stat

$X$ elméleti/sokasági változó ismeretlen paraméterekkel/ ismeretlen eloszlással

minta: $X_1,\ldots,X_n$ független, $X$-el megegyező eloszlású valségi változók

a minta segítségével próbáljuk becsülni az $X$ ismeretlen $\Theta$ paraméterét

mi támasztja alá? Glivenko-Cantelli

• empirikus eloszlás fv.: $F_n (x)=\frac{ \sum_{i=1}^n (X_i\lt x) }{n}$

• ez egy valségi változó minden $x$-re, Binomiális $(n,F(x))$ paraméterrel

• tétel: $\sup_x \vert F_n(x) - F(x) \vert \to 0$ egyenletesen

statisztika: $f(X_1,\ldots,X_n)$

elvárás:

• $\E f(X_1,\ldots,X_n)=\Theta$ torzítalanság

• $\P(\vert f(X_1,\ldots,X_n)-\Theta\vert \gt \delta)\to 0$ konzisztencia

  • pl. ha $\D^2f(X_1,\ldots,X_n)\to 0$ akkor konzisztens (Csebisev)

mintaátlag: $\overline{X}=\frac{X_1+\ldots+X_n}{n}$

• $\E\overline{X} = \E X$ torzítatlan

• mivel $\D^2\overline{X}=\frac{\D^2X}{n} \to 0$ ezért $\overline{X}$ konzisztens becslése az $\E X$-nek

• ha $X$ egy Bernoulli $p$ parameterrel, akkor a $\overline{X}$ a relatív gyakoriság, és az hogy $\overline{X}$ konzisztens becslése $\E X=p$-nek, nem más mint a nagy számok gyenge törvénye.

korrigált tapasztalati szórás: $s_n^2=\frac{(X_1-\overline{X})^2+\ldots+(X_n-\overline{X})^2}{n-1}$

• $\E s_n^2 = \sigma^2$ torzítatlan

tesztek