{\xi,\eta}(x,y)$ melyre $F_{\xi,\eta}(x,y)=\int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^{x} f_{\xi,\eta}(u,v) {\rm d}u {\rm d}v$ akkor

a $\xi,\eta$ együttes eloszlását abszolút folytonosnak nevezzük.

• ha $\xi,\eta$ együttes eloszlása abszolút folytonos akkor a függetlenség: $f_{\xi,\eta}(x,y)=f_{\xi}(x) f_{\eta}(y)$

• $P(\vert \xi - \E\xi\vert \ge \delta) \le \frac{\D^2\xi}{\delta^2}$

• spec. eset. (és megfordítás) - $\sigma=\D\xi$ és $\mu=\E\xi$ jelölésekkel:

• $P(\vert \xi - \E\xi\vert \ge k\sigma) \le \frac{\sigma^2}{k^2\sigma^2}=\frac{1}{k^2}$

• $P(\vert \xi - \E\xi\vert \lt k\sigma) \ge 1-\frac{1}{k^2}$

• pl. $k=2$: azaz minden valségi változó az "ideje" legalább 75%-át a várható értékének $2\sigma$ sugarú környezetében tölti

• $P(\vert \xi_n - \xi\vert \gt \delta) \to 0$ ha $n\to\infty$

• ha $\xi_n$ páronként független, azonos eloszlású sorozat és létezik $\mu=\E\xi_1$, akkor $\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}{n}\to \mu$ sztochasztikusan.

• $P(\omega: \xi_n(\omega) \to \xi(\omega))=1$

• ha $\xi_n$ páronként független, azonos eloszlású sorozat és létezik $\mu=\E\xi_1$, akkor $\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}{n}\to \mu$ majdnem biztosan.

• $\xi_n$ páronként független, azonos eloszlású sorozat és létezik $\sigma^2=\D^2\xi_1$

• $P(\frac{S_{n}-n\mu}{n\sigma}\lt x)\to \Phi(x)$ minden $x$-re.

• $\mu=\E\xi_1,\ \ \ S_n = \xi_1+\ldots+\xi_n$ és $\ \Phi$ a standard normális eloszlás fv.