gyakran a $\frac{\rm{kedvező}}{\rm{összes}}$ képletet használjuk az esélyek számolására és ezen mennyiségek kombinatorikai eszközökkel számolhatók.
van $n$ különböző objektum
az összes különböző sorrendjük
a "sima" permutációnál egy vonal mentén helyezzük el őket
=$n! = 1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n-1)\cdot n$
megállapodás: $0!=1$
egymást nem ütő egyforma bástyák:
=$8!$
egymást nem ütő különböző bástyák:
=$8!\cdot 8!$
julia> factorial(8) 40320
van $k$ objektum az $i$-edikből $n_i$ darab
az összes különböző sorrendjük
=$\frac{n!}{n_1!\cdot\ldots\cdot n_k!}\ \ \ \rm{ahol}\ \ n_1+\ldots+n_k=n$
hány 10-jegyű szám képezhető 1 db $1$-es, 2 db $2$-es, 3 db $3$-as és 4 db $0$ felhasználásával? Minden számot használjunk fel és ne vegyük legálisnak a 0-val kezdődőeket!
összes-rossz=jó $\to \frac{10!}{1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot 4!}-\frac{9!}{1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot 3!}=7560$
van $n$ különböző objektum
egy körvonal mentén helyezzük el őket és az elforgatással egymásba vihető elhelyezéseket egyformának vesszük
számozzuk meg a helyeket, tegyük az $1$-es objektumot az $1$-es helyre
=$(n-1)!$
hányféleképpen ülhet le 10 ember egy kerek asztal köré, ha az egyes és kettes nem ülhet egymás mellett?
összes-rossz=$9!-2\cdot 8!$
van $n$ különböző objektum
az összes különböző rendezett $k$-as ($1\le k\le n$) - visszatevés nélküli húzással:
=$n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot (n-(k-1))=\frac{n!}{(n-k)!}$
10 emberből akarunk vezetőséget választani: elnök, alelnök, titkár. Hányféleképpen tehetjük meg?
=$10\cdot 9\cdot 8$
van $n$ különböző objektum
az összes különböző rendezett $k$-as ($1\le k\le n$)
vagy $k$-t húzok visszatevéses húzással és érdekel a sorrend
=$n^{k}= n\cdot n\cdot\ldots\cdot n$
Hányféleképpen tölthető ki egy 13+1 soros totószelvény?
=$3^{13+1}$
van $n$ különböző objektum, $k$-t húzok visszatevés nélkül és nem érdekel a sorrend
vagy az összes különböző $k$ elemű részhalmaz száma, $0\le k\le n$
vagy $k$-t húzok egyszerre
=$\binom{n}{k}=\frac{\rm{variáció}}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
1=$\binom{n}{0}$
Hányféleképpen tölthetünk ki egy lottót?
=$\binom{90}{5}$
Hány $k$-elemű részhalmaza van egy $n$ elemű halmaznak?
=$\binom{n}{k}$
julia> println(binomial(90,5)) 43949268 julia> println(sum(binomial.(10,0:10))) # -> 2^10 = 1024 1024
Hányféleképpen tölthetünk ki egy lottót?
=$\binom{90}{5}$
Hány $k$-elemű részhalmaza van egy $n$ elemű halmaznak?
=$\binom{n}{k}$
van $n$ különböző objektum, $k$-t húzok visszatevéssel és nem érdekel a sorrend
=$\frac{(n-1+k)!}{(n-1)!k!}=\binom{n-1+k}{k}$
a háttérben ismétléses permutációt is elképzelhetünk, egy bizonyítás ezen alapszik
Hányféleképpen vehetsz 3-féle csokiból 10-et?
=$\binom{3-1+10}{10}=66$
julia> ibinom(n,k)=binomial(n-1+k,k) ibinom (generic function with 1 method) julia> ibinom(3,10) 66